Tag Archives: proposizioni

I principi della conoscenza

11 Gen

Ludwig_Wittgenstein_1910L’ingegneria della conoscenza permette di superare la concezione erroneamente deterministica di Galileo sulla conoscenza della natura.Per Galileo la scienza non è altro che la ricerca delle leggi naturali che sarebbero scritte nella natura stessa.Le conseguenze di questa posizione sono:

1. L’oggettività della conoscenza

2. La possibilità di definire delle leggi universali valide per tutti

3. Una visione materialistica e sostanzialmente atea del mondo in quanto non esiste nessuna necessità né di  un Dio immanente o di un Dio trascendente.

Naturalmente esistono delle oggettive difficoltà ad accettare questa teoria cosmologica ed epistemologica in quanto prescinde da qualsiasi possibilità che si possa interpretare il mondo esterno in modi differenti anche se queste interpretazioni possono risultare, almeno teoricamente, singolarmente coerenti.

La rivoluzione di Ramsey e Wittgenstein è basata sul fatto che del mondo esterno noi abbiamo un’immagine che solo in parte è correlabile con esso in quanto è normale che le immagini del mondo esterno che noi costruiamo sono anche di oggetti da noi inventati o modificati rispetto a quelli che apprendiamo dall’esperienza.

E di questi è impossibile farne a meno se vogliamo fare attività scientifiche. Per altro si tratta di oggetti reali, ancorché non abbiano riscontro diretto nel mondo esterno. E benché ognuno abbia la possibilità di creare questi oggetti nei modi, nei tempi e nelle forme che ritiene opportuni non si può certamente creare una regola per cui alcuni siano eticamente leciti ed altri non lo siano.

Ad esempio in natura non sarà mai possibile trovare una derivata o un’equazione differenziale o, molto più banalmente i numeri, in quanto sono invenzioni umane. In questo caso si tratta di invenzioni accettate. In altri casi vi sono oggetti che non hanno riscontri oggettivi e non sono accettati universalmente. E non si tratta solo di credere o non credere in Dio, ma molto più banalmente di immaginare origini, cause o fenomeni fisici in una formulazione che non viene da tutti riconosciuta o lo è in modo parziale.

Ed esiste in questo un perfetto parallelismo tra il linguaggio e la conoscenza.

Infatti Galileo è come se si fosse fermato alla conoscenza come espressa da S. Agostino nel cap. I par. 8 delle Confessioni: “cum ipsi appellabant rem aliquam, et cum secundum eam vocem corpus ad aliquid movebant, videbam, et tenebam hoc ab eis vocari rem illam, quod sonabat, cum eam vellent ostendere.”

Estendendo il significato del linguaggio alla formulazione del gioco linguistico cadono tutte le barriere e le contraddizioni del linguaggio come riflesso di un’attività ostensiva.

Nello stesso modo la conoscenza del mondo esterno come rappresentazione individuale con regole e strutture individuali determina la caduta di tutte le contraddizioni che regole assolute e predeterminate potrebbero costituire a causa della naturale tendenza all’incoerenza che hanno tutte le regole umanamente determinate.

Ref:

Frank Plumpton Ramsey – The Foundations of Mathematics and other Logical Essays- Edited by R.B. Braithwaite – London Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Ltd – New York: Harcourt Brace and Company – 1931

Ludwig Wittgenstein Philosophische Untersuchungen – edizione italiana a cura di Mario Trinchero – Giulio Einaudi Editore – 1

A MATHEMATICAL THEORY OF SAVING

1 Ott

stanleyOccorre chiarire che l’utilità di una decisione è un numero compreso tra 0 e 1 in quanto si definisce come la probabilità di ottenere la conseguenza migliore per effetto di una decisione.
Inoltre osservo che il lavoro di Frank Ramsey si basa sulla normalità decisionale perché ci si attende che una persona (ovvero un decisore con una durata limitata) o una nazione (ovvero un decisore con durata illimitata) si pongano il problema di quanto e quando spendere per massimizzare l’utilità individuale o nazionale rispettivamente. Purtroppo questi calcoli e questa logica sono stati soppiantati, non solo in Italia, da decisioni politiche che sarebbe stato impossibile prevedere in quanto fuori della logica di massimizzare l’utilità. Ad esempio da più di venti anni le decisioni politiche sono state tali da minimizzare l’utilità con una massimizzazione dell’indebitamento nazionale. Quindi si tratta, evidentemente, di una politica nell’interesse di pochi contro l’interesse nazionale che porta all’impoverimento progressivo della nazione.
Propongo la mia traduzione di questo articolo di Frank Plumpton Ramsey in quanto è una esposizione chiara della soluzione di problemi complessi in modo razionale. Così avrete la possibilità di confrontarla con le incoerenze ed i danni dei politici perpetrati alla nostra nazione ed a noi individualmente.
Il testo originale è stato pubblicato in The Economic Journal Vol. 38, No. 152. (Dic. 1928) pp. 543 – 559, vol. XXXIII – Blackwell Publishing for the Royal Economic Society ed è reperibile sul sito http://www.jstor.org/stable/2224098.

Questa è la traduzione.

UNA TEORIA MATEMATICA DEL RISPARMIO

I

Il primo problema che mi propongo di affrontare è questo: una nazione quanto deve risparmiare del suo reddito? Per rispondere a questo si ottiene una semplice regola valida in condizioni di generalità sorprendente: la regola, che sarà ulteriormente chiarita nel seguito, si sviluppa come segue.

Il tasso di risparmio moltiplicato per l’utilità marginale del denaro deve essere sempre pari all’importo per cui il tasso netto totale di godimento dell’utilità rimane ad disotto del tasso massimo di godimento .

Per giustificare questa regola è, ovviamente, necessario assumere varie ipotesi semplificatrici: dobbiamo supporre che la nostra comunità proceda per sempre, senza cambiare nei numeri né nella sua capacità di godimento né nella sua avversione al lavoro; che godimenti e i sacrifici in tempi diversi possano essere calcolati in modo indipendente e sommati; e che non siano introdotte nuove invenzioni o miglioramenti nell’organizzazione eccetto quelli che possono essere considerati come condizionati esclusivamente da un accumulo di ricchezza. 1

Dovrebbe forse essere sottolineato un punto, più in particolare; si presume che non diminuiamo i godimenti successivi rispetto a quelle precedenti, una pratica che è eticamente indifendibile e deriva solo dalla debolezza della fantasia; noi includeremo, comunque, nella sezione II un tasso di sconto in alcune delle nostre indagini.

Noi ignoriamo anche del tutto considerazioni distributive, assumendo, infatti , che il modo in cui il consumo e lavoro sono distribuiti tra i membri della comunità dipende unicamente dai loro importi totali, in modo che la soddisfazione totale è funzione unicamente di questi importi complessivi.

Oltre a questo , trascuriamo le differenze tra i diversi tipi di beni e diversi tipi di lavoro, e supponiamo questi siano espressi in termini di criteri prefissati, in modo che possiamo parlare semplicemente di quantità di capitali, di consumo e di lavoro senza discutere le loro forme particolari.

1 Ovvero devono essere tali che non avverrebbero senza un certo grado di accumulo, ma potrebbe essere previsto dato il relativo grado .

Non devono essere esclusi il commercio estero, prestiti e mutui, a condizione che assumiamo che le nazioni straniere sono in uno stato stabile, in modo che le possibilità di accordarsi con esse può essere inclusa nelle condizioni di produzione costante. Noi, tuttavia, respingiamo la possibilità che uno stato di indebitamento progressivo con l’estero continui per sempre.

Infine , dobbiamo presumere che la comunità sarà sempre governata dagli stessi  stimoli per quanto riguarda l’accumulo, in modo che non vi sia alcuna possibilità che i nostri risparmi vengano egoisticamente consumati da una generazione successiva; e che non si verifichino sventure da spazzare via gli accumuli in qualsiasi momento nel futuro pertinente.

Quindi indichiamo con x(t) e a(t) i tassi totali di consumo e di lavoro della nostra comunità, e con c (t) il suo capitale al tempo t. Il suo reddito è assunto come una funzione generale delle quantità di lavoro e capitale, e sarà chiamato f ( a, c ); abbiamo poi, dal momento che il risparmio più il consumo deve essere uguale reddito,

Schermata 2014-01-06 alle 18.46.22

Ora indichiamo con U( x ) il tasso totale di utilità di un tasso di consumo x; e con V( a) il tasso totale di disutilità di un tasso di lavoro a, e chiameremo le relative aliquote marginali u (x) e v (a); così che

Schermata 2014-01-06 alle 18.46.48

Supponiamo , come al solito, che u(x) non sia mai in aumento e che v(a) non diminuisca mai.

Ora dobbiamo introdurre un concetto di grande importanza nella nostra discussione. Supponiamo di avere un dato capitale c, e non lo stiamo né aumentando né diminuendo. Allora U(x) – V(a) denota il nostro godimento netto per unità di tempo, e andremo a renderlo massimo, a condizione che la nostra spesa x sia uguale a quella che possiamo realizzare con il lavoro a e il capitale a c. Il tasso di godimento risultante U(x) – V(a) sarà una funzione di c, e crescerà, fino ad certo punto, all’aumentare di c, poiché con più capitale possiamo avere più godimento.

Questo aumento del tasso di godimento con la quantità di capitale può, tuttavia, fermarsi per uno dei due motivi. Potrebbe, in primo luogo, accadere che un ulteriore incremento di capitale non ci permetterebbe di aumentare sia il nostro reddito sia il nostro svago; o, in secondo luogo, potremmo aver raggiunto il tasso massimo concepibile di godimento, e quindi non avremmo alcuna utilità per il maggiore reddito o per il maggiore svago.

In entrambi i casi un certo capitale finito ci darebbe il maggior tasso di godimento economicamente ottenibile, sia che questo sia o non sia il massimo tasso concepibile.

D’altra parte, il tasso di godimento non può mai smettere di aumentare, all’aumentare del capitale. Vi sono poi due possibilità logiche: o il tasso di godimento aumenterà fino all’infinito, o si avvicinerà asintoticamente ad un certo limite finito. Il primo di questi casi si può escludere per il fatto che cause economiche da sole non potrebbero mai darci più di un certo tasso finito di godimento (chiamato sopra il tasso massimo concepibile). Resta il secondo caso, in cui il tasso di godimento si avvicina ad un limite finito, che può essere o può non essere uguale al tasso massimo concepibile. Questo limite si deve chiamare il tasso massimo ottenibile di godimento, anche se non può, a rigore, essere ottenuto, ma solo approssimato indefinitamente.

Quello che abbiamo in vari casi chiamato il tasso massimo ottenibile di godimento o l’utilità chiameremo per brevità Felicità o B. E in tutti i modi possiamo vedere che la comunità deve risparmiare abbastanza o per raggiungere la Felicità dopo un tempo finito, o almeno per approssimarla in un tempo indeterminato. Perché solo in questo modo è possibile raggiungere l’importo per cui il godimento ricade nell’intorno di una felicità somma nel tempo una quantità finita; in modo che se dovesse essere possibile raggiungere la felicità o avvicinarla in un tempo indeterminato, questo sarà infinitamente più desiderabile di ogni altra direzione di azione.

Ed è destinata ad essere possibile, dal momento che mettendo da parte una piccola somma ogni anno siamo in grado nel tempo di aumentare il nostro capitale di una qualsiasi misura desiderata . 1

Abbastanza deve quindi essere risparmiato per raggiungere o approssimarsi alla felicità in un qualche periodo di tempo, ma questo non significa che tutto il nostro reddito deve essere risparmiato. Più viene risparmiato più presto raggiungeremo una felicità, ma meno piacere avremmo adesso, e dovremmo mettere l’una cosa contro l’altra. Keynes mi ha mostrato che la norma che regola la quantità da risparmiare può essere determinata immediatamente da queste considerazioni. Ma prima di spiegare la sua tesi sarà meglio sviluppare quelle equazioni che possono essere utilizzate nei problemi più generali che considereremo più avanti .

1 Così com’è questo argomento è incompleto, in quanto in quest’ultimo caso sopra considerato la felicità era il valore limite, con un capitale che tende all’infinito, del godimento ottenibile spendendo tutto il nostro reddito, e quindi non effettuando alcun accantonamento per un ulteriore aumento del capitale. La lacuna può essere facilmente riempita osservando che per risparmiare £ 1 / n nell’anno n-esimo sarebbe sufficiente aumentare il capitale sociale all’infinito (dal momento che Σ 1 / n è divergente), e che la perdita di reddito (£ 1 / n ) si ridurrebbe allora a zero, in modo che i valori limite di reddito e le spese sarebbero gli stessi .

La prima di queste risulta dall’uguagliare la disutilità marginale del lavoro in qualsiasi momento al prodotto della efficienza marginale del lavoro con l’utilità marginale del consumo in quel momento,

ovveroSchermata 2014-01-06 alle 18.48.00

La seconda uguaglia il vantaggio derivato da un incremento Δx di consumo al tempo t, con quello derivante dal rinviarlo per un periodo di tempo infinitesimale Δt , che aumenterà il suo valore di Schermata 2014-01-06 alle 18.48.23, dal momento che Schermata 2014-01-06 alle 18.48.41           dà il tasso di interesse guadagnato dall’attesa.

Questo dà

Schermata 2014-01-06 alle 18.48.53

o al limite

Schermata 2014-01-06 alle 18.49.04

Questa equazione indica che u(x), l’utilità marginale del consumo, scende proporzionalmente ad un tasso dato dal tasso di interesse. Di conseguenza x aumenta continuamente a meno che o fino a che o Schermata 2014-01-06 alle 18.48.41 o u (x) si annulla, nel qual caso è facile vedere che la felicità  deve

essere stata raggiunta.

Le equazioni ( 1 ) , ( 2 ) e ( 3) sono sufficienti a risolvere il problema purché conosciamo c0, il capitale dato con cui la nazione inizia a t = 0, l’altra “condizione iniziale” essendo fornita dalle considerazioni riguardanti il comportamento della funzione per t → ∞ .

Per risolvere le equazioni procediamo come segue:  notando che x , a e c sono tutte funzioni di una variabile indipendente, cioè il tempo,

abbiamo

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 18.49.25

Di conseguenza , integrando per parti

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 18.51.48

o

Schermata 2014-01-06 alle 18.52.59

Ora dobbiamo individuare K con quello che abbiamo chiamato B, o felicità.

Ciò è più facilmente fatto iniziando in un modo diverso.

Schermata 2014-01-06 alle 18.53.16

rappresenta l’importo per cui il godimento è di poco inferiore alla felicità integrato nel tempo; questo è (o può essere reso) finito, e il nostro problema è quello di minimizzarlo.

Se applichiamo il calcolo delle variazioni da subito, usando l’equazione ( 1 ), otteniamo di nuovo le equazioni ( 2 ) e ( 3); ma se, invece di questo, prima cambiamo la variabile indipendente con c, otteniamo una grande semplificazione. Il nostro integrale diventa

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 18.53.31

Ora, in questa x ed a sono funzioni completamente arbitrarie di c, e per minimizzare l’integrale dobbiamo semplicemente minimizzare l’integrando uguagliando a zero le sue derivate parziali. Prendendo la derivata rispetto a x si ottiene:

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 18.55.37

o , come abbiamo detto all’inizio,

il tasso di risparmio moltiplicato per dell’utilità marginale del consumo deve essere sempre uguale alla felicità meno il tasso effettivo di utilità goduta.

Keynes, al quale sono grato per molti altri suggerimenti, mi ha mostrato che questo risultato può anche essere ottenuto mediante il seguente semplice ragionamento.

Supponiamo che in un anno dovessimo spendere £ x e risparmiare £ z .

Allora il vantaggio di acquistare da un extra di £ 1 spesa è u (x), l’utilità marginale del denaro, e questo deve essere uguale al sacrificio imposto risparmiando £ 1 in meno.

1 Il limite superiore non sarà ∞ , ma il minimo capitale con cui può essere ottenuta la felicità, se questo è finito. c aumenta costantemente con t, ad un certo tasso fino a che l’integrando svanisce , così che la trasformazione è ammissibile.

Risparmiare 1 £ in meno nell’anno significherà che risparmieremo solo £ z in 1 + 1 / z anni, non, come prima, in un anno. Di conseguenza, saremo in tempo 1 +1 / z anni esattamente dove avremmo dovuto essere nel tempo di un anno, e tutto l’andamento del nostro approccio alla felicità sarà posticipato di 1 / z anni, in modo che godremo 1 / z di un anno in meno di felicità e 1 / z anni di più al nostro attuale tasso.

Il sacrificio è, dunque,

Schermata 2014-01-06 alle 18.57.49

 

Uguagliandolo ad u ( x ), otteniamo di nuovo l’equazione ( 5 ), se sostituiamo z  con   Schermata 2014-01-06 alle 18.58.07     , il suo valore limite.

Purtroppo questo semplice ragionamento non può essere applicato quando prendiamo in considerazione l’attualizzazione, e pertanto ho mantenuto le mie equazioni ( 1) – ( 4) , che possono essere facilmente estese per affrontare i problemi più complessi.

La caratteristica più notevole della regola è che è del tutto indipendente dalla funzione di produzione f(a , c), tranne che nella misura in cui ciò determina la felicità, il tasso massimo di utilità ottenibile.

In particolare l’importo che dovremmo risparmiare di un determinato reddito è del tutto indipendente dall’attuale tasso di interesse, a meno che questo sia in realtà pari a zero. Il carattere paradossale di questo risultato risulterà in una certa misura mitigato più avanti, quando troviamo che se il futuro è scontato ad un tasso ρ costante e il tasso di interesse è costante e pari a r, la quota di reddito da risparmiare è una funzione del rapporto ρ / r . Se ρ = 0 tale rapporto è 0 ( a meno che anche r sia 0) e la percentuale da risparmiare è quindi indipendente da r.

Il tasso di risparmio che la regola impone è notevolmente superiore a quello che chiunque normalmente suggerirebbe, come si può vedere dalla tabella seguente, che viene presentata solo come un esempio.

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 18.58.28

Se trascuriamo le variazioni nella quantità di lavoro, l’importo che deve essere risparmiato su un reddito familiare di £ 500 sarebbe di circa £ 300. Perché allora la felicità meno tasso effettivo di utilità = 8-3 = 5 . Risparmio = £ 300 e l’utilità marginale del consumo di £ 200 = circa 1 / 60 £ . ( Da £ 150 a £ 300 U (x) = 13x/300 -3 – x2 / 15000, che corrisponde approssimativamente ad una parabola, così che u (x) = 13/300 – x/7500 = 1/60 se x = 200.)

Vale la pena soffermarsi un attimo a considerare quanto le nostre conclusioni sono influenzate dalle considerazioni che le nostre ipotesi semplificatrici ci hanno costretto a trascurare. Il probabile aumento della popolazione costituisce una ragione per risparmiare ancora di più, e così anche la possibilità che le invenzioni future metteranno il livello di felicità più in alto di quello che appare adatto al presente. D’altra parte, la probabilità che le invenzioni e i miglioramenti nell’organizzazione futuri sono atti a rendere gli introiti ottenibili con minor sacrificio di quello attuale è una ragione per risparmiare di meno. L’influenza delle invenzioni così opera in due modi opposti: ci fornisce nuovi bisogni che possiamo soddisfare meglio se abbiamo risparmiato in precedenza, ma anche aumenta la nostra capacità produttiva e rende il risparmio precedente meno pressante.

Il fattore più grave trascurato è la possibilità di future guerre e terremoti che distruggono le nostre accumulazioni. Questi non possono essere adeguatamente calcolati perché col determinare un tasso di interesse molto basso per lunghi periodi, dal momento che possono rendere il tasso di interesse effettivo negativo, distruggono come fanno non solo gli interessi, ma anche il capitale.

II

Propongo ora di considerare che il compenso del capitale e del lavoro siano costanti e indipendenti, 1 in modo che

f (a , c) = pa + rc

dove p, il tasso dei salari, e r, il tasso di interesse, sono costanti .

Questa ipotesi ci permetterà

(a) Di rappresentare la nostra precedente soluzione con un semplice diagramma ;

(b) Di estenderla al caso di un individuo che vive solo un tempo finito;

(c) Di estenderla per includere il problema in cui i futuri valori di utilità e di disutilità siano attualizzati ad un tasso costante.

1 Vale la pena notare che nella maggior parte di (a) si richiede solo l’indipendenza dei rendimenti, e non la costanza, e che in nessun luogo abbiamo davvero bisogno che i salari siano costanti, ma queste ipotesi sono fatte per semplificare del tutto la formulazione. Sono meno assurdi se lo stato è uno fra quelli che avanzano lentamente, in modo che i tassi di interesse e i salari sono in gran parte indipendenti da ciò che il nostro stato particolare risparmia e guadagna .

Nella nostra nuova ipotesi il reddito della comunità si divide in due parti ben definite, pa ed rc, che sarà conveniente chiamarle rispettivamente introito da guadagno e introito da rendita .

( a) L’equazione ( 2 ), che ora leggiamo

v (a) = pu( x )

determina a come funzione della sola x, e possiamo utilmente porre

y = x – pa = consumo – redditi da lavoro

w ( y) = u ( x ) = v ( a) / p

W ( y) = ∫ w (y) dy = ∫ (u (x) dx – v (a) da) = U (x) – V (a)

W ( y) può essere chiamata utilità totale e w (y) l’utilità marginale del reddito da capitale, dal momento che sono utilità totali e marginali derivanti dal possesso di una rendita y disponibile per il consumo.

L’equazione ( 5 ), ora ci dà

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 19.04.25

il che significa che il punto ( rc , B) si trova sulla tangente in y alla curva z = W (y) .

La figura ( 1 ) mostra la curva z = W ( y) , che raggiunge sia il valore B ad un valore y1 finito (il caso mostrato in figura) oppure vi si avvicina asintoticamente per y → ∞ .

Al fine di determinare la quantità di una data rendita rc che deve essere risparmiata, prendiamo il punto P, ( rc , B), sulla linea z = B, e da esso tiriamo una tangente alla curva (non z = B , che sarà sempre una tangente, ma l’un’altra) . Se l’ascissa di Q , il punto di contatto, è y, una quantità y della rendita verrebbe consumata, e il resto, rc – y, verrebbe risparmiata. Naturalmente y può essere negativa, il che significherebbe che non solo l’intera rendita sarà risparmiata, ma anche una parte del reddito da lavoro.

E ‘ facile vedere che ci deve essere sempre un tale tangente, perché la curva z = W (y) avrà una tangente o asintoto y = – η , dove η è il più grande eccesso di introiti rispetto al consumo compatibile con il mantenimento dell’esistenza.

Questa regola determina la quantità di un determinato reddito che dovrebbe essere spesa, ma non ci dice a quanto il nostro reddito ammonterà dopo un certo lasso di tempo . Questo è ottenuto dall’equazione ( 3 ) , che ora ci dà

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 19.06.03

Qui A = w (y0), dove y0 è il valore di y per t = 0 determinato come ascissa di Q , dove P è (rc0,B) .

Supponiamo, allora, che vogliamo trovare il tempo impiegato ad accumulare un capitale c da un capitale iniziale c0 , assumiamo che  P sia il punto ( rc , B ) e P0 sia ( rc0 , B ). w (y) è poi la pendenza della tangente da P, e w(y ) la pendenza della tangente da P0, in modo che nel momento in questione

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 19.07.18

 

Traduzione 2014-01-06 alle 19.11.04

( b) Supponiamo ora che ci occupiamo di un individuo che vive solo per un tempo determinato, diciamo T anni, invece di una comunità che vive per sempre. Abbiamo ancora l’equazione (4)

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 19.16.05

ma K non è più uguale a B , e deve ancora essere determinata.

Per trovarla dobbiamo sapere quanto capitale il nostro uomo sente necessario lasciare ai suoi eredi; chiamiamo questo c3.

L’equazione ( 8 ) indica, come prima che y può essere trovato come l’ascissa del punto di contatto Q di una tangente tirata da ( rc , K ) ovvero P alla curva. P si trova sempre su z = K , e la sua ascissa comincia da rc0 e finisce in rc3. K si può assumere come minore di B, poiché un uomo che vive solo un tempo finito risparmierà meno di chi vive un tempo infinito, e maggiore sarà K , maggiore sarà il tasso di risparmio. Di conseguenza, z = K incontrerà la curva , diciamo in P4.

Schermata 2014-01-06 alle 20.32.34

Da entrambi P0 e P3 ci saranno due tangenti alla curva, di cui o la superiore o quella inferiore può, per quanto ne sappiamo, essere presa come determinante y0 e y3 Se, tuttavia, c3 > c0 come in fig . 2, possiamo solo prendere la tangente inferiore da P0, perché la tangente superiore dà un valore di y0 maggiore di uno dei valori di y3 , che è impossibile, in quanto y aumenta in modo continuo. Prendendo, poi , Q0 come il punto di contatto della tangente inferiore da P0, ci sono due possibili casi, secondo se prendiamo  y3 come determinante o di Q3, il minore, o Q3‘, il valore superiore. Se prendiamo Q3, P0 porta direttamente a P3, e qui ci sarà sempre risparmio; questo accade quando T è piccolo. Ma se T è grande, Q0 porta direttamente a Q3‘, e P0 va in primo luogo a P4, e poi indietro a P3, all’inizio qui c’è il risparmio, e successivamente sperpero.

Allo stesso modo , se c0 > c3 , ci sono due possibili casi, e in questo caso è la tangente inferiore da P3 che non può essere presa .

Al fine di determinare quali tangenti prendere e anche il valore di K dobbiamo utilizzare la condizione derivata dall’equazione (7)

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 20.33.06

Questo , unitamente al fatto che le ascisse di P0 e P3 sono c0, c3, e che hanno la stessa ordinata K , è sufficiente a fissare sia K e le tangenti da adottare.

(c) Dobbiamo ora vedere come i nostri risultati devono essere modificati quando non riteniamo le future utilità e disutilità uguali a quelle attuali, ma le attualizziamo ad un tasso costante ρ.

Questo tasso di attualizzazione di vantaggi futuri deve, naturalmente, essere distinto dal tasso di attualizzazione di future somme di denaro.

Se posso prendere in prestito o dare  in prestito ad un tasso r devo necessariamente essere altrettanto soddisfatto con un extra di £ 1 ora e un extra  £ (1 + r) dopo un anno, dal momento che potrei scambiare l’ uno con l’altro. Il mio tasso marginale di sconto per il denaro è, dunque, necessariamente r, ma il mio tasso di sconto per l’utilità può essere molto diverso, dal momento che l’utilità marginale del denaro per me può variare per il mio aumentare o diminuire della spesa col passare del tempo .

Assumendo il tasso di sconto costante, non voglio dire che è lo stesso per tutti gli individui dal momento che attualmente ci occupiamo di un solo individuo o di una comunità, ma che il valore attuale di un godimento ad una qualche data futura deve essere ottenuto attualizzandolo al tasso ρ. Così, assumendo che sia circa 3/4 per cento, l’utilità in certo momento sarebbe considerata come due volte più desiderabile di quella di cento anni più tardi, quattro volte più preziosa che 200 anni più tardi, e così via ad un tasso di attualizzazione composto.

Questa è l’unica ipotesi che possiamo fare, senza contraddire la nostra ipotesi fondamentale che le generazioni successive sono mosse dallo stesso sistema di preferenze. Infatti, se avessimo avuto un tasso variabile di attualizzazione – vale a dire dire uno più alto per i primi 50 anni – la nostra preferenza per godimenti nel 2000 d.C. rispetto a quelli del 2050 d.C. verrebbero calcolati al tasso più basso, ma quello delle persone vive nel 2000 d.C. sarebbe al valore più alto.

Supponiamo in primo luogo che il tasso di sconto per l’utilità ρ sia inferiore al tasso di interesse r.

Allora le equazioni (1) e (2) sono invariate, ma l’equazione (3) diventa

Schermata 2014-01-06 alle 20.36.05

se stiamo assumendo   Schermata 2014-01-06 alle 20.36.18       costante e uguale a r;

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 20.36.55

Questa equazione è la stessa della (8) tranne che invece di w(y) e W(y), che è ∫ w(y) dy, abbiamo wr / (r – ρ )(y) e  ∫ w r / (r – ρ )(y) dy.

Il metodo di soluzione sia per una comunità sia per un individuo è dunque lo stesso di prima, tranne che al posto dell’effettiva utilità della rendita da capitale dobbiamo considerare che possiamo affermare la sua utilità modificata, ottenuta integrando l’utilità marginale alla potenza r/(r-ρ). Questo ha l’ effetto di accelerare la diminuzione dell’utilità marginale e di diminuire l’importanza relativa di alti redditi. In questo modo possiamo tradurre la nostra attualizzazione del futuro in una attualizzazione di alti redditi. La velocità con cui questo viene fatto è disciplinata esclusivamente dal rapporto ρ su r, in modo che se ρ è 0, esso è indipendente dal valore di r, purché questo non sia 0. La conclusione principale della sezione I viene così confermata.

Vi è, tuttavia , una piccola difficoltà, perché non abbiamo ancora veramente dimostrato che se consideriamo un tempo infinito, la costante K deve essere interpretata come quella che si potrebbe chiamare “felicità modificata”, vale a dire il valore massimo di Schermata 2014-01-06 alle 20.42.01

Questa felicità modificata richiederebbe lo stesso reddito come per la felicità, essendo la modifica esclusivamente nel valore impostato su di essa. Questo risultato può tuttavia essere dedotto immediatamente dall’equazione ( 9a ), che dimostra che y aumenta fino a che si

raggiunge la felicità, così che  Schermata 2014-01-06 alle 18.58.07        non possa mai diventare negativa e K non può essere inferiore alla felicità modificata. D’altra parte, purché questa condizione sia soddisfatta, la 9 (a) mostra che più grande è la y inizialmente, più piccola sarà la A,  più grande sarà y nel tempo futuro. Quindi K deve essere la più piccola possibile (purché non sia così piccola da rendere Schermata 2014-01-06 alle 18.58.07             in fine negativa) ; in modo che K non può essere maggiore della felicità modificata. Quindi se non è né inferiore né maggiore  deve essere uguale.

Come in (b), si può adattare la nostra soluzione al caso di un individuo con solo un tempo finito di vita, così in questo caso disegnerò le tangenti alla curva di utilità modificata.

Un caso particolare interessante è quella di una comunità per la quale

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 20.42.50

E’ chiaro che corrisponde a K = B nel caso in cui ρ = 0

abbiamo qui K = K1

e il risparmio  Schermata 2014-01-06 alle 20.44.46ovvero, una percentuale costante Schermata 2014-01-06 alle 20.44.57     della rendita da capitale deve essere risparmiata, che se ρ = 0 sarà   Schermata 2014-01-06 alle 20.45.13                   e indipendente da r.

Se il tasso di interesse è inferiore al tasso di attualizzazione dell’utilità, avremo equazioni simili, che portano ad un risultato molto diverso. L’utilità marginale del consumo aumenterà ad un tasso ρ –  r, e il consumo scenderà verso il livello più basso di sussistenza per il quale la sua utilità marginale può essere presa come infinita, se trascuriamo la possibilità del suicidio. Durante questo processo tutto il capitale verrà consumato e i debiti contratti si estenderanno a quelli da cui sono stati ottenuti, l’ipotesi più semplice a questo punto è che sarà possibile prendere in prestito una somma tale che è solo possibile per restare in vita dopo aver pagato gli interessi su di essa.

III

Consideriamo ora il problema della determinazione del tasso di interesse .

(α) In primo luogo, supponiamo che tutti attualizzano l’utilità futura per sé o per i propri eredi, allo stesso tasso ρ.

Allora in uno stato di equilibrio non ci sarà alcun risparmio e

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 20.45.38

tre equazioni per determinare x , a e c .

L’ ultima equazione ci dice che il tasso di interesse come determinato dalla produttività marginale del capitale   Schermata 2014-01-06 alle 20.36.18            , deve essere uguale al tasso di attualizzazione ρ.1

Ma supponiamo che in un dato momento, diciamo quello presente,  Schermata 2014-01-06 alle 20.36.18         > ρ.

Allora non ci sarà equilibrio, ma il risparmio, e poiché una grande quantità non può essere risparmiata in un breve periodo di tempo, potrebbe volerci secoli prima che l’equilibrio sia raggiunto, o può non essere mai raggiunto, ma solo approssimato asintoticamente; e si pone la questione di come, nel frattempo, il tasso di interesse viene determinato, poiché non può esserlo dall’equazione ordinaria di equilibrio della domanda e dell’offerta .

La difficoltà è che il tasso di interesse non funziona come richiesta di prezzo per un intera quantità di capitale, ma come un prezzo di fornitura, non per una quantità di capitale, ma per un tasso di risparmio. Lo stato risultante della situazione è rappresentata in fig. 3, in cui, tuttavia, variazioni della quantità di lavoro sono trascurate. Questo mostra la curva di domanda per il capitale r =Schermata 2014-01-06 alle 20.36.18    , la curva definitiva di offerta r = ρ e la curva temporanea di offerta c = c0 .

È chiaro che il tasso di interesse è determinato direttamente dalla intersezione della curva di domanda con le temporanea curva di offerta c = c0. La curva definitiva di offerta r = ρ entra in gioco solo in quanto disciplina il tasso al quale c0 approssima il suo valore definitivo OM , un tasso che dipende approssimativamente dal rapporto di PM su QN. Vediamo, dunque , che il tasso di interesse è disciplinato principalmente dal prezzo di domanda, e può superare di gran lunga la ricompensa definitiva necessaria per indurre l’astinenza.

1 L’ equilibrio potrebbe, tuttavia, essere ottenuto o alla felicità  con ρ < Schermata 2014-01-06 alle 20.36.18      , o al livello di sussistenza con  ρ >  Schermata 2014-01-06 alle 20.36.18  . Cfr. ( γ ) di seguito .

Allo stesso modo, nella contabilità di uno Stato Socialista la funzione del tasso di interesse garantirebbe l’uso più saggio del capitale esistente, non servirebbe in alcun modo diretto come guida per la quota di reddito che deve essere risparmiata.

(β) Ora dobbiamo cercare di tenere un po’ in conto il fatto che persone diverse attualizzano l’utilità futura a tassi differenti, e, a parte il fattore tempo, non sono abbastanza interessati ai loro eredi come in loro stessi.

Supponiamo che non siano interessati affatto ai loro eredi;

Schermata 2014-01-06 alle 20.48.25

che ad ogni uomo è imposta una quota del mantenimento di quei bambini che sono necessari per mantenere in esistenza la popolazione, ma inizia la sua vita lavorativa, senza alcun capitale e si conclude senza alcuno, dopo aver speso i suoi risparmi in una annualità; che all’interno della sua propria vita ha un programma di utilità costante per il consumo e l’attualizzazione di utile futuro ad un tasso costante, ma che questo tasso si può supporre diverso per persone diverse.

Quando tale comunità è in equilibrio , il tasso di interesse deve, ovviamente0, essere uguale al prezzo di offerta di capitale  Schermata 2014-01-06 alle 20.36.18       . E sarà anche uguale al ” prezzo di fornitura “che nasce nel seguente modo.

Supponiamo che il tasso di interesse sia costante e pari a r, e che il tasso di attualizzazione di un determinato individuo sia ρ. Allora, se r > ρ, egli risparmierà quando è giovane, non solo per provvedere per la perdita della capacità di guadagno in età avanzata, ma anche perché può ottenere più sterline da spendere in un secondo momento rispetto a quelle che rinuncia a spendere ora. Se trascuriamo le variazioni nella sua capacità di guadagno, la sua azione può essere calcolata modificando le equazioni IIc applicandole ad una vita definita come in IIb. Egli accumulerà per un periodo il capitale, e quindi lo spenderà prima di morire. A parte quest’uomo, dobbiamo supporre che ci siano nelle nostre comunità altri uomini, esattamente come lui, tranne che per essere nati in tempi diversi. Il capitale totale posseduto da n uomini di questo tipo le cui date di nascita sono distribuite uniformemente per tutto il periodo di una vita sarà n volte il capitale medio posseduto da ciascuno nel corso della sua vita. La classe degli uomini di questo tipo possederà, dunque, un capitale costante a seconda del tasso di interesse, e questo sarà l’importo del capitale da essi fornito a quel prezzo. (Se ρ > r, potrebbe essere negativo, in quanto potrebberoro prendere in prestito da giovani e rimborsare da vecchi.) Possiamo quindi ottenere la curva di offerta totale del capitale sommando le forniture ad un determinato prezzo per ciascuna classe dei singoli individui.

Se, poi, si trascura l’interesse degli uomini nei loro eredi, vediamo che il capitale ha un prezzo di cessione determinato per essere equiparato al suo prezzo di domanda. Questo prezzo di offerta dipende da tassi di attualizzazione delle persone per l’utilità, e può essere equiparato al tasso di attualizzazione del “risparmiatore marginale”, con il significato di qualcuno il cui tasso di attualizzazione è pari al tasso di interesse che né risparmia né prende a prestito (salvo per provvedere  alla vecchiaia ) .

Ma la situazione è diversa dal problema di fornitura ordinaria, in questo che quelli oltre questo “margine ” non forniscono semplicemente nulla, ma determinano una prestazione negativa prendendo in prestito quando sono giovani contro i loro guadagni futuri, ed essendo mediamente in debito.

(γ) Ora torniamo al caso (α) immaginando uomini, o piuttosto famiglie, che vivono per sempre, e il tasso di attualizzazione dell’utilità futura costante, ma cerchiamo questa volta di tener conto delle variazioni del tasso di attualizzazione da famiglia a famiglia.

Per semplicità supponiamo che la quantità di lavoro è costante, in modo che il reddito totale del paese può essere considerato come una funzione f(c), del solo capitale. Il tasso di interesse sarà allora f”(c). Supponiamo anche che ogni individuo possa raggiungere la massima utilità concepibile con un reddito x1 finito, e che nessuno potrebbe sostenersi in vita con meno di x2.

Ora supponiamo che l’equilibriosi ottenga con un capitale c, reddito f(c), e un tasso di interesse f'(c) o r. Allora queste famiglie, diciamo in numero di m(r), il cui tasso di attualizzazione è inferiore a r devono aver raggiunto la felicità o starebbero ancora aumentando la loro spesa secondo l’equazione (9a). Di conseguenza, esse avranno tra loro un reddito m (r).x1. Le altre famiglie, in numero n – m (r) (dove n è il numero totale delle famiglie), devono essere al livello di sussistenza, o starebbero ancora diminuendo le loro spese. Di conseguenza queste avrebbero tra loro  un reddito complessivo { n – m(r)} x2,

Traduzione Schermata 2014-01-06 alle 20.49.46

che, insieme con r = f ‘( c ), determina r e c.  Essendo m (r) una funzione crescente di r, è facile vedere, disegnando i grafici di r in funzione di f ( c ), che le due equazioni hanno in generale una unica soluzione unica 2.

In tal caso, quindi, l’equilibrio sarebbe raggiunto da una divisione della società in due classi, la classe parsimoniosa che gode della felicità e una improvvida al livello di sussistenza.

F.P. Ramsey

King’s College , Cambridge.

1 Si è supposta ogni famiglia in equilibrio, che è l’unico modo in cui questo stato può essere mantenuto,dal momento che altrimenti, sebbene i risparmi di alcuni bilancerebbero in ogni istante i prestiti degli altri, non continuerebbero a farlo se non per un fatto straordinario.

2 Abbiamo trascurato in questo il numero trascurabile di famiglie per cui ρ è esattamente uguale a r.

Note on Communication

27 Set

Frank_Plumpton_RamseyRiporto la mia traduzione di un appunto dattiloscritto di Frank Ramsey conservato presso gli archivi del  Dipartimento della Filosofia Scientifica dell’Università di Pittsburg  nella raccolta FR 007-03-02 (box 7, folder 3)

Si tratta di una riflessione che riguarda la comunicazione ed il significato. Deriva sia da una analisi delle posizioni in merito sia di Russell nel suo articolo pubblicato su Monist nel 1914 Sulla Natura della conoscenza – Descrizione preliminare dell’esperienza, sia dalla lettura del Tractatus di Ludwig Wittgenstein.

Questa è la traduzione.

A. Nota sulla comunicazione

Se le parole simboleggiano i pensieri,

le mie parole devono simboleggiare i miei pensieri

cioè , le parole sono private

ovvero, il mio uso di “tavolo” simbolizza il mio dato sensoriale di un tavolo

Ma se il mio uso di ” tavolo” può essere compreso – cioè può causare a qualcun altro di pensare ad un tavolo [Questo deduco dalle loro risposte e comportamento, che conosco attraverso i miei dati sensoriali.] la parola (simbolo) ” tavolo” deve essere in un certo senso pubblica .

I miei dati sensoriali sono certamente privati vale a dire che ​​non sono di chiunque altro.

Così che la comunicazione presuppone che i dati sensoriali siano insieme di persone e di cose.

Le relazioni di comunicazione sono quindi

Schermata 2014-09-27 alle 17.16.06

simbolo – pensiero – dati sensoriali – oggetto

Cioè, in una comunicazione corretta deve essere simbolizzata la stessa cosa, gli stessi dati sensoriali non possono esserlo.

Questo è il testo originale:

A. Note on Communication

If words symbolize thoughts,

my own words must symbolize my own thoughts

that is, words are private

or, my use of “table” simbolizes my sense-data of a table

But if my use of “table” can be understood – i.e. can cause someone else to think of a table

[This I infer from their answers and behaviour, which I know through my sense-data.] the word (symbol) “table” must be in some sense public.

My sense date are certainly private i.e. are not anyone else’s.

So that communication supposes both persons and things that sense-data are of.

The relations in communication are thus

Schermata 2014-09-27 alle 17.17.16

symbol- thought – sense-data – thing

That is, in correct communication the same thing must be symbolized, the same sense-data cannot be.

Mathematical Logic as based on the Theory of Types – By Bertrand Russell

23 Set

Honourable_Bertrand_Russell

Riporto di seguito la traduzione del  testo pubblicato in American Journal of Mathematics Vol. 30 No 3 (Luglio 1908) pp. 222-262.

La traduzione è stata fatta sul testo pubblicato da The Johns Hopkins University Press ed è visibile all’indirizzo

http://www.jstor.org/stable/2369948 .

Questa elaborazione della Teoria dei Tipi finalizzata all’eliminazione di alcune contraddizioni della logica matematica è importante anche perché è stata la base dell’elaborazione della logica matematica di Frank Ramsey  in particolare in The Foundation of Mathematics nonché  dell’elaborazione logica di Ludwig Wittgenstein nel “Tractatus” per alcune parti come il concetto di uguaglianza.

Pertanto questo testo è importante per capire alcune parti dell’elaborazione logico-filosofica di due dei primi rappresentanti dell’ingegneria della conoscenza.

Questa è la traduzione.

La Logica matematica sulla base della teoria dei tipi.

 DI BERTRAND RUSSELL. 

La seguente teoria della logica simbolica mi viene consigliata in primo luogo per la sua capacità di risolvere alcune contraddizioni, di cui quella più nota ai matematici è la Burali-Forti riguardante il più grande ordinale.* Ma la teoria in questione non sembra totalmente dipendente da questa indicazione indiretta; ha anche, se non mi sbaglio, una certa consonanza con il senso comune che la rende intrinsecamente credibile. Questo, tuttavia, non è un merito a cui sarebbe da attribuire molta enfasi; perché il senso comune è molto più fallibile di quello che ci piace pensare. Pertanto comincerò esponendo alcune delle contraddizioni da risolvere, e poi mostrerò come la teoria dei tipi logici determini la loro soluzione.

* Vedi sotto.

I

Le contraddizioni. 

(1) La  più antica contraddizione del genere in questione è quella di Epimenide.

Epimenide il cretese dice che tutti i cretesi erano bugiardi, e tutte le altre affermazioni fatte da Cretesi erano certamente bugie. Era questa una bugia? La forma più semplice di questa contraddizione è offerta da un uomo che dice “Io sto mentendo”; se sta mentendo, sta dicendo la verità, e viceversa.

(2) Sia w la classe di tutte le classi che non sono membri di se stesse. Quindi, qualsiasi classe x sia, “x è un w” è equivalente † a “x non è un x.” Quindi, dando alla x il valore w, “w è un w” è equivalente a “w non è un w.”

† Due proposizioni sono dette equivalenti quando sono entrambe vere o entrambe sono false.

(3) Sia T il rapporto che sussiste tra due relazioni R e S ogniqualvolta che R non ha la relazione R con S. Quindi, quale che possano essere le relazioni R e S, “R ha la relazione T con S” è equivalente a “R non ha la relazione R con S. “Quindi, dando il valore T sia a R sia a S, “T ha la relazione T con T” è equivalente a “T non ha la relazione T con T.”

(4) Il numero di sillabe nei nomi in inglese di un numero intero finito tende ad aumentare con il crescere dei numeri interi più rapidamente, e devono gradualmente aumentare indefinitamente, dal momento che solo un numero finito di nomi può essere fatta con un determinato numero finito di sillabe. Perciò i nomi di alcuni numeri interi deve essere composto da almeno diciannove sillabe, e tra queste ci deve essere un minimo. Quindi “il minimo intero non nominabile in meno di diciannove sillabe” deve indicare un numero intero definito; infatti, denota 111.777. Ma “il minimo intero non nominabile in meno di diciannove sillabe” è di per sé un nome composto da diciotto sillabe; quindi il minimo intero non nominabile in meno di diciannove sillabe può essere nominato in diciotto sillabe, che è una contraddizione. *

* Questa contraddizione mi è stata suggerita dal signor G.G. Berry della Bodleian Library.

(5) Tra gli ordinali transfiniti alcuni possono essere definiti, mentre altri non possono esserlo; perché il numero totale di possibili definizioni è ℵ0, mentre il numero degli ordinali transfiniti supera ℵ0. Quindi ci devono essere ordinali indefinibili, e tra questi ci deve essere un minimo. Ma questo è definito come “il minimo ordinale indefinibile”, che è una contraddizione. †

† Cf. König, “Ueber die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem,” Math. Annalen, vol. LXI (1905); A.C. Dixon, “On ‘Well ordered, “aggregates, “Proc. London Math. Soc., Serie 2, vol. IV, parte I (1906); e E.W. Hobson, “On the Arithmetic Continuum”, ibid. La soluzione offerta nell’ultimo di questi articoli non mi sembra adeguata.

6) Il paradosso di Richard ‡ è simile a quella del minimo ordinale indefinibile. Esso è il seguente: Si considerino tutti i decimali che possono essere definiti mediante un numero finito di parole; sia E la ​​classe di tali decimali. Allora E ha ℵ0 termini; quindi i suoi membri possono essere ordinati come il 1 °, 2 °, 3 °, .. .. Sia N un numero definito come segue: Se la cifra ennesima nell’ennesimo decimale è p, sia l’ennesima cifra in  N p + 1 (o 0, se p = 9). Allora N è diverso da tutti i membri della classe E, poiché, qualunque valore finito n possa avere, l’ennesima cifra in N è diversa dalla cifra ennesima nell’ennesimo dei decimali che compone la classe E, e quindi N è diverso nell’ennesimo decimale. Tuttavia abbiamo definito N in un numero finito di parole, e quindi N dovrebbe essere un membro di E. Quindi N è sia membro e sia non membro di E.

‡ Cf. Poincaré, “Les mathématiques et la logique,” Revue de Metaphysique et de Morale, Mai, 1906, in particolare le sezioni VII e IX; anche Peano, Revista de Mathematica, vol. VIII, No. 5 (1906), p. 149 ss.

(7) La contraddizione § di Burali-Forti può essere definita come segue: si può dimostrare che ogni serie ben ordinata ha un numero ordinale, che la serie di ordinali fino a e includendo ogni ordinale supera l’ordinale dato per una unità, e (per alcune ipotesi molto naturali) che le serie di tutti gli ordinali (in ordine di grandezza) è ben ordinata. Ne consegue che la serie di tutti gli ordinali ha un numero ordinale, che chiameremo Ω. Ma in questo caso la serie di tutti gli ordinali compreso Ω ha il numero ordinale Ω + 1, che deve essere maggiore di Ω. Quindi Ω non è il numero ordinale di tutti gli ordinali.

§ “Una questione sui Numeri transfiniti”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. XI (1897).

In tutte le contraddizioni di cui sopra (che sono solo le selezioni da un numero infinito), vi è una caratteristica comune, che potremmo descrivere come auto-riferimento o riflessività. L’osservazione di Epimenide deve includere se stessa nel suo ambito di applicazione. Se tutte le classi, a condizione che non siano membri di se stesse, sono membri di w, questo deve valere anche per w; e allo stesso modo per l’analoga contraddizione relazionale. Nei casi di nomi e definizioni, i paradossi derivano dal considerare non nominabilità e indefinibilità come elementi nei nomi e nelle definizioni. Nel caso del paradosso di Burali-Forti, la serie il cui numero ordinale provoca la difficoltà è la serie di tutti i numeri ordinali. In ogni contraddizione qualcosa viene detto su tutti i casi di qualche genere, e da quello che viene detto sembra che venga generato un nuovo caso, che sia o meno della stessa natura dei casi in cui “tutto” era implicato in quanto è stato detto. Esaminiamo le contraddizioni una per una e vediamo come queste avvengano.

(1) Quando una persona dice: “Io sto mentendo”, possiamo interpretare la sua dichiarazione come: “Esiste una proposizione che io sto affermando e che è falsa” Tutte le affermazioni che “esiste” così-e-così possono essere considerate come il negare che il contrario è sempre vero; così “Io sto mentendo” diventa: “Non è vero di tutte le proposizioni che o io non le sto affermando o sono vere;” in altre parole: “Non è vero per tutte le proposizioni p che se io affermo p, p è vera.” Il paradosso risulta dal considerare questa affermazione come se affermasse una proposizione, che deve quindi rientrare nel campo di applicazione della affermazione. Questo, però, rende evidente che la nozione di “tutte le proposizioni” è illegittima; perché altrimenti, ci devono essere proposizioni (come quelle di cui sopra) che riguardano tutte le proposizioni, e tuttavia non possono, senza contraddizione, essere incluse tra le proposizioni che le riguardano. Qualunque cosa supponiamo essere la totalità delle proposizioni, le affermazioni su questa totalità generano nuove proposizioni che, a costo di una contraddizione, devono trovarsi al di fuori della totalità. Questo è inutile per ingrandire la totalità, perché questo allarga ugualmente il campo delle affermazioni circa la totalità. Quindi non ci deve essere nessuna totalità di proposizioni, e “tutte le proposizioni” deve essere una frase priva di senso.

(2) In questo caso, la classe w è definita con riferimento a “tutte le classi”, e quindi si rivela essere una fra le classi. Se noi cerchiamo aiuto ritenendo che nessuna classe è un membro di se stessa, allora w diventa la classe di tutte le classi, e dobbiamo decidere che questa non è un membro di se stessa, i. e., non è una classe. Questo è possibile solo se non esiste un oggetto come la classe di tutte le classi nel senso richiesto dal paradosso. Che non esista nessuna di tali classi risulta dal fatto che, se supponiamo che esista, la supposizione da’ immediatamente luogo (come nella contraddizione di cui sopra) a nuove classi che si trovano al di fuori del presunto totale di tutte le classi.

(3) Questo caso è esattamente analoga alla (2), e dimostra che non si può legittimamente parlare di “tutte le relazioni.”

(4) “Il minore intero non nominabile in meno di diciannove sillabe” coinvolge la totalità dei nomi, perché è “il minimo intero tale che tutti i nomi o non si applicano ad esso o hanno più di diciannove sillabe.” Qui si assume, per ottenere la contraddizione, che una frase che contiene “tutti i nomi” è essa stessa un nome, anche se appare dalla contraddizione che non può essere uno dei nomi che si supporrebbe essere tutti i nomi che esistono. Quindi “tutti i nomi” è una nozione illegittima.

(5) Questo caso, analogamente, mostra che “tutte le definizioni” è una nozione illegittima.

(6) Questo è risolto, come la (5), osservando che “tutte le definizioni” è una nozione illegittima. Quindi il numero E non è definito in un numero finito di parole, non essendo in realtà definito affatto. *

* Cf. “Les paradoxes de la logique,” dall’autore, Revue de Metaphysique et de Morale, settembre, 1906, p. 645.

(7) la contraddizione di Burali-Forti mostra che “tutti gli ordinali” è una nozione illegittima; perché se non lo fosse, tutti gli ordinali in ordine di grandezza formerebbero serie ben ordinate, che dovrebbe avere un numero ordinale maggiore di tutti gli ordinali.

Così tutte le nostre contraddizioni hanno in comune l’assunzione di una totalità in modo tale che, se fosse legittima, sarebbe immediatamente ampliata da nuovi membri definiti in termini di se stessi.

Questo ci porta alla regola: “Qualunque cosa comporta tutto di un insieme di termini non può essere un termine dell’insieme;” o, al contrario: “Se, purché un certo insieme abbia un totale, avesse membri solo definibile in termini di quel totale, allora detto insieme non ha un totale.” †

† Quando dico che un insieme non ha totale, voglio dire che le affermazioni su tutti i suoi membri non hanno senso. Inoltre, si vedrà che l’uso di questo principio richiede la distinzione fra tutto e qualche considerati nella sezione II.

Il principio di cui sopra è, tuttavia, puramente negativo nel suo campo di validità. E’ sufficiente mostrare che molte teorie sono sbagliate, ma non si vede come gli errori debbano essere rettificati. Non possiamo dire: “Quando parlo di tutte le proposizioni, intendo tutte tranne quelle in cui sono menzionate ‘tutte le proposizioni’;” perché in questa dimostrazione abbiamo menzionato le proposizioni in cui vengono menzionate tutte le proposizioni, a cui non possiamo farlo con significato. E ‘impossibile evitare di menzionare una cosa che non vogliamo dire. Si potrebbe così, nel parlare con un uomo con un lungo naso, dire: «Quando parlo di nasi, ad eccezione di quelli che sono eccessivamente lunghi,” che non sarebbe uno sforzo di grande successo per evitare una spiacevole topica. Quindi è necessario, se non vogliamo venire meno al principio negativo di cui sopra, per costruire la nostra logica, senza menzionare certe cose come “tutte le proposizioni” o “tutte le proprietà”, e senza nemmeno dover dire che noi escludiamo queste cose. L’esclusione deve risultare naturalmente e inevitabilmente dalle nostre dottrine positive, che devono rendere chiaro che “tutte le proposizioni” e “tutte le proprietà” sono frasi prive di senso.

La prima difficoltà che ci sta di fronte sono i principi fondamentali della logica conosciuti sotto il nome caratteristico di “leggi del pensiero.” “Tutte le proposizioni sono vere o false”, per esempio, è diventata priva di senso. Se avesse significato, sarebbe una proposizione, e risulterebbe sotto il suo stesso campo di applicazione.

Tuttavia, qualche sostituto deve essere trovato, o tutte le relazioni generali della deduzione diventerebbero impossibili.

Un’altra difficoltà più particolare è illustrata dal caso particolare dell’induzione matematica. Vogliamo essere in grado di dire: “Se n è un numero intero finito, n ha tutte le proprietà possedute da 0 e dai successori di tutti i numeri che le possiedono” Ma qui “tutte le proprietà” deve essere sostituita da qualche altra frase non soggetta alle stesse obiezioni. Si potrebbe pensare che “tutte le proprietà possedute da 0 e dai successori di tutti i numeri che le possiedono” potrebbe essere legittima anche se “tutte le proprietà” non lo fossero. Ma in realtà non è così. Troveremo che frasi del tipo “tutte le proprietà che ecc.” che coinvolgono tutte le proprietà di cui l’”ecc.” può essere con significato sia affermato sia negato, e non solo quelle che in realtà hanno qualsiasi caratteristica che sia in esame; perché, nella assenza di un catalogo delle proprietà che hanno questa caratteristica, una affermazione su tutto ciò che ha la caratteristica deve essere ipotetica, e nella forma: “E ‘sempre vero che, se una proprietà ha detta caratteristico, allora, ecc.”. Così l’induzione matematica è, prima facie, incapace di essere significativamente enunciata, se “tutte le proprietà” è una frase priva di senso. Questa difficoltà, come vedremo più avanti, può essere evitata; per il momento dobbiamo considerare le leggi della logica, dal momento che queste sono molto più fondamentali.

II. 

Tutto e qualche. 

Data una asserzione contenente una variabile x, diciamo “x = x”, possiamo affermare che questo vale in tutti i casi, o potremmo affermare uno qualsiasi di questi casi senza stabilire riguardo a quale caso stiamo facendo un’asserzione. La distinzione è più o meno la stessa di quella tra l’enunciato generale e il particolare in Euclide. L’enunciato generale ci dice qualcosa circa (diciamo) tutti i triangoli, mentre quello particolare assume un triangolo, e afferma la stessa cosa di questo singolo triangolo. Ma il triangolo assunto è un qualsiasi triangolo, non qualche triangolo specifico; e quindi anche se, in tutta la dimostrazione, viene trattato un solo triangolo, tuttavia la dimostrazione mantiene la sua generalità. Se diciamo: “Sia ABC un triangolo, quindi i lati AB, AC sono presi insieme maggiori del lato BC,” stiamo dicendo qualcosa su un triangolo, non su tutti i triangoli; ma il singolo triangolo in questione è assolutamente ambiguo, e la nostra affermazione è di conseguenza anche assolutamente ambigua. Noi non affermiamo una qualsiasi proposizione definita, ma una indeterminata di tutte le proposizioni derivanti dal supporre ABC essere questo o quel triangolo. Questa nozione di affermazione ambigua è molto importante, ed è fondamentale non confondere un’affermazione ambigua con l’affermazione definita che la stessa cosa vale in tutti i casi.

La distinzione tra (1) che afferma qualsiasi valore di una funzione proposizionale, e (2) che afferma che la funzione è sempre vera, è presente in tutta la matematica, come nella distinzione di Euclide di enunciati generali e particolari. In qualsiasi catena di ragionamento matematico, gli oggetti le cui proprietà sono in fase di studio sono gli argomenti per ogni valore di una funzione proposizionale.

Prendete come esempio la seguente definizione:

“Chiamiamo f (x) continua per x = α se, per ogni numero σ positivo, diverso da 0, esiste un numero positivo ε, diverso da 0, tale che, per tutti i valori di δ numericamente minori di ε, la differenza f (α + δ) – f (α) è numericamente inferiore a σ. ”

Qui la funzione f è una qualsiasi funzione per la quale l’affermazione di cui sopra ha un significato; l’affermazione è intorno ad f, e varia al variare di f. Ma l’affermazione non riguarda σ o ε o δ, perché sono interessati tutti i possibili valori di questi, non un valore indeterminato. (A proposito  di ε, l’affermazione “esiste un numero positivo ε tale che ecc.” è la negazione che la negazione di “eccetera” sia vera per tutti i numeri positivi.) Per questo motivo, quando un qualsiasi valore di una funzione proposizionale è asserito, l’argomento (per esempio, f nel caso di cui sopra) è chiamata variabile reale; mentre, quando una funzione si dice che è sempre vera, o che non sia sempre vera, l’argomento è chiamato variabile apparente. * Così nella definizione di cui sopra, f è una variabile reale, e σ, ε, δ sono variabili apparenti.

* Questi due termini sono dovuti al Peano, che li utilizza pressappoco nel senso di cui sopra. Cfr, e. g., Formulaire Mathématique, vol. IV, p. 5 (Torino, 1903).

Quando affermiamo un qualsiasi valore di una funzione proposizionale, diremo semplicemente che noi asseriamo una funzione proposizionale. Quindi se noi enunciamo la legge di identità nella forma “x = x,” stiamo affermando la funzione “x = x” i. e., la stiamo affermando per qualsiasi valore di questa funzione. Allo stesso modo si può dire negare una funzione proposizionale quando neghiamo qualsiasi caso di essa. Possiamo solo in verità affermare una funzione proposizionale se, qualunque sia il valore che scegliamo, quel valore è vero; allo stesso modo possiamo solo in verità negarla se, qualunque sia il valore che scegliamo, questo valore è falso. Quindi nel caso generale, in cui alcuni valori sono veri e alcuni falsi, non possiamo né affermare né negare una funzione proposizionale. †

† MacColl parla di “proposizioni”, divise in tre classi certe, variabili, e impossibili. Possiamo accettare questa divisione in riferimento alle funzioni proposizionali. Una funzione che può essere affermata è certa, una che può essere negata è impossibile, e tutte le altre sono (nel senso di Mr. MacColl) variabili.

Se φx è una funzione proposizionale, noi indichiamo con “(x). φx” la proposizione “φx è sempre vera.” Allo stesso modo “(x, y). φ (x, y)” significherà “φ (x, y) è sempre vera,” e così via. Quindi la distinzione tra l’affermazione di tutti i valori e l’affermazione di qualche valore è la distinzione tra (1) che afferma (x). φx e (2) che afferma φx dove x è indeterminata. Quest’ultima si differenzia dalla precedente in quanto non può essere trattata come una proposizione definita.

La distinzione tra affermare φx e affermare (x). φx è stata, credo, per la prima volta sottolineata da Frege. ‡

‡ Vedere il suo Grundgesetze der Arithmetik, vol. I (Jena, 1893), § 17, p. 31.

La sua ragione per introdurre esplicitamente la distinzione era la stessa che era stata la causa ad essere presente nella pratica dei matematici; vale a dire, che la deduzione può essere effettuata solo con variabili reali, non con variabili apparenti. Nel caso delle dimostrazioni di Euclide, questo è evidente: abbiamo bisogno di (diciamo) un qualche triangolo ABC per ragionarci su, anche se non importa di quale triangolo si tratti.

Il triangolo ABC è una variabile reale; e sebbene sia un triangolo qualsiasi, esso sussiste come la stesso triangolo in tutto il ragionamento. Ma nell’enunciazione generale, il triangolo è una variabile apparente. Se ci atteniamo alla variabile apparente, non possiamo effettuare nessuna deduzione, e questo è il motivo per cui in tutte le dimostrazioni, devono essere utilizzate le variabili reali. Supponiamo, per prendere il caso più semplice, che sappiamo “‘φx è sempre vera,” i. e. “(x). φx,” e sappiamo “φx implica sempre ψx,” ovvero “(x). {φx implica ψx}.” Come possiamo inferire “ψx è sempre vera”, cioè “(x) .ψx?” Sappiamo che è sempre vero che se φx è vera, e se φx implica ψx, allora ψx è vera.

Ma non abbiamo nessuna premessa secondo cui se φx è vero allora φx implica ψx; quello che abbiamo è: φx è sempre vero, e φx implica sempre ψx. Al fine costruire la nostra deduzione, dobbiamo andare da φx è sempre vero “a φx, e da” φx implica sempre ψx “a” φx implica ψx, “dove la x, pur restando un qualsiasi possibile argomento, deve essere lo stesso in entrambi. Allora, da “φx” e “φx implica ψx,” deduciamo “ψx;” così ψx è vera per ogni possibile argomento, e quindi è sempre vera. Così per dedurre “(x). ψx da” (x). φx “e” (x). {φx implica ψx}, “dobbiamo passare dalla variabile apparente alla variabile reale, e poi di nuovo alla variabile apparente. Questa procedura è necessaria in ogni ragionamento matematico che procede dalla affermazione di tutti i valori di una o più funzioni proposizionali all’affermazione di tutti i valori di qualche altra funzione proposizionale, come, ad esempio, da “tutti i triangoli isosceli hanno uguali gli angoli alla base” a “tutti i triangoli aventi angoli uguali alla base sono isosceli.” In particolare, questo processo è necessario a dimostrare Barbara e gli altri stati del sillogismo.

In una sola parola, qualsiasi deduzione opera con variabili reali (o con costanti).

Si potrebbe supporre che potremmo fare a meno del tutto delle variabili apparenti, accontentandoci di qualche come un sostituto per tutti. Questo, tuttavia, non è il caso. Prendiamo, per esempio, la definizione della funzione continua citata sopra: in questa definizione σ, α e δ devono essere variabili apparenti. Variabili apparenti sono costantemente richieste per le definizioni. Prendiamo, ad esempio, la seguente: “. Un intero è chiamato primo quando non ha fattori interi tranne 1 e se stesso”

Questa definizione implica inevitabilmente una variabile apparente nella forma: “Se n è un numero intero diverso da 1 o dal numero intero dato, n non è un fattore del numero intero dato, per tutti i possibili valori di n”.

La distinzione tra o tutti e qualche è, dunque, necessaria al ragionamento deduttivo, e si verifica in ogni parte della matematica; però, per quanto ne so, la sua importanza è rimasta non notata fino a che Frege la indicò.

Per i nostri scopi ha una utilità diversa, che è molto grande. Nel caso di certe variabili quali proposizioni o proprietà, “qualsiasi valore” è legittimo, anche se “tutti i valori” non lo è. Così possiamo dire: “p è vera o falsa, dove p è una qualsiasi proposizione,” anche se non possiamo dire “tutte le proposizioni sono vere o false.” La ragione è che, nel primo caso , ci limitiamo ad affermare una affermazione indeterminata delle proposizioni nella forma “p è vera o falsa”, mentre nel secondo si afferma (se non altro) una nuova proposizione, diversa da tutte le proposizioni con la forma “p è vera o falsa.” Così possiamo ammettere “qualsiasi valore” di una variabile nei casi in cui “tutti i valori” condurrebbero ad errori riflessivi; perché l’ammettere “qualsiasi valore” non crea nello stesso modo nuovi valori. Quindi le leggi fondamentali della logica possono venir stabilite in merito a qualsiasi proposizione, anche se non possiamo dire in modo sensato che esse sono coerenti con tutte le proposizioni. Queste leggi hanno, per così dire, un particolare enunciato, ma non un enunciato generale. Non esiste una proposizione che è (ad esempio) la legge di contraddizione; esistono solo i vari casi della legge. Di qualsiasi proposizione p, possiamo dire: “p e non-p non possono essere entrambe vere,” ma non esiste una certa proposizione come: “Ogni proposizione p è tale che p e non-p non possono essere entrambe vere. ”

Una spiegazione simile vale per le proprietà. Si può parlare di qualsiasi proprietà di x, ma non di tutte le proprietà, perché nuove proprietà potrebbero essere generate in tal modo. Così possiamo dire: “Se n è un numero intero finito, e se 0 ha la proprietà φ, e m + 1 ha la proprietà φ a condizione che m l’abbia, ne consegue che n ha la proprietà φ.” Qui non abbiamo bisogno di specificare φ; φ sta per “qualsiasi proprietà.”

Ma non possiamo dire: “Un intero finito è definito come un numero che ha ogni proprietà φ posseduta da 0 e dai successori dei possessori.” Perché qui è essenziale prendere in considerazione ogni proprietà, * non qualsiasi proprietà; e nell’uso di tale definizione si assume che esso comprende una proprietà distintiva di interi finiti, che è proprio il tipo di presupposto da cui, come abbiamo visto, nascono le contraddizioni riflessive.

* Questo è indistinguibile da “tutte le proprietà”.

Nel caso di cui sopra, è necessario evitare i suggerimenti del linguaggio ordinario, che non è adatto per esprimere la distinzione necessaria. Il punto può essere illustrato ulteriormente come segue: Se l’induzione deve essere utilizzata per definire interi finiti, un’induzione deve indicare una proprietà definita di numeri interi finiti, non una proprietà ambigua. Ma se φ è una variabile reale, l’affermazione “n ha la proprietà φ a condizione che questa proprietà sia posseduta da 0 e dai successori dei possessori” assegna a n una proprietà che varia al variare di φ, e una tale proprietà non può essere utilizzata per definire la classe dei numeri interi finiti. Vogliamo dire: “‘n è un numero intero finito’ significa: ‘. Qualunque possa essere la proprietà φ, n ha la proprietà φ  a condizione che φ sia posseduto da 0 e dai successori dei possessori'” Ma qui φ è diventata una variabile apparente. Per averla come variabile reale, dovremmo dire: “Qualunque possa essere la proprietà φ, ‘n è un numero intero finito’ significa: ‘n ha la proprietà φ considerato che φ è posseduta da 0 e dai successori dei possessori.'” Ma qui il significato di ‘n è un numero intero finita’ varia al variare di φ, e quindi una tale definizione è impossibile. Questo caso illustra un punto importante, vale a dire quanto segue: “. * L’ambito di una variabile reale non può mai essere minore della intera funzione proposizionale nell’affermazione della quale si afferma che tale variabile si verifica” Cioè, se la nostra funzione proposizionale è (diciamo) “φx implica p,” l’affermazione di questa funzione significa “qualsiasi valore di φx implica che p ‘è vero,” non “‘ ogni valore di φx è vero ‘implica p.” In quest’ultimo, abbiamo realmente “tutti i valori di φx sono veri”, e la x è una variabile apparente.

* L’ambito di una variabile reale è l’intera funzione di cui “qualsiasi valore” è in questione. Così nella “φx implica p ” l’ambito di x non è φx, ma” φx implica p”.

III. 

Il significato e il campo delle Proposizioni Generalizzate. 

In questa sezione dobbiamo considerare dapprima il significato delle proposizioni in cui la parola tutto si presenta, e poi il tipo di raccolte che ammettono proposizioni riguardanti tutti i loro membri.

È conveniente dare il nome proposizioni generalizzate non solo a quelle che contengono tutto, ma anche a quelle che contengono qualche (non definito). La proposizione “φx è a volte vera” è equivalente alla negazione di “non-φx è sempre vero,” “qualche ‘A è B” è equivalente alla negazione di “tutti gli A non sono B;”, ovvero di “nessun A è B. “Se è possibile trovare le interpretazioni che contraddistinguono” φx è talvolta vera ” dalla negazione di” non-φx è sempre vero, “non è necessario fare indagini; per i nostri scopi possiamo definire” φx a volte è vero “, come la negazione di “non-φx è sempre vero.” In ogni caso, i due tipi di proposizioni richiedono lo stesso tipo di interpretazione, e sono soggette alle stesse limitazioni.

In ognuna vi è una variabile apparente; ed è la presenza di una variabile apparente che costituisce ciò che io intendo per una proposizione generalizzata. (Si noti che non può esistere una variabile reale in una qualsiasi proposizione; perché quello che contiene una variabile reale è una funzione proposizionale, non una proposizione-)

La prima domanda che dobbiamo porci in questa sezione è: Come dobbiamo interpretare la parola tutti in certe proposizioni come “tutti gli uomini sono mortali?” A prima vista, si potrebbe pensare che non ci sarebbe nessuna difficoltà, che “tutti gli uomini” sia  un’idea perfettamente chiara, e che diciamo di tutti gli uomini è che sono mortali. Ma su questo punto di vista ci sono molte obiezioni.

(1) Se questo punto di vista fosse corretto, sembrerebbe che “tutti gli uomini sono mortali” non sarebbe vero se non ci fossero uomini. Eppure, come il signor Bradley ha messo in evidenza, “I trasgressori saranno perseguiti” * può essere perfettamente vero anche se nessuno trasgredisce; e quindi, come egli sostiene ulteriormente, siamo spinti ad interpretare tali proposizioni come proposizioni ipotetiche, che significano “se qualcuno trasgredisce, sarà perseguito;” i. e., “se x trasgredisce, x sarà perseguito”, in cui la gamma di valori che x può avere, qualunque esso sia, non è certamente limitato a coloro che realmente trasgrediscono. Allo stesso modo “tutti gli uomini sono mortali” si intende “se x è un uomo, x è mortale, dove x può avere qualsiasi valore entro un certo intervallo.” Quale sia questo intervallo, resta da determinare; ma in ogni caso è più ampio di “uomini”, perché la proposizione ipotetica di cui sopra è certamente spesso vera quando x non è un uomo.

* Logica, Parte I, capitolo II.

(2) “Tutti gli uomini” è una locuzione denotativa; e sembrerebbe, per ragioni che ho esposte altrove, † che le locuzioni denotative non hanno alcun significato prese isolatamente, ma entrano solo come costituenti nell’espressione verbale di proposizioni che non contengono nessun componente corrispondente alle locuzioni denotative  in questione. Vale a dire, una locuzione denotativa è definito mediante le proposizioni in cui una espressione verbale si verifica. Quindi è impossibile che queste proposizioni acquisiscano il loro significato attraverso le locuzioni denotative; dobbiamo trovare un’interpretazione indipendente delle proposizioni contenenti tali locuzioni, e non deve utilizzare queste locuzioni per spiegare che cosa significano queste proposizioni. Quindi non possiamo considerare “tutti gli uomini sono mortali”, come una asserzione su “tutti gli uomini.”

† “On D”enoting. Mind, Ottobre 1905.

(3) Anche se ci fosse un certo oggetto come “tutti gli uomini”, è chiaro che non è questo l’oggetto a cui si attribuisce la mortalità quando diciamo “tutti gli uomini sono mortali.” Se stessimo attribuendo la mortalità a questo oggetto, dovremmo dire “ogni uomo è mortale.” Così l’ipotesi che esista un cero oggetto come “tutti gli uomini” non ci aiuta ad interpretare “tutti gli uomini sono mortali.”

(4) Sembra evidente che, se incontriamo qualcosa che può essere un uomo o può essere un angelo sotto mentite spoglie, si rientra nell’ambito di applicazione di “tutti gli uomini sono mortali” per affermare “se questo è un uomo, è mortale. “Così ancora una volta, come nel caso dei trasgressori, sembra chiaro che stiamo in realtà dicendo “se qualcuno è un uomo,esso è mortale”, e che la domanda se questo o quello è un uomo non rientra nell’ambito di applicazione della nostra affermazione, come avverrebbe se il tutto fosse riferito a “tutti gli uomini.”

(5) Arriviamo così al punto di vista che quello che si intende per “tutti gli uomini sono mortali” può essere più esplicitamente stabilito in una qualche forma come “è sempre vero che se x è un uomo, x è mortale.” Qui dobbiamo indagare sulla portata della parola sempre.

(6) È ovvio che sempre comprende alcuni casi in cui x non è un uomo, come abbiamo visto nel caso dell’angelo sotto mentite spoglie. Se x fosse limitato al caso in cui x è un uomo, si potrebbe dedurre che x è un mortale, poiché se x è un uomo, x è mortale. Quindi, con lo stesso significato di sempre, troveremmo “è sempre vero che x è mortale.” Ma è chiaro che, senza alterare il significato di sempre, questa nuova proposizione è falsa, anche se l’altra era vera.

(7) Si potrebbe sperare che “sempre” significhi “per tutti i valori di x.”

Ma “tutti i valori di x,” se legittima, dovrebbe includere come parti “tutte le proposizioni” e “tutte le funzioni”, e tali totalità illegittime. Quindi i valori di x devono essere in qualche modo limitati all’interno di alcuni totalità legittime. Ciò ci sembra condurre alla dottrina tradizionale di un “universo del discorso” entro cui x deve essere ritenuto che sia posto.

(8) Tuttavia, è abbastanza essenziale che dovremmo avere qualche significato di sempre, che non deve essere espresso in una ipotesi restrittiva come per x. Perché supponiamo che “sempre” significa “‘ogni volta che x appartiene alla classe i.” Allora “tutti gli uomini sono mortali” diventa “ogniqualvolta che x appartiene alla classe i, se x è un uomo, x è mortale ‘”, ovvero, «è sempre vero che se x appartiene alla classe i, allora, se x è un uomo, x è mortale.” Ma quale è il nostro significato del nuovo sempre? Non sembra che ci siano più ragioni per limitare x, in questa nuova proposizione, alla classe i, che c’erano prima per limitare alla classe dell’uomo. Così saremo portati a un nuovo universo più ampio, e così via all’infinito, a meno che non siamo in grado di scoprire qualche restrizione naturale sui possibili valori della (ad esempio, alcune restrizioni date con la) funzione “se x è un uomo, x è mortale , “e che non hanno bisogno di essere imposte dall’esterno.

(9) Sembra evidente che, dal momento che tutti gli uomini sono mortali, non ci può essere una qualsiasi proposizione falsa, che sia un valore della funzione “se x è un uomo, x è mortale.”

Perché se questa è una davvero una proposizione, l’ipotesi “x è un uomo” deve essere una proposizione, e così deve essere la conclusione “x è mortale.” Ma se l’ipotesi è falsa, l’ipotetica è vera; e se l’ipotesi è vera, l’ipotetica è vero.

Quindi ci possono essere false proposizioni nella forma “se x è un uomo, x è mortale.”

(10) Ne consegue che, se sono da escludere alcuni valori di x, possono essere solo i valori per i quali non vi è alcuna proposizione nella forma “se x è un uomo, x è mortale”, cioè, per cui questa frase è senza senso. Dal momento che, come abbiamo visto in (7), sono da escludere valori di x, ne consegue che la funzione “se x è un uomo, x è mortale” deve avere un certo campo di significato, * che è insufficiente per tutti i valori immaginabili di x, sebbene superi i termini che sono gli uomini. La restrizione su x è pertanto una restrizione sulla gamma di significato della funzione “se x è un uomo, x è mortale.”

  • Una funzione si dice che sia significativa per l’argomento x se ha un valore con questo argomento. Così possiamo dire in breve “φx è significativo,” che significa “la funzione φ ha un valore per l’argomento x.” L’area di significato di una funzione consiste di tutti i termini per i quali la funzione è vera, insieme a tutti i termini per cui è falsa.

(11) Si giunge quindi alla conclusione che “tutti gli uomini sono mortali” significa “se x è un uomo, x è mortale, sempre”, dove sempre significa”per tutti i valori della funzione ‘se x è un uomo, x è mortale . “‘Questa è una limitazione interna su x, data dalla natura della funzione; ed è una limitazione che non richiede una regola esplicita, poiché è impossibile per una funzione essere vera in modo più generale che per tutti i suoi valori. Inoltre, se il campo di significato della funzione è i, la funzione “se x è una i, allora se x è un uomo, x è mortale” ha lo stesso campo di significato, dal momento che non può essere significativa a meno che il suo costituente “se x è un uomo, x è mortale ” sia significativo. Ma qui il campo di significato è ancora implicito, come lo era in ‘se x è un uomo, x è mortale;’ quindi non possiamo costituire campi di significato espliciti, poiché il tentativo di farlo solo dà luogo ad una nuova proposizione in cui lo stesso campo di significato è implicito.

Così in generale: “. (x) φx” significa “φx sempre.” Questo può essere interpretato, anche se con meno esattezza, come “φx è sempre vero”, o, più esplicitamente: “Tutte le proposizioni della forma φx sono vere,” o “Tutti i valori della funzione φx sono veri.” † Così il fondamentale tutto è “tutti i valori di una funzione proposizionale,” ed ogni altro tutto è derivato da questo. Ed ogni funzione proposizionale ha un certo campo di significato, all’interno del quale si trovano gli argomenti per i quali la funzione ha dei valori. All’interno di questo campo di argomenti, la funzione è vera o falsa; fuori di questo intervallo, è un nonsenso.

† Una adatta espressione linguistica espressione di questa idea è: “φx è vero per tutti i possibili valori di x,” un possibile valore essendo inteso come quello per il quale φx ha significato.

L’argomentazione di cui sopra può essere sintetizzata come segue:

La difficoltà che affligge i tentativi di limitare la variabile è, che le restrizioni naturalmente si esprimono come ipotesi che la variabile è di un tale o di un tal altro genere, e che, quando così espressa, l’ipotetico risultato è esente dalla restrizione prevista. Ad esempio, tentiamo di limitare la variabile agli uomini, e affermare che, sotto tale restrizione, “, x è mortale” è sempre vero. Allora quello che è sempre vero è che se x è un uomo, x è mortale; e questa ipotesi vale anche quando x non è un uomo. Così una variabile non può mai essere limitato entro un certo intervallo se la funzione proposizionale in cui si verifica la variabile rimane significativa quando la variabile è fuori di tale intervallo. Ma se la funzione cessa di avere significato quando la variabile va fuori di un certo intervallo, allora la variabile è ipso facto limitata a tale intervallo, senza la necessità di alcuna regola esplicita in tal senso. Questo principio è da tenere presente nello sviluppo di tipi logici, a cui si procederà tra breve.

Ora possiamo cominciare a vedere come avviene che “tutto è così-e-così” è a volte una frase legittima e talvolta no. Supponiamo che diciamo “tutti i termini che hanno la proprietà φ hanno la proprietà ψ.” Questo significa che, secondo l’interpretazione di cui sopra, “φx implica sempre ψx.” A condizione che la gamma di significatività del φx sia la stessa di quella di ψx, questa affermazione è significativa; quindi, data una qualsiasi definita funzione φx, esistono proposizioni su “tutti i termini che soddisfano φx.”

Ma a volte capita (come vedremo meglio in seguito) che ciò che appare verbalmente come una funzione è in realtà molte funzioni analoghe con diversi campi di significato. Ciò si applica, per esempio, a “p è vero”, che, scopriremo, non è in realtà una funzione di p, ma è diverse funzioni a seconda del tipo di proposizione che sarà p. In tal caso, la frase che esprime la funzione ambigua può, a causa della ambiguità, essere significativa per tutta una serie di valori dell’argomento che eccede l’intervallo di significatività di una qualsiasi funzione. In tal caso, non tutto è legittima. Quindi se proviamo a dire “tutte le proposizioni vere hanno la proprietà φ,” ovvero “‘p’ vero ‘implica sempre φp,” i possibili argomenti di’ p è vero ‘necessariamente superano i possibili argomenti per φ, e quindi il tentativo di una regola generale è impossibile. Per questo motivo, vere regole generali su tutte le proposizioni vere non possono essere costruite. Può accadere, tuttavia, che la supposta funzione φ è davvero ambigua come ‘p è vera;’ e se capita di avere una ambiguità esattamente dello stesso tipo di quella di ‘p è vero,’ potremmo essere in grado sempre di dare un’interpretazione alla proposizione “‘p è vero’ implica φp.” Questo si verificherà, ad esempio, se φp è “non-p è falsa.” Così otteniamo un apparenza, in tali casi, di una proposizione generale riguardante tutte le proposizioni; ma questa apparenza è dovuta ad una ambiguità sistematica su parole come vero e falso. (Questa ambiguità sistematica deriva dalla gerarchia delle proposizioni che verrà spiegata più avanti). Possiamo, in tutti questi casi, porre la nostra regola su qualsiasi proposizione, dal momento che il significato delle parole ambigue si adatterà a qualsiasi proposizione. Ma se volgiamo la nostra proposizione in una variabile apparente, e diciamo qualcosa su tutto, dobbiamo supporre le parole ambigue fissate a questo o quel possibile significato, anche se può essere abbastanza irrilevante quale dei loro possibili significati debbano avere. Questo è quanto succede sia che tutto abbia dei limiti che escludono “tutte le proposizioni,” e che ci sembrano comunque essere affermazioni vere su “tutte le proposizioni.” Entrambi questi punti diventeranno più chiari quando la teoria dei tipi sarà stata spiegata.

Si è spesso ipotizzato * che ciò che è richiesto in modo che possa essere legittimo parlare di tutto di un insieme sia che l’insieme dovrebbe essere finita.

Così “tutti gli uomini sono mortali” sarà legittimo perché gli uomini formano una classe finita.

Ma questo non è davvero il motivo per cui possiamo parlare di “tutti gli uomini.” Quello che è essenziale, come risulta dalla discussione di cui sopra, non è finitezza, ma quello che può essere chiamato l’omogeneità logica. Questa proprietà è di appartenere a qualsiasi insieme i cui termini sono tutti contenuti all’interno del campo di significato di una qualche funzione.

Sarebbe sempre evidente a colpo d’occhio se un insieme contenga questa proprietà o no, se non fosse per l’ambiguità nascosta nei termini logici comuni come vero e falso, che conferiscono un aspetto di essere una sola funzione a ciò che è veramente un agglomerato di molte funzioni con diversi intervalli di significato.

Le conclusioni di questa sezione sono le seguenti: ogni proposizione contenente tutto afferma che una qualche funzione proposizionale è sempre vera; e questo significa che tutti i valori di detta funzione sono veri, non che la funzione è vera per tutti gli argomenti, dal momento che ci sono argomenti per i quali una determinata funzione è priva di significato, ovvero, non ha alcun valore. Quindi si può parlare di tutto di un insieme quando e solo quando l’insieme forma parte di tutto l’insieme del campo di significato di una qualche funzione proposizionale, l’intervallo di significatività essendo definito come l’insieme di quegli argomenti per cui la funzione in questione è significativa , ovvero, ha un valore.

* E. g., M. Poincaré, Revue de Métaphysique et de Morale, Mai 1906.

IV. 

La Gerarchia dei tipi. 

Un tipo è definito come l’intervallo di significatività di una funzione proposizionale, i. e., come l’insieme degli argomenti per cui detta funzione ha valori.

Ogni volta che si presenta una variabile apparente in una proposizione, l’intervallo dei valori della variabile apparente è un tipo, il tipo essendo fissato dalla funzione per cui “tutti i valori” sono interessati. La divisione degli oggetti in tipi è resa necessaria dalle fallacie riflessive che altrimenti si presentano. Questi errori, come abbiamo visto, sono da evitare da quello che può essere chiamato il “principio del circolo vizioso;” cioè  “nessuna totalità può contenere membri definiti in termini di sé stesso”. Questo principio, nel nostro linguaggio tecnico, diventa: “Qualunque cosa contenga una variabile apparente non deve essere un possibile valore di tale variabile.” Così qualunque cosa contenga una variabile apparente deve essere di un tipo diverso dai possibili valori di quella variabile; diremo che si tratta di un tipo più elevato. Così le variabili apparenti contenute in una espressione sono ciò che determina il suo tipo. Questo è il principio guida nel seguito.

Le proposizioni che contengono le variabili apparenti sono generati da quelle che non contengono queste variabili apparenti da processi di cui uno è sempre il processo di generalizzazione,ovvero, la sostituzione di una variabile in uno dei termini di una proposizione, e l’affermazione della funzione risultante per tutti i possibili valori della variabile. Quindi una proposizione è chiamata proposizione generalizzata quando contiene una variabile apparente. Chiameremo una proposizione che non contenga nessuna variabile apparente una proposizione elementare. E’ chiaro che una proposizione contenente una variabile apparente presuppone altre da cui può essere ottenuta per generalizzazione; quindi tutte le proposizioni generalizzate presuppongono proposizioni elementari. In una proposizione elementare possiamo distinguere uno o più termini da uno o più concetti; i termini sono tutto ciò che può essere considerato come il soggetto della proposizione, mentre i concetti sono i predicati o relazioni affermate da questi termini * Chiameremo i termini di proposizioni elementari particolari; questi costituiscono il primo o tipo di più basso livello.

* Vedi Principles of di Mathematics, § 48.

Non è necessario, in pratica, sapere quali oggetti appartengano al tipo di più basso livello, o anche se il tipo di variabile più basso che si presenta in un determinato contesto è quello di particolari o qualche altra cosa. Perché in pratica solo i tipi relativi alle variabili sono rilevanti; così il tipo più basso che si verifica in un determinato contesto può essere chiamato quello dei particolari, per quanto tale contesto è interessato. Ne consegue che la considerazione di cui sopra dei particolari non è essenziale alla verità di ciò che segue; tutto ciò che è essenziale è il modo in cui altri tipi sono generati da particolari, in qualsiasi modo il tipo di particolari possa essere costituito.

Applicando il processo di generalizzazione ai particolari che si presentano in proposizioni elementari, otteniamo nuove proposizioni. La legittimità di questo processo richiede solo che nessun particolare sia una proposizione. Che questo sia così, sarà assicurato dal significato che diamo alla parola particolare. Possiamo definire un particolare come qualcosa privo di complessità; non è quindi ovviamente una proposizione, poiché le proposizioni sono fondamentalmente complesse. Quindi, nell’applicare il processo di generalizzazione ai particolari non corriamo alcun rischio di incorrere in errori riflessivi.

Chiameremo proposizioni del primo ordine le proposizioni elementari insieme con quelle che contengono solo particolari come variabili apparenti. Queste costituiscono il secondo tipo logico.

Abbiamo così una nuova totalità, quella delle proposizioni del primo ordine. Possiamo quindi formare nuove proposizioni in cui proposizioni di primo ordine si verificano come variabili apparenti. Chiameremo queste proposizioni del secondo ordine; queste costituiscono il terzo tipo logico. Così, ad esmpio, se Epimenide afferma “tutte le proposizioni del primo ordine affermate da me sono false”, asserisce una proposizione del secondo ordine; egli può asserire questo veramente, senza asserire in verità alcuna proposizione del primo ordine, e quindi si pone alcuna contraddizione.

Il suddetto processo può essere continuato all’infinito. L’n + 1 esimo tipo logico sarà costituito da proposizioni di ordine n, che saranno tali da contenere proposizioni di ordine n – 1, ma nessuna di ordine superiore, come variabili apparenti. I tipi così ottenuti sono mutuamente esclusivi, e quindi non sono possibili fallacie riflessive purché ci ricordiamo che una variabile apparente deve essere sempre confinata all’interno di un certo tipo.

In pratica, una gerarchia di funzioni è più utile di una di proposizioni. Funzioni di vari ordini possono essere ottenute da proposizioni di vari ordini con il metodo della sostituzione. Se p è una proposizione, e a un costituente di p, assumiamo che “p / a; x” indichi la proposizione che deriva dalla sostituzione di x con αa ovunque a si verifica in p. Allora p / a, che chiameremo una matrice, può prendere il posto di una funzione; il suo valore per l’argomento x è p / a α; x, e il suo valore per l’argomento a è p. Allo stesso modo, se “p / (a, b); (x, y)” indica il risultato della prima sostituendo x con a e quindi sostituendo y con b, possiamo utilizzare la matrice doppia p / (α, b) per rappresentare un funzione doppia. In questo modo possiamo evitare variabili apparenti diverse dai particolari e le proposizioni di vari ordini.

L’ordine di una matrice viene definita come l’ordine della proposizione in cui la sostituzione è effettuata, proposizione che chiameremo il prototipo.

L’ordine di una matrice non determina il tipo: in primo luogo perché non determina il numero di argomenti con cui gli altri devono essere sostituiti (cioè, se la matrice è della forma p / a o p / a, b ) o p / (a, b, c), ecc.); in secondo luogo, perché, se il prototipo è più elevato del primo ordine, gli argomenti possono essere sia proposizioni sia particolari. Ma è chiaro che il tipo di matrice è sempre definibile mediante la gerarchia delle proposizioni.

Anche se è possibile sostituire funzioni con matrici, e anche se questa procedura introduce una certa semplicità nella spiegazione dei tipi, è tecnicamente scomodo. Tecnicamente, è utile sostituire il prototipo p con φa, e sostituire p/a; x con φx; così dove, se venissero impiegate le matrici, p e a apparirebbero come variabili apparenti, ora abbiamo φ come la nostra variabile apparente. Affinché φ possa essere legittima come variabile apparente, è necessario che i suoi valori siano limitati a proposizioni di un certo tipo.

Quindi si procede come segue.

Una funzione il cui argomento è un particolare e il cui valore è sempre una proposizione del primo ordine sarà chiamata funzione del primo ordine. Una funzione che riguarda una funzione di primo ordine o una proposizione come variabile apparente sarà chiamata una funzione di secondo ordine, e così via. Una funzione di una variabile che è dell’ordine immediatamente superiore a quello dei suoi argomenti sarà chiamata funzione predicativa; lo stesso nome sarà dato ad una funzione di più variabili se esiste tra queste variabili una variabile per cui la funzione diventa predicativa quando i valori sono assegnati a tutte le altre variabili. Allora il tipo di una funzione viene determinata dal tipo dei suoi valori e il numero e dal tipo dei suoi argomenti.

La gerarchia delle funzioni può essere ulteriormente spiegata come segue. Una funzione di primo ordine di un particolare x sarà indicata con φ! x (le lettere ψ, χ, θ, f, g, F, G saranno utilizzate anche per le funzioni). Nessuna funzione di primo ordine contiene una funzione come variabile apparente; quindi tali funzioni costituiscono una totalità ben definita, e la φ in φ! x può essere trasformato in una variabile apparente. Ogni proposizione in cui φ appare come variabile apparente, e non vi è alcuna variabile apparente di tipo superiore a φ, è una proposizione del secondo ordine. Se tale proposizione contiene un particolare x, non è una funzione predicativa di x; ma se contiene una funzione di primo ordine φ, si tratta di una funzione predicativa di φ, e sarà  scritta Schermata 2014-09-21 alle 19.17.04

Allora f è una funzione predicativa del secondo ordine; i possibili valori di f di nuovo formano una totalità ben definita, e possiamo trasformare f in una variabile apparente. Possiamo quindi definire le funzioni predicative terzo ordine, che saranno tali da avere proposizioni del terzo ordine per i loro valori e funzioni predicative del secondo ordine per i loro argomenti. E in questo modo possiamo continuare all’infinito. Uno sviluppo esattamente simile vale per funzioni di più variabili.

Adotteremo le seguenti convenzioni. Le variabili del tipo più basso che si verificano in qualsiasi contesto saranno indicate con lettere minuscole latine (escluse f e g, che sono riservati alle funzioni); una funzione predicativa di un argomento x (dove x può essere di qualsiasi tipo) verrà indicato con φ! x (dove ψ, χ, θ, f, g, F o G possono sostituire φ); allo stesso modo una funzione predicativa di due argomenti x e y sarà indicata con φ! (x, y); una funzione generale di x sarà indicata con φ x, e una funzione generale di x e y da φ (x, y). In φx, φ non può essere costituita da una variabile apparente, dal momento che il suo tipo è indeterminato; ma in φ! x, dove φ è una funzione predicativa il cui argomento è di qualche tipo assegnato, φ può essere costituita da una variabile apparente.

E‘ importante osservare che, poiché ci sono vari tipi di proposizioni e funzioni, e dal momento che la generalizzazione può essere applicata solo all’interno di un determinato tipo, tutte le frasi che contengono le parole “tutte le proposizioni” o “tutte le funzioni” sono a prima vista senza significato, anche se in alcuni casi sono suscettibili di una interpretazione ineccepibile. Le contraddizioni nascono dall’uso di tali frasi nel caso in cui nessun significato semplice può essere trovato.

Se ora ritorniamo alle contraddizioni, vediamo subito che alcuni di esse sono risolte con la teoria dei tipi. Ovunque si parla di ”tutte le proposizioni”, dobbiamo sostituire “tutte le proposizioni di ordine n”, dove è indifferente che valore diamo alla n, ma è essenziale che n deve avere un qualche valore. Così, quando un tale dice “Io sto mentendo,” dobbiamo interpretarlo nel senso: “C’è una proposizione di ordine n, che io affermo, e che è falsa.” Questa è una proposizione di ordine n + 1; quindi l’uomo non sta affermando una qualsiasi proposizione di ordine n; quindi la sua affermazione è falsa, e tuttavia la sua falsità non implica, come quella di “Io sto mentendo” è apparso implicarlo, che sta facendo un’affermazione vera. Questo risolve la contraddizione del mentitore.

Si consideri poi “il minimo intero non nominabile in meno di diciannove sillabe.” E ‘da osservare, in primo luogo, che nominabile deve significare “nominabile per mezzo di tali e tali nomi assegnati”, e che il numero di nomi assegnati deve essere finito. Perché se non è finito, non c’è motivo per cui ci dovrebbe essere un numero intero non nominabile in meno di diciannove sillabe, e il paradosso crollerebbe. Possiamo subito dopo supporre che il  “nominabile in termini di nomi della classe N” significa “essere l’unico termine che soddisfa una qualche funzione composta interamente di nomi della classe N. ” La soluzione di questo paradosso sta, credo, nella semplice constatazione che” nominabile nei termini dei nomi della classe N “non è mai in sé nominabile nei termini dei nomi di quella classe. Se allarghiamo N aggiungendo il nome “nominabile in termini dei nomi della classe N,” il nostro apparato fondamentale dei nomi viene ingrandito; chiamando il nuovo apparato N ‘, “nominabile nei termini dei nomi della classe N’ ” rimane non nominabile in termini dei nomi della classe N’. Se proviamo a ingrandire N fino a che abbracci tutti i nomi, “nominabile” diventa (da quanto si è detto sopra) “ essere l’unico termine che soddisfa una qualche funzione composta interamente di nomi.” Ma qui c’è una funzione come variabile apparente; quindi siamo confinati a funzioni predicative di un certo tipo (perché le funzioni non-predicative non possono essere variabili apparenti). Quindi dobbiamo solo osservare che la nominabilità nei termini di tali funzioni è non-predicativa per sfuggire il paradosso.

Il caso del “minimo ordinale indefinibile” è strettamente analogo al caso che abbiamo appena discusso. Qui, come prima, “definibile” deve essere relativo a qualche dato apparato di idee fondamentali; e non vi è motivo di ritenere che “definibile in termini di idee della classe N” non sia definibile in termini delle idee della classe N. Sarà vero che c’è qualche segmento definito della serie di ordinali interamente costituito di ordinali definibili, e aventi il minimo ordinale indefinibile come limite. Questo minimo ordinale indefinibile sarà definibile da un leggero allargamento del nostro apparato fondamentale; ma vi sarà poi un nuovo ordinale che sarà il minimo indefinibile con il nuovo apparato. Se allarghiamo il nostro apparato in modo da includere tutte le idee possibili, non c’è più alcun motivo per credere che non vi sia nessun ordinale indefinibile. La forza apparente del paradosso risiede in gran parte, credo, nella supposizione che, se tutti gli ordinali di una certa classe sono definibili, la classe deve essere definibile, nel qual caso il suo successore è, naturalmente, anche definibile; ma non vi è alcuna ragione per accettare questa ipotesi.

Le altre contraddizioni, quella di Burali-Forti, in particolare, richiedono alcuni ulteriori sviluppi per la loro soluzione.

V. 

L’Assioma di Riducibilità.

Una funzione proposizionale di x può, come abbiamo visto, essere di qualsiasi ordine; quindi qualsiasi asserzione su “tutte le proprietà di x” è priva di significato. (Una “proprietà di x” è la stessa cosa come una “funzione proposizionale che detiene quelle di x.”), Ma è assolutamente necessario, se la matematica deve essere possibile, che dovremmo avere qualche metodo di fare affermazioni che di solito sono equivalenti a ciò che abbiamo in mente quando (in modo impreciso) parliamo di “tutte le proprietà di x.” Questa necessità si verifica in molti casi, ma soprattutto in relazione all’induzione matematica.

Possiamo dire, con l’uso di qualsiasi al posto del tutto, “Qualsiasi proprietà posseduta da 0, e dai successori di tutti i numeri che la possiedono, è posseduta da tutti i numeri finiti.” Ma non possiamo andare avanti fino a: “. Un numero finito è un numero che possiede tutte le proprietà possedute da 0 e dai successori di tutti i numeri che li possiedono” Se limitiamo questa affermazione a tutte le proprietà del primo ordine dei numeri, non possiamo dedurre che essa contiene delle proprietà del secondo ordine. Ad esempio, saremo in grado di dimostrare che, se m, n sono numeri finiti, allora m + n è un numero finito.

Infatti, con la definizione di cui sopra, “m è un numero finito” è una proprietà di secondo ordine di m; quindi il fatto che m + 0 è un numero finito, e che, se m + n è un numero finito, così sarà m + n + 1, non consente di concludere per induzione che m + n è un numero finito. È evidente che un simile stato di cose rende molto della matematica elementare impossibile.

L’altra definizione di finitezza, per la non-somiglianza di tutto e parte, non andrebbe meglio. Perché questa definizione è: “Una classe si dice finita quando ogni relazione biunivoca il cui dominio è la classe e il cui dominio inverso è contenuto nella classe ha tutta la classe per suo dominio inverso.” Qui viene visualizzata una relazione variabile, ovvero, una funzione variabile di due variabili; dobbiamo prendere tutti i valori di questa funzione, che richiede che sia di un qualche ordine assegnato; ma qualsiasi ordine assegnato non ci permetterà di dedurre molte delle proposizioni della matematica elementare.

Quindi dobbiamo trovare, se possibile, un qualche metodo per ridurre l’ordine di una funzione proposizionale senza alterare la verità o la falsità dei suoi valori.

Questo sembra essere ciò che il senso comune attua con l’accettazione delle classi. Data una qualsiasi funzione proposizionale φx, di qualsiasi ordine, questa si presume che sia equivalente, per tutti i valori di x, ad una affermazione del tipo “x appartiene alla classe α.” Ora, questa affermazione è del primo ordine, in quanto non fa alcuna allusione a “tutte le funzioni di tale e talaltro tipo.” Infatti il suo unico vantaggio pratico sull’affermazione originale φx è che è del primo ordine. Non vi è alcun vantaggio nel ritenere che in realtà ci sono oggetti come le classi, e la contraddizione sulle classi che non sono membri di se stesse dimostra che, se ci sono classi, devono essere qualcosa di radicalmente diverso dai particolari. Credo che lo scopo principale a cui servono le classi, e la ragione principale che le rende linguisticamente utili, è che esse forniscono un metodo per ridurre l’ordine di una funzione proposizionale. Io, dunque, non presumo nulla di quello che può sembrare di essere coinvolto nella ammissione del senso comune delle classi, tranne questo: che ogni funzione proposizionale è equivalente, per tutti i suoi valori, a qualche funzione predicativa.

Questa ipotesi per quanto riguarda le funzioni deve essere presa qualunque sia il tipo dei loro argomenti. Sia φx  una funzione, di qualsiasi ordine, di un argomento x, che può essere esso stesso un particolare o una funzione di qualsiasi ordine.

Se φ è di ordine successivo al di sopra di x, scriviamo la funzione nella forma φ! x; in tal caso chiameremo φ funzione predicativa. Così una funzione predicativa di un particolare è una funzione del primo ordine; e per tipi superiori di argomenti, le funzioni predicative prendono il posto che le funzioni del primo ordine prendono nei confronti dei particolari​​. Assumiamo, quindi, che ogni funzione è equivalente, per tutti i suoi valori, a qualche funzione predicativa dello stesso argomento. Questa ipotesi sembra essere l’essenza della consueta ipotesi di classi; in ogni caso, essa conserva il maggior numero di classi che abbiamo per qualsiasi uso, e un numero piccolo abbastanza per evitare le contraddizioni che una ammissione meno riluttante sulle classi è suscettibile di comportare. Chiameremo questa ipotesi l’assioma delle classi, o l’assioma di riducibilità.

Noi ipotizzeremo analogamente che ogni funzione di due variabili è equivalente, per tutti i suoi valori, ad una funzione predicativa di tali variabili, dove una funzione predicativa di due variabili è una funzione tale che esista una delle variabili per la quale la funzione diventa predicativo (nel nostro senso precedente indicato) quando un valore viene assegnato all’altra variabile. Questa ipotesi è ciò che sembra significativo nel dire che qualsiasi affermazione circa due variabili definisce una relazione tra di loro. Chiameremo questa ipotesi l’assioma delle relazioni o l’assioma di riducibilità.

Nel trattare con le relazioni tra più di due termini, sarebbero necessarie assunzioni simili per tre, quattro, … variabili. Ma queste ipotesi non sono indispensabili per il nostro scopo, e non sono quindi considerate in questo documento.

Con l’aiuto dell’assioma di riducibilità, affermazioni su “tutte le funzioni del primo ordine di x” o “tutte le funzioni predicative di α” determina la maggior parte dei risultati che altrimenti richiederebbe “tutte le funzioni.” Il punto essenziale è che tali risultati si ottengono in tutti i casi in cui solo la verità o la falsità dei valori delle funzioni in questione sono rilevanti, come è sempre il caso in matematica.

Così l’induzione matematica, per esempio, serve ora ad essere stabilita solo per tutte le funzioni predicative di numeri; segue poi dall’assioma delle classi che appartiene a qualsiasi funzione di qualunque ordine. Si potrebbe pensare che i paradossi per il bene dei quali abbiamo inventato la gerarchia dei tipi ricomparirebbe ora. Ma questo non è il caso, in quanto, in tali paradossi, o è rilevante qualcosa che va oltre la verità o la falsità dei valori delle funzioni, o si verificano espressioni che sono senza significato, anche dopo l’introduzione dell’assioma di riducibilità.

Ad esempio, una certa dichiarazione come “Epimenide afferma ψx” non equivale a “Epimenide afferma φ! x”, anche se ψx e φ! x sono equivalenti.

Così “Io sto mentendo” resta senza significato se cerchiamo di includere tutte le proposizioni tra quelle che io posso essere in errore affermandole, e non è influenzato dall’assioma delle classi se ci limitiamo a proposizioni di ordine n. La gerarchia delle proposizioni e delle funzioni, quindi, rimane importante in soli quei soli casi in cui vi è un paradosso da evitare.

VI. 

Idee primitive e proposizioni della logica simbolica. 

Le idee primitive richieste in logica simbolica sembrano essere le seguenti sette:

(1) Qualsiasi funzione proposizionale di una variabile x o di più variabili x, y, z,. . . Questo sarà indicato con φx o φ (x, y, z,..)

(2) La negazione di una proposizione. Se p è la proposizione, la sua negazione sarà indicata con ~p.

(3) La disgiunzione o somma logica di due proposizioni; i. e. “questo o quello”.

Se p, q sono le due proposizioni, la loro disgiunzione sarà indicato con p V q. *

* In un precedente articolo di questa rivista, ho assunto l’implicazione come indefinibile, invece della disgiunzione. La scelta tra e due è una questione di gusti; Ora scelgo la disgiunzione, perché ci permette di diminuire il numero di proposizioni primitive.

(4) La verità di qualsiasi valore di una funzione proposizionale; ovvero, di φx dove x  non è specificato.

(5) La verità di tutti i valori di una funzione proposizionale. Questa è indicata con (x). φx o (x): φx o qualunque numero maggiore di punti possano essere necessari per mettere tra parentesi la proposizione † In (x).. φx, x si chiama variabile apparente, mentre quando φx è asserito, dove x non viene specificato, x è detta variabile reale.

† L’uso dei punti segue l’uso di Peano. E ‘completamente spiegato da Whitehead, “On Cardinals numbers,” American Journal of Mathematics, vol. XXIV, e “On Mathematical Concepts of the Material World”, Phil. Trans. A., vol. CCV, pag. 472.

(6) Qualsiasi funzione predicativa di un argomento di qualsiasi tipo; questa sarà rappresentata da φ! x o φ! α o φ! R, secondo le circostanze. Una funzione predicativa di x è una funzione i cui valori sono proposizioni del tipo successivi superiori a quelli di x, se x è un particolare o una proposizione, o quello dei valori di x se x è una funzione. Essa può essere descritta come una funzione in cui le variabili apparenti, se presenti, sono tutti dello stesso tipo o di tipo inferiore ad x; ed una variabile è di tipo inferiore ad x se può presentarsi  significativamente come argomento di x, o come argomento di un argomento di x, ecc.

(7) Asserzione; ovvero, l’affermazione che qualche proposizione è vera, o che qualsiasi valore di una funzione proposizionale è vero. Questo è necessario per distinguere una proposizione effettivamente asserita da una proposizione su cui si sta solo riflettendo, o da una proposizione citata come ipotesi per qualche altra cosa. Ciò sarà indicato dal segno “⊦ ” messo davanti a quanto affermato, con abbastanza punti per mettere tra parentesi ciò che si afferma. *

* Questo segno, così come l’introduzione del concetto che esprime, sono dovuti a Frege. Vedere il suo Begriffsschrift (Halle, 1879), p. 1, e Grundgesetze der Arithmetik, vol. I (Jena, 1893), p. 9.

Prima di procedere alle proposizioni primitive, abbiamo bisogno di alcune definizioni.

Nelle seguenti definizioni, nonché nelle proposizioni primitive, le lettere p, q, r sono utilizzate per  indicare proposizioni.

Schermata 2014-09-21 alle 20.15.20

Questa definizione stabilisce che “p ⊃ q” (che si legge “p implica q”) è il significato di “p è falsa o q è vera.” Non intendo affermare che “implica” non può avere qualsiasi altro significato, ma solo che questo significato è quello che è più conveniente dare a “implica” nella logica simbolica. In una definizione, il segno di uguaglianza e le lettere “Df” devono essere considerati come un solo simbolo, che significa congiuntamente “è definito per significare.” Il segno di uguaglianza senza le lettere “Df” ha un significato diverso, da definire a breve.

Schermata 2014-09-21 alle 20.18.59

 

Questo definisce il prodotto logico di due proposizioni p e q, ovvero che “p e q sono entrambe vere.” La definizione di cui sopra stabilisce che questo sta a significare: “. E ‘falso che o p sia falsa o che q sia falsa” Anche in questo caso, la definizione non dà l’unico significato che può essere dato a “p e q sono entrambe vere”, ma dà il senso che è più conveniente per i nostri scopi.

Schermata 2014-09-21 alle 20.20.54

 

Cioè, “p ≣ q”, che si legge “p è equivalente a q,” significa “p implica q e q implica p;” dove,  naturalmente, ne segue che p e q sono entrambi veri o entrambi falsi.

Schermata 2014-09-21 alle 20.23.17

 

 

Questo definisce che “vi è almeno un valore di x per cui φx è vero.” Noi lo definiamo nel senso “è falso che φx è sempre falso.”

Schermata 2014-09-21 alle 20.24.48

 

Questa è la definizione di identità. Essa afferma che x e y devono essere considerati identici quando ogni funzione predicativa soddisfatta da x è soddisfatta da y. Ne consegue dall’assioma di riducibilità che se x soddisfa ψx, dove ψ è una qualsiasi funzione, predicativa o non-predicativa, allora y soddisfa ψy.

Le seguenti definizioni sono meno importanti, e vengono introdotte al solo scopo di abbreviazione.

Schermata 2014-09-21 alle 20.26.24

 

 

 

 

e così via per qualsiasi numero di variabili.

Le proposizioni primitive richieste sono le seguenti. (In 2, 3, 4, 5, 6, e 10, p, q, r stanno per  proposizioni.)

Schermata 2014-09-21 alle 20.28.44

ovvero, “se tutti i valori di

Schermata 2014-09-21 alle 20.30.59

 

 

sono veri, allora φy è vero, dove φy è un qualsiasi valore.” *

* E ‘conveniente utilizzare la notazione   Schermata 2014-09-21 alle 20.30.59       per indicare la funzione stessa, rispetto a questo o quel valore della funzione.

(8) Se φy è vero, dove φy è un qualsiasi valore di Schermata 2014-09-21 alle 20.30.59, allora (x) .φx è vero. Questo non può essere espresso con i nostri simboli; perché se scriviamo “φy. ⊃. (x). φx”, che significa “φy implica che tutti i valori di  Schermata 2014-09-21 alle 20.30.59sono veri, dove y potrebbe avere qualsiasi valore del tipo appropriato,” che non è, in generale, il caso. Quello che intendiamo affermare è: “Se, comunque si scelga y, φy è vero, allora (x). xφ è vero, “mentre ciò che è espresso da” φy. ⊃. (x). φx “è:” Comunque y venga scelto, se φy è vero, allora (x). φx è vero “, che è un’affermazione molto diversa, e in generale una affermazione falsa.

(9) ⊦: (x) .φx. ⊃. φa, dove α è una qualsiasi costante definita.

Questo principio è davvero come tanti principi diversi quanti sono i possibili valori di a. Ovvero, esso afferma che, ad esempio, qualunque cosa sia posseduto da tutti gli individui appartiene a Socrate; inoltre che appartiene a Platone; e così via. È il principio che una regola generale può essere applicata ai casi particolari; ma al fine di darne un’applicazione, è necessario citare i casi particolari, perché altrimenti abbiamo bisogno del principio stesso per assicurarci che la regola generale che le regole generali possono essere applicate a casi particolari può essere applicato (diciamo) al caso particolare di Socrate. È così che questo principio differisce dalla (7); il nostro principio attuale fa una affermazione su Socrate, o su Platone, o qualche altra costante definita, mentre la (7) ha fatto una affermazione su di una variabile.

Il principio di cui sopra non viene mai utilizzato nella logica simbolica o matematica pura, dal momento che tutte le nostre proposizioni sono generali, e anche se non (come in “uno è un numero”) ci sembra di avere un caso assolutamente particolare, questo risulta non essere così quando esaminato da vicino. infatti, l’applicazione del principio di cui sopra è il segno distintivo della matematica applicata. Quindi, a rigor di termini, potremmo doverla omettere dalla nostra lista.

Schermata 2014-09-21 alle 20.37.38

ovvero, “se ‘p o φx è sempre vero, allora o p è vera, o φx è sempre vera.”

(11) Quando f (φx) è vero per qualsiasi argomento di x possa essere, e F (φy) è vero per qualsiasi possibile argomento di y possa esserci, allora {f (φx). F (φx)} è vero per qualsiasi possibile argomento di x possa esserci.

Questo è l’assioma della “identificazione di variabili.” E’ necessario quando due distinte funzioni proposizionali sono ciascuna nota per essere sempre vere, e vogliamo dedurre che il loro prodotto logico è sempre vero. Questa deduzione è legittima solo se le due funzioni accettano argomenti dello stesso tipo, altrimenti il loro prodotto logico è privo di significato. Nell’assioma di cui sopra, x e y devono essere dello stesso tipo, perché entrambi si verifichino come argomenti di φ.

(12) Se φx. φx ⊃ ψx è vera per qualsiasi possibile x, allora ψx è vera per ogni possibile x.

Questo assioma è necessario per assicurarci che l’intervallo di validità di ψx, nel caso supposto, è lo stesso di quello di φx. φx ⊃ ψ x. ⊃. ψx; entrambi sono infatti dello stesso di φx. Sappiamo che, nel caso supposto, che ψx è vero ogni volta che φx. φx ⊃ ψ x e φx. φx ⊃ ψx. ⊃. ψx hanno entrambi significato, ma non sappiamo, senza un assioma, che ψx è vero ogniqualvolta che ψx ha significato. Da qui la necessità di un assioma.

Gli assiomi (11) e (12) sono necessari, ad esempio, a dimostrare

Schermata 2014-09-21 alle 20.40.56

Dalla (7) e (11),

Schermata 2014-09-21 alle 20.41.58

donde da (12),

Schermata 2014-09-21 alle 20.43.05

donde il risultato segue dalla (8) e (10).

Schermata 2014-09-21 alle 20.44.20

Questo è l’assioma di riducibilità. Esso afferma che, data un qualsiasi funzione Schermata 2014-09-21 alle 20.30.59esiste una funzione predicativa Schermata 2014-09-21 alle 20.46.17

tale che f! x è sempre equivalente a φx.

Si noti che, dal momento che una proposizione che inizia con “(∃f)” è, per definizione, la negazione di una proposizione che inizia con “(f),” l’assioma di cui sopra comporta la possibilità di considerare “tutte le funzioni predicative di x.” Se φx è una qualsiasi funzione di x, non possiamo costruire proposizioni che iniziano con “(φ)” o “(∃φ),” dato che non possiamo prendere in considerazione “tutte le funzioni,” ma solo “qualsiasi funzione” o “tutte le funzioni predicative.”

Schermata 2014-09-21 alle 20.48.04

Questo è l’assioma di riducibilità per le funzioni doppie.

Nelle proposizioni sopra riportate, le nostre x e y possono essere di di qualsiasi tipo quale che sia. L’unico modo in cui la teoria dei tipi è pertinente è quello solo (11) che ci permette di identificare variabili reali che si verificano in vari contenuti quando si dimostri essere dello stesso tipo per entrambi che si presentano come argomenti per la stessa funzione, e che, in (7) e (9), y e a devono essere rispettivamente del tipo appropriato per gli argomenti di  Schermata 2014-09-21 alle 20.49.19

Così, per esempio, supponiamo di avere una proposizione della forma  Schermata 2014-09-21 alle 20.50.24 che è una funzione di secondo ordine di x. Allora per la (7),

Schermata 2014-09-21 alle 20.51.43

dove Schermata 2014-09-21 alle 20.53.02è una funzione di primo ordine. Ma non tratterà Schermata 2014-09-21 alle 20.53.50  come se fosse una funzione del primo ordine di x, e non assumerà questa funzione come un  possibile valore di Schermata 2014-09-21 alle 20.53.02di cui sopra. Si tratta di tali confusioni di tipi che danno origine al paradosso del mentitore.

Inoltre, prendiamo in considerazione le classi che non sono membri di se stesse. E ‘chiaro che, dal momento che abbiamo identificato le classi con le funzioni, * nessuna classe può essere significativamente affermata di essere o di non essere un membro di se stessa; perché i membri di una classe sono argomenti di essa, e gli argomenti di una funzione sono sempre di tipo inferiore rispetto alla funzione. E se ci chiediamo: “Ma che diremmo sulla classe di tutte le classi?

Non è questa una classe, e quindi un membro di se stessa? “, La risposta è duplice. In primo luogo, se” la classe di tutte le classi “significa” la classe di tutte le classi di qualsiasi tipo, ” pertanto non esiste tale nozione. In secondo luogo, se “la classe di tutte le classi” significa “la classe di tutte le classi di tipo t”, allora questa è una classe di tipo successivo rispetto a t, e non è quindi ancora una volta un membro di se stessa.

* Questa identificazione è soggetta ad una modifica da spiegare a breve.

Così, sebbene le proposizioni primitive di cui sopra si applichino indistintamente a tutti i tipi, non ci permettono di suscitare contraddizioni. Pertanto, nel corso di ogni deduzione non è mai necessario considerare il tipo assoluto di una variabile; è solo necessario vedere che le diverse variabili che si verificano in una proposizione sono dei corretti tipi relativi. Ciò esclude tali funzioni come quella da cui è stata ottenuta la nostra quarta contraddizione, e cioè: “Il rapporto R resta valido tra R e S.” Perché una relazione tra R e S è necessariamente di tipo superiore a entrambe esse, così che la funzione proposta è senza significato.

VII. 

Teoria elementare delle Classi e delle Relazioni. 

Le proposizioni in cui si presenta una funzione φ possono dipendere, per il loro valore di verità, dalla particolare funzione φ, oppure possono dipendere solo dalla estensione di φ, ovvero, dagli argomenti che soddisfano φ. Una funzione di quest’ultimo tipo si chiamerà estensionale. Così, ad esempio, “Credo che tutti gli uomini sono mortali” non può essere equivalente a “Io credo che tutti i bipedi implumi sono mortali”, anche se gli uomini hanno lo stesso ambito estensionale con i bipedi implumi; perché non posso sapere che hanno lo stesso ambito estensionale. Ma “tutti gli uomini sono mortali” deve essere equivalente a “tutti i bipedi implumi sono mortali” se gli uomini hanno lo stesso ambito estensionale con bipedi implumi. Così “tutti gli uomini sono mortali” è una funzione estensionale della funzione “x è un uomo”, mentre “Credo che tutti gli uomini sono mortali”, è una funzione che non è estensionale; noi le chiameremo funzioni intensionali quando non sono estensionali. Le funzioni di funzioni delle quali la matematica si occupa sono tutte estensionali.

La scrittura di una funzione f estensionale di una funzione è Schermata 2014-09-22 alle 19.13.35 è

Schermata 2014-09-22 alle 19.14.34

Da qualsiasi funzione f di una funzione Schermata 2014-09-22 alle 19.13.35 possiamo ricavare una funzione estensionale associata come segue. Posto

Schermata 2014-09-22 alle 19.16.20

La funzione Schermata 2014-09-22 alle 20.34.48

è in realtà una funzione di  Schermata 2014-09-22 alle 20.36.35 quantunque non la stessa funzione Schermata 2014-09-22 alle 20.38.31 supponendo che quest’ultima abbia significato. Ma è utile per  trattare tecnicamente  Schermata 2014-09-22 alle 20.34.48come se avesse un argomento Schermata 2014-09-22 alle 20.39.46che noi chiamiamo “la classe definita da ψ.” Abbiamo

Schermata 2014-09-22 alle 20.50.04

da cui , applicando agli oggetti fittizi Schermata 2014-09-22 alle 20.52.23e  Schermata 2014-09-22 alle 20.53.10la definizione di identità di cui sopra, troviamo

Schermata 2014-09-22 alle 20.55.13

Questa, con la sua opposta (che può anche essere dimostrata), è la proprietà distintiva delle classi. Quindi siamo giustificati nel trattare Schermata 2014-09-22 alle 20.52.23

come la classe definita da φ. Allo stesso modo poniamo

Schermata 2014-09-22 alle 20.57.10

Poche parole sono necessarie qui per la distinzione tra Schermata 2014-09-22 alle 20.57.57Schermata 2014-09-22 alle 20.58.06

Noi adotteremo la seguente convenzione: Quando una funzione (al contrario dei suoi valori) è rappresentata in una forma che coinvolge  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 e  y circonflesso , o qualsiasi altre due lettere dell’alfabeto, il valore di questa funzione per gli argomenti a e b deve  essere trovato sostituendo a ad Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 e b a y circonflesso; ovvero, l’argomento accennato per primo è da sostituire con la lettera che viene prima nell’alfabeto, e l’argomento citato per secondo con la lettera successiva. Questo distingue sufficientemente tra Schermata 2014-09-22 alle 21.06.29 ad esempio:

Schermata 2014-09-22 alle 21.08.56

Poniamo Schermata 2014-09-22 alle 21.09.49

da cui

Schermata 2014-09-22 alle 21.10.36

Inoltre, per l’assioma di riducibilità, abbiamo

Schermata 2014-09-22 alle 21.11.34

da cui

Schermata 2014-09-22 alle 21.12.27

Questo vale qualunque sia x. Supponiamo ora che vogliamo considerare

Schermata 2014-09-22 alle 21.13.21

Abbiamo, da quanto sopra,

Schermata 2014-09-22 alle 21.14.09

da cui

Schermata 2014-09-22 alle 21.14.59

dove x è scritto per ogni espressione della forma

Schermata 2014-09-22 alle 21.15.39

Abbiamo posto

Schermata 2014-09-22 alle 21.16.35

Qui cls ha un significato che dipende dal tipo di variabile apparente φ.

Così, ad esempio, la proposizione “cls ε cls”, che è una conseguenza della definizione di cui sopra, richiede che “cls” abbia un significato diverso nei due luoghi in cui si verifica. Il simbolo “cls” può essere utilizzato solo dove non è necessario conoscere il tipo; esso ha un’ambiguità che si adatta alle circostanze. Se si introduce come un indefinibile la funzione “Indiv! x”, che significa “x è un particolare,” possiamo porre

Schermata 2014-09-22 alle 21.17.36

Allora Kl è un simbolo non ambiguo che significa “classi di particolari.”

Useremo le lettere greche minuscole (tranne ε, φ, ψ, Χ, θ) per rappresentare le classi di qualsiasi tipo; ovvero, per rappresentare i simboli della forma Schermata 2014-09-22 alle 21.18.30

La teoria delle classi va avanti, da questo punto in poi, quasi come nel sistema di Peano;

Schermata 2014-09-22 alle 20.52.23sostituisce Schermata 2014-09-22 alle 21.20.43

Inoltre ho posto

Schermata 2014-09-22 alle 21.21.28

dove Λ, come con Peano, è la classe nulla. I simboli ∃, Λ, V, come cls e ε, sono ambigue, e acquistano un significato preciso solo quando il tipo in questione è altrimenti indicato.

Trattiamo le relazioni esattamente nello stesso modo, ponendo

Schermata 2014-09-22 alle 21.22.25

(essendo l’ordine determinato dall’ordine alfabetico di x e y e l’ordine tipografico di a e b); da cui

Schermata 2014-09-22 alle 21.23.15

donde, per l’assioma di riducibilità,

Schermata 2014-09-22 alle 21.23.47

Usiamo lettere maiuscole latine come abbreviazioni per certi simboli come Schermata 2014-09-22 alle 21.24.41

e troviamo

Schermata 2014-09-22 alle 21.25.31

Poniamo

Schermata 2014-09-22 alle 21.27.02

e troviamo che ogni cosa dimostrata per le classi ha il suo analogo per le relazioni duali.

Seguendo Peano, abbiamo posto

Schermata 2014-09-22 alle 21.27.46

che definisce il prodotto, o la parte comune, di due classi;

Schermata 2014-09-22 alle 21.28.22

che definisce la somma di due classi; e

Schermata 2014-09-22 alle 21.29.01

che definisce la negazione di una classe. Allo stesso modo per le relazioni abbiamo posto

Schermata 2014-09-22 alle 21.29.48

VIII. 

Le Funzioni Descrittive. 

Le funzioni finora considerate sono funzioni proposizionali, con l’eccezione di alcune particolari funzioni quali Schermata 2014-09-23 alle 15.35.04

Ma le funzioni ordinarie della matematica, come la x2, sin x, log x, non sono proposizionali.

Funzioni di questo tipo significano sempre “il termine che ha tale-e-talaltra relazione con x.” Per questo motivo esse possono essere chiamate funzioni descrittive, perché descrivono un certo termine attraverso la sua relazione con il loro argomento. Così “sin π / 2” descrive il numero 1; anche proposizioni in cui il sin π / 2 si verifica non sono le stesse se venissero sostituite dall’1. Questo appare, ad esempio, dalla proposizione “sin π / 2 = 1, “che trasmette informazioni importanti, mentre” 1 = 1 “è banale. Le funzioni descrittive non hanno alcun significato di per sé, ma solo come componenti di proposizioni; e questo vale in generale per le frasi del tipo” il termine che ha la tale e talaltra proprietà.” Quindi nel trattare con tali frasi, dobbiamo definire ogni proposizione in cui si manifestano, non le frasi stesse. *

Siamo così condotti alla seguente definizione, in cui Schermata 2014-09-23 alle 15.37.08

deve essere letto”il termine x che soddisfa φx.”

Schermata 2014-09-23 alle 15.38.16

* Vedere il citato articolo ‘On Denoting “, dove le ragioni di questo punto di vista sono dati particolareggiatamente.

Questa definizione afferma che “il termine che soddisfa φ soddisfa ψ” deve significare: “C’è un termine b tale che φx è vero se e solo se x è b, e ψb è vero” Così tutte le proposizioni su “il così e così” sarà falso se non ci sono dei così-e-così o più così-e-così.

La definizione generale di una funzione descrittiva è

Schermata 2014-09-23 alle 15.39.22

cioè, “R’y” sta a significare “il termine che ha la relazione R con y.” Se ci sono diversi termini o nessun termine aventi la relazione R con y, tutte le proposizioni circa R’y saranno false. Abbiamo posto

Schermata 2014-09-23 alle 15.40.18

Qui Schermata 2014-09-23 alle 15.41.17può essere letto “c’è un termine come la x che soddisfa φx,” o “la x che soddisfa φx esiste.” Abbiamo

Schermata 2014-09-23 alle 15.42.07

La virgola invertita in R’y può essere letta come di. Quindi se R è il rapporto di padre in figlio, “R’y” è “il padre di y.” Se R è il rapporto del figlio con il padre, ‘tutte le proposizioni circa R’y saranno false a meno y ha un figlio e non di più di un figlio.

Da quanto sopra risulta che funzioni descrittivi sono ottenute da relazioni. Le relazioni ora da essere definite sono soprattutto importanti a causa delle funzioni descrittive a cui danno origine.

Schermata 2014-09-23 alle 15.43.18

Qui Cnv è l’abbreviazione di “opposto”. Essa è la relazione di una relazione con la sua opposta; ad esempio, di maggiore con minore, di parentela con l’essere figlio, di precedere con seguire, ecc

Abbiamo

Schermata 2014-09-23 alle 15.44.05

Per una notazione più breve, spesso più utile, abbiamo posto

Schermata 2014-09-23 alle 15.44.44

Vogliamo poi una notazione per la classe di termini che hanno la relazione R con y.

A questo scopo, abbiamo posto

Schermata 2014-09-23 alle 15.45.20

da dove

Schermata 2014-09-23 alle 15.45.54

Allo stesso modo abbiamo posto

Schermata 2014-09-23 alle 15.46.24

da dove

Schermata 2014-09-23 alle 15.46.56

Vogliamo successivamente il dominio di R (cioè, la classe di termini che hanno la relazione R con qualcosa), il dominio inverso di R (cioè, la classe dei termini con cui qualcosa ha la relazione R), e il campo di R, che è la somma del dominio e il dominio inverso. A tal fine definiamo le relazioni di dominio, dominio inverso, e il campo, con R. Le definizioni sono:

Schermata 2014-09-23 alle 15.47.37

Si noti che la terza di queste definizioni è significativa solo quando R è quello che potremmo chiamare una relazione omogenea; ovvero, in cui, se xRy sussiste, x ed y sono dello stesso tipo. Perché nel caso contrario, comunque scegliamo x e y, sia xRy o yRx saranno prive di significato. Questa osservazione è importante in relazione alla contraddizione di Burali-Forti.

Abbiamo, in virtù delle definizioni di cui sopra,

Schermata 2014-09-23 alle 15.48.22

l’ultima delle quali è significativa solo quando R è omogenea. “D’R” si legge “il dominio di R;”Schermata 2014-09-23 alle 15.49.22 si legge “il dominio inverso di R” e “C’R” si legge “il campo di R.” La lettera C è scelta come iniziale della parola “campus”.

Vogliamo successivamente una notazione per la relazione, per una classe α contenuta nel dominio di R, della classe di termini con cui qualche membro α ha la relazione R, e anche per la relazione, con una classe β contenuta nel dominio inverso di R, della classe di termini che hanno la relazione R con qualche membro di β. Per il secondo di questi abbiamo posto

Schermata 2014-09-23 alle 15.50.09

Così che

Schermata 2014-09-23 alle 15.50.55

Quindi se R è la relazione tra padre e figlio, e β è la classe degli Etoniani, Rε‘β sarà la classe “padri degli Etoniani”; se R è la relazione “minore di”, e β è la classe delle frazioni proprie nella forma 1 – 2-n per valori interi di n, Rε‘β sarà la classe di frazioni minori di alcune frazioni della forma 1 – 2-n; ovvero., Rε‘β sarà la classe delle frazioni proprie. L’altra relazione di cui sopra è Schermata 2014-09-23 alle 15.51.51

Abbiamo posto, come notazione alternativa spesso più conveniente,

Schermata 2014-09-23 alle 15.52.30

Il prodotto relativo di due relazioni R, S è la relazione che si verifica fra x e z ogni volta che esiste un termine y tale che xRy e yRz entrambi si verificano.

Il prodotto relativo è indicato con R | S. Così

Schermata 2014-09-23 alle 15.53.24

Abbiamo posto anche

Schermata 2014-09-23 alle 15.54.10

Il prodotto e la somma di una classe di classi sono spesso necessari. Sono definiti come segue:

Schermata 2014-09-23 alle 15.54.47

Analogamente per le relazioni poniamo

Schermata 2014-09-23 alle 15.57.44

Abbiamo bisogno di una notazione per la classe il cui unico membro è x. Peano usa ιx, quindi useremo ι’x. Peano ha mostrato (quello che anche Frege aveva sottolineato) che questa classe non può essere identificata con x. Con il punto di vista abituale sulle classi, la necessità di una tale distinzione rimane un mistero; ma dal punto di vista di cui sopra, diventa evidente.

Abbiamo posto

Schermata 2014-09-23 alle 15.58.37

da dove

Schermata 2014-09-23 alle 15.59.17

e

Schermata 2014-09-23 alle 15.59.55

ovvero, se α è una classe che ha un solo membro, allora Schermata 2014-09-23 alle 16.00.40

è questo unico membro. *

Per la classe di classi contenute in una data classe, abbiamo posto

Schermata 2014-09-23 alle 16.01.41

Possiamo ora procedere alla considerazione dei numeri cardinali e ordinali, e di come essi sono influenzati dalla dottrina di tipi.

* Così   Schermata 2014-09-23 alle 16.04.25 è quello che Peano chiama Schermata 2014-09-23 alle 16.02.32

IX. 

Numeri cardinali.

Il numero cardinale di una classe α è definito come la classe di tutte le classi simili ad α, due classi essendo simile quando vi è una relazione biunivoca tra loro.

La classe delle relazioni biunivoche è indicata con | → | e definito come segue:

Schermata 2014-09-23 alle 16.58.20

Similmente è indicato con Sim; la sua definizione è

Schermata 2014-09-23 alle 16.59.02

Allora Schermata 2014-09-23 alle 16.59.45 è, per definizione, il numero cardinale di α; indicheremo questo con Schermata 2014-09-23 alle 17.00.43quindi poniamo

Schermata 2014-09-23 alle 17.01.19

da cui

Schermata 2014-09-23 alle 17.02.01

Indicheremo la classe dei cardinali con NC; così

Schermata 2014-09-23 alle 17.02.41

0 è definito come la classe il cui unico membro è la classe nulla, Λ, in modo che

Schermata 2014-09-23 alle 17.03.34

La definizione di 1 è

Schermata 2014-09-23 alle 17.04.09

E ‘facile dimostrare che 0 e 1 sono cardinali in accordo con la definizione.

Va osservato, tuttavia, che 0 e 1 e tutti gli altri cardinali, secondo le definizioni di cui sopra, sono simboli ambigui, come cls, e hanno tanti significati quanti sono i tipi. Per cominciare con 0: il significato di 0 dipende da quello di Λ, e il significato di Λ è differente a seconda del tipo di cui è la classe nulla. Così ci sono tanti 0 quanti sono i tipi; e lo stesso vale per tutti gli altri cardinali. Tuttavia, se due classi α, β sono di diversi tipi, si può parlare di esse come aventi lo stesso cardinale, o di una come avente un cardinale maggiore rispetto all’atra, perché una relazione biunivoca può sussistere tra i membri di α e i membri di β, anche quando α e β sono di diversi tipi. Ad esempio, supponiamo β essere ι “α; ovvero., la classe i cui membri sono le classi che consistono dei singoli membri di α. Allora ι “α è di tipo superiore α, ma simile a α, essendo correlata con α dalla relazione biunivoca ι.

La gerarchia dei tipi ha importanti risultati in materia di addizione.

Supponiamo di avere una classe di α termini e una classe di β termini, dove α e β sono cardinali; può essere abbastanza impossibile sommarli tra loro per ottenere una classe di termini α e β, poiché, se le classi non sono dello stesso tipo, la loro somma logica è senza senso. Se solo sono interessate un numero finito di classi, possiamo evitare le conseguenze pratiche di questo, per il fatto che si possono sempre applicare operazioni di una classe che aumenta il suo tipo alla misura richiesta senza alterarne il numero cardinale. Ad esempio, data una qualsiasi classe α, la classe ι”α ha lo stesso numero cardinale, ma è di tipo immediatamente superiore  ad α. Quindi, dato un qualsiasi numero finito di classi di tipi diversi, siamo in grado di aumentarle tutte al tipo che è quello che potremmo chiamare il minimo comune multiplo di tutti i tipi in questione; e si può dimostrare che questo può essere fatto in modo tale che le classi risultanti non abbiano nessun membro in comune. Possiamo poi formare la somma logica di tutte le classi così ottenute, e il suo numero cardinale sarà la somma aritmetica dei numeri cardinali delle classi originali. Ma dove abbiamo una serie infinita di classi di tipi ascendente, questo metodo non può essere applicato. Per questo motivo, non possiamo ora dimostrare che esistano classi infinite. Supponiamo che ci fossero del tutto solo n particolari nell’universo, dove n è finito. Ci sarebbero allora 2n classi di particolari, e 22n  classi di classi di particolari, e così via. Così il numero cardinale dei termini in ogni tipo sarebbe finito e sebbene questi numeri crescano oltre ogni numero finito assegnato, non ci sarebbe modo di sommarli in modo da ottenere un numero infinito. Quindi abbiamo bisogno di un assioma, così mi sembrerebbe, nel senso che nessuna classe finita di particolari contiene tutti i particolari; ma se uno sceglie di assumere che il numero totale di particolari nell’universo è (diciamo) 10.367, non ci sembra un modo a priori di confutare la sua opinione.

Dalla modalità di ragionamento di cui sopra , è chiaro che la dottrina dei tipi evita tutte le difficoltà per il più grande numero cardinale. Esiste un maggiore cardinale in ogni tipo, vale a dire il numero cardinale dell’insieme del tipo; ma questo viene sempre superato dal numero cardinale del tipo successivo, poiché, se α è il numero cardinale di un tipo, quello del tipo successivo è 2α, che, come Cantor ha dimostrato, è sempre maggiore di α. Poiché non c’è modo di sommare tipi differenti, non si può parlare di “il numero cardinale di tutti gli oggetti, di qualsiasi tipo”, e quindi non esiste affatto un più grande numero cardinale.

Se si ammette che nessuna classe finita di particolari contiene tutti i particolari, ne consegue che ci sono classi di particolari aventi qualsiasi numero finito. Quindi esistono tutti i cardinali finiti come singoli-cardinali; cioè, come numeri cardinali di classi di particolari. Ne consegue che esiste una classe di ℵ0 cardinali, vale a dire, la classe dei cardinali finiti. Quindi ℵ0 esiste come il cardinale di una classe di classi di classi di particolari. Formando tutte le classi dei cardinali finiti, troviamo che 2ℵ0 esiste come il cardinale di una classe di classi di classi di classi di particolari; e così possiamo procedere all’infinito. L’esistenza di ℵn per ogni valore finito di n può essere dimostrata; ma questo richiede la considerazione degli ordinali.

Se, oltre ad assumere che nessuna classe finita contiene tutti i particolari, assumiamo l’assioma moltiplicativo (cioè, l’assioma che, dato un insieme di classi mutuamente esclusive, nessuna delle quali è nulla, vi è almeno una classe composta da un membro per ogni classe nell’insieme delle classi), allora possiamo dimostrare che esiste una classe di particolari che contengono ℵ0 membri, in modo che ℵ0 esisterà come singolo-cardinale.

Questo riduce un po’ il tipo verso cui dobbiamo andare al fine di dimostrare il teorema di esistenza per ogni cardinale, ma non ci fornisce alcun teorema di esistenza che non può essere ottenuto in altro modo, prima o poi.

Molti teoremi elementari riguardanti i numeri cardinali richiedono l’assioma moltiplicativo. * E ‘da osservare che questo assioma è equivalente a quello di Zermelo, † e quindi al presupposto che ogni classe può essere ben ordinata. ‡ Queste ipotesi equivalenti sono, a quanto pare, tutte incapaci di prova, anche se l’assioma moltiplicativo, almeno, appare evidente in sé. In assenza di prove, sembra meglio non assumere l’assioma moltiplicativo, ma porlo come un’ipotesi in ogni occasione in cui viene utilizzato.

* Cf. Parte III di un documento dall’autore, “On some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types,”, Proc. London Math. Soc. Ser. II, vol. IV, parte I.

† Cf. loc. cit. per una affermazione dell’assioma di Zermelo, e per la prova che questo assioma implica l’assioma moltiplicativo. La deduzione opposta risulta come segue: Poniamo  Prod ‘k per la classe moltiplicativo di k, consideriamo

Schermata 2014-09-23 alle 17.08.08

e assumiamo

Schermata 2014-09-23 alle 17.08.38

Allora R è una correlazione di Zermelo. Quindi se Prod’ Z” cl’α non è nullo, almeno una correlazione di Zermelo con α esiste.

‡ Vedere Zermelo, “Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.” Math. Annalen, vol. LIX, pp. 514-516.

X. 

Numeri ordinali. 

Un numero ordinale è una classe di una serie ordinalmente simile ben ordinata, cioè, di relazioni che generano tale serie. La similitudine ordinale o somiglianza è definita come segue:

Schermata 2014-09-23 alle 17.10.03

dove “Smor” è l’abbreviazione di “ordinalmente simile.”

La classe di relazioni seriali, che chiameremo “Ser” è definita come segue:

Schermata 2014-09-23 alle 17.13.10

Cioè, leggendo P come “precede”, una relazione è seriale, se (1) nessun termine precede sé stesso, (2) un predecessore di un predecessore è un predecessore, (3) se x è qualsiasi termine nel campo della della relazione, allora i predecessori di x insieme a x insieme con i successori x costituiscono l’intero campo della relazione.

Le relazioni seriali ben ordinate, che chiameremo Ω, sono definite come segue:

Schermata 2014-09-23 alle 17.16.14

ovvero, P genera una serie ben ordinata se P è seriale, e qualsiasi classe α nel campo della P e non nulla ha un primo termine. (Si noti che Schermata 2014-09-23 alle 17.17.01 sono i termini che vengono dopo un certo termine di α).

Se indichiamo con N0’P il numero ordinale di una relazione ben ordinata P, e con NO la classe dei numeri ordinali, avremo

Schermata 2014-09-23 alle 17.18.58

Dalla definizione di N0 abbiamo

Schermata 2014-09-23 alle 17.19.39

Se ora esaminiamo le nostre definizioni dal punto di vista della loro connessione con la teoria dei tipi, vediamo, per cominciare, che le definizioni di “Ser” e Ω coinvolgono i campi delle relazioni seriali. Ora il campo è significativo solo quando la relazione è omogenea; quindi le relazioni che non sono omogenee non generano serie. Ad esempio, la relazione ι potrebbe essere intesa generare serie di numero ordinale ω, come

Schermata 2014-09-23 alle 17.20.15

e potremmo tentare di dimostrare in questo modo l’esistenza di ω e ℵ0. Ma x e ι’x sono di diversi tipi, e quindi non esiste tale serie secondo la definizione.

Il numero ordinale di una serie di particolari è, per la definizione di cui sopra di N0, una classe di relazioni di particolari. È quindi di un tipo diverso da ogni particolare, e non può formare parte di qualsiasi serie in cui si presentano particolari.

Inoltre, supponiamo che  tutti gli ordinali finiti esistano come singoli ordinali; ovvero, come gli ordinali di serie di particolari. Allora gli ordinali finiti stessi formano una serie il cui numero ordinale è ω; quindi ω esiste come ordinale-ordinale, ovvero, come ordinale di una serie di numeri ordinali. Ma il tipo di un ordinale ordinale è quello di classi di relazioni di classi di relazioni di particolari. Così l’esistenza di ω è stata dimostrata in un tipo superiore a quello dei ordinali finiti. Inoltre, il numero cardinale dei numeri ordinali della serie ben ordinata che può essere costituita di ordinali finiti è ℵ1; quindi ℵ1, esiste nel tipo di classi di classi di classi di relazioni di classi di relazioni di particolari. Anche i numeri ordinali della serie ordinata composta da ordinali finiti possono essere disposti in ordine di grandezza, e il risultato è una serie ben ordinata il cui numero ordinale è ω1.

Quindi ω1 esiste come un ordinale ordinale ordinale. Questo processo può essere ripetuto un qualsiasi numero finito di volte, e quindi siamo in grado di dimostrare l’esistenza, in tipi appropriati, di ℵn e ωn per ogni valore finito di n.

Ma il suddetto processo di generazione non porta più a qualsiasi insieme di tutti gli ordinali, perché, se prendiamo tutti gli ordinali di qualsiasi dato tipo, ci sono sempre  ordinali nei tipi superiori; e non siamo in grado di sommare un insieme di ordinali il cui il tipo si alza sopra di ogni limite finito. Così tutti gli ordinali in qualsiasi tipo possono essere organizzati per ordine di grandezza in una serie ben ordinata, che ha un numero ordinale di tipo superiore a quello degli ordinali che compongono la serie.

Nel nuovo tipo, questo nuovo ordinale non è il maggiore. In realtà, non c’è più l’ordinale maggiore in qualunque tipo, ma in ogni tipo tutti gli ordinali sono minori di alcuni ordinali di tipo superiore. E’ impossibile completare la serie dei numeri ordinali, in quanto sale a tipi al di sopra di ogni limite finito assegnabile; così anche se ciascun segmento della serie di ordinali è ben ordinato, non possiamo dire che l’intera serie è ben ordinata, perché “l’intera serie” è una fandonia. Quindi la contraddizione Burali-Forti scompare.

Dalle ultime due sezioni sembra che, se è consentito che il numero di particolari non sia finito, l’esistenza di tutti i numeri cardinali e ordinali di Cantor può essere dimostrata, all’infuori di ℵω e ωω. (E del tutto possibile che l’esistenza di questi possa anche essere dimostrabile.) L’esistenza di tutti i cardinali e ordinali finiti può essere provata senza assumere l’esistenza di qualsiasi cosa.

Perché se il numero cardinale di termini in qualsiasi tipo è n, quello dei termini del tipo successivo è 2n. Quindi se non ci sono particolari, ci sarà una classe (cioè, la classe nulla), due classi di classi (vale a dire, che non contengono nessuna classe e che contiene la classe nulla), quattro classi di classi di classi, e in generale 2n-1 classi di ordine n-esimo. Ma non possiamo sommare insieme termini di tipi diversi, e quindi non possiamo in questo modo dimostrare l’esistenza di qualsiasi classe infinita.

Possiamo ora riassumere tutta la nostra discussione. Dopo aver ricordato alcuni dei paradossi della logica, abbiamo trovato che tutti questi nascono dal fatto che un’espressione che si riferisce a tutti di un qualche insieme può sembrare che essa stessa indichi un elemento dell’insieme; come, per esempio, “tutte le proposizioni sono o vere o false” sembra essere di per sé una proposizione. Abbiamo deciso che, dove questo sembra accadere, stiamo trattando di una falsa totalità, e che in realtà nulla di tutto ciò può essere detto in modo sensato sul tutto del presunto insieme. Al fine di dare attuazione alla presente decisione, abbiamo spiegato una dottrina dei tipi delle variabili, partendo dal principio che ogni espressione che si riferisce a tutto di un certo tipo deve, se denota qualcosa, denotare qualcosa di un tipo superiore di quello a cui il tutto cui si riferisce.

Dove un tutto di qualche tipo viene trattato, vi è una variabile apparente appartenente a tale tipo. Pertanto qualsiasi espressione contenente una variabile apparente è di tipo superiore a questa variabile. Questo è il principio fondamentale della dottrina dei tipi.

Un cambiamento nel modo in cui i tipi sono costruiti, qualora fosse necessario, lascerebbe la soluzione delle contraddizioni intatta fino a che questo principio fondamentale sia rispettato. Il metodo di costruire i tipi spiegato sopra è stato mostrato per premetterci di porre tutte le definizioni fondamentali della matematica, e allo stesso tempo di evitare ogni contraddizione conosciuta. Ed è emerso che, in pratica, la dottrina dei tipi non è mai rilevante se non sono interessati i teoremi di esistenza, o dove le applicazioni devono essere fatte per qualche caso particolare.

La teoria dei tipi solleva una serie di difficili questioni filosofiche riguardanti la sua interpretazione. Queste domande sono, tuttavia, in sostanza separabili dallo sviluppo della teoria matematica, e, come tutte le questioni filosofiche, introducono elementi di incertezza che non appartengono alla teoria stessa. E’ sembrato meglio, dunque, affermare la teoria senza riferimento a questioni filosofiche, lasciando che si affrontino queste in modo indipendente.

The Foundation of Mathematics di Frank Ramsey – Epilogo

30 Giu

Ramsey_2Riporto la mia traduzione dell’ultima parte di The Foundation of Mathematics di Frank Plumpton Ramsey pubblicato a cura di R.B. Braithwaite con il titolo Epilogo.

Si tratta di una lettura per la Società degli Apostoli di Cambridge con alcune modifiche del curatore rispetto agli appunti autografi che si trovano alla Hillman Library dell’Università di Pittsburg. Si nota un certa vicinanza alle idee di Wittgenstein sulla filosofia e un fondamentale atteggiamento positivo verso il progresso scientifico e alla conoscenza senza cadere in dogmatismi su temi su cui esiste la libertà di scelta.

 

EPILOGO 1 28 febbraio 1925

1 Questo articolo è stato pubblicato in Notes on Philosophy, Probability and Mathematics a cura della prof.ssa Maria Carla Galavotti con il titolo On there being no discussable subject nella trascrizione più vicina all’originale in quanto, ad esempio, il curatore Braithwaite ha tolto tutti i riferimenti alla Apostles Society di Cambridge.

Dovendo scrivere un articolo per la Società ero come al solito a corto di un soggetto; e mi sono lusingato che questa non era soltanto la mia carenza personale, ma che nascesse dal fatto che non c’era davvero nessun soggetto adatto per la discussione. Ma mi è successo di aver recentemente tenuto una conferenze sulla Teoria dei Tipi ho riflettuto che in una frase la parola “soggetto” deve essere limitata a significare “soggetto” del primo ordine e che forse potrebbe esistere un soggetto di secondo ordine che potrebbe essere possibile. E poi ho visto che si trovava pronta davanti a me, cioè, che dovrei proporre la tesi che non esiste un soggetto discutibile (del 1° ordine).

Una questione seria questa se fosse vera. Perché per cosa esiste la società se non per la discussione? e se non c’è nulla da discutere, ma questo può essere lasciato al seguito.

Non voglio sostenere che non c’è mai stato nulla da discutere; ma solo che non c’è più; che abbiamo davvero tutto risolto; rendendoci conto che non c’è niente da conoscere, tranne la scienza. E che la maggior parte di noi ignora la maggior parte delle scienze in modo che, mentre siamo in grado di scambiare informazioni non possiamo utilmente  discuterle, dal momento che noi siamo solo discenti.

Rivediamo i possibili argomenti di discussione. Ricadono per quanto posso vedere sotto i capitoli della scienza, filosofia, storia e politica, psicologia ed estetica; dove, non per dare qualcosa per scontato, sto separando la psicologia dalle altre scienze.

Scienza, storia e politica non sono adatti per la discussione se non da esperti. Le altre sono semplicemente nella posizione di richiedere ulteriori informazioni; e fino a quando non avremo acquisito tutte le informazioni disponibili, non possiamo fare altro che accettare per autorità le opinioni di quelli più qualificati.

Poi c’è la filosofia, anche questa è diventata troppo tecnica per i profani. Oltre questo inconveniente, la conclusione del più grande filosofo moderno è che non esiste un certo soggetto come la filosofia; che è una attività non una dottrina; e che invece di rispondere a domande, mira semplicemente a curare il mal di testa. Si potrebbe pensare che, a parte questa filosofia tecnica il cui centro è la logica, ci sarebbe una sorta di filosofia popolare che trattava temi come il rapporto dell’uomo con la natura e il senso della morale. Ma ogni tentativo di trattare in modo serio tali argomenti li riduce a problemi o della scienza o della filosofia tecnica, o più immediatamente determina il risultato di farle riconoscere essere prive di senso.

Prendete come esempio la recente conferenza di Russell su “Quello che credo”. L’ha divisa in due parti, la filosofia della natura e la filosofia del valore. La sua filosofia della natura consisteva principalmente nelle conclusioni della moderna fisica, fisiologia e astronomia  con una leggera aggiunta di una sua personale teoria degli oggetti materiali come un particolare tipo di costruzione logica. Il suo contenuto potrebbe quindi essere discusso solo da qualcuno con una conoscenza adeguata della relatività, la teoria atomica, la fisiologia e la logica matematica. L’ unica possibilità residua di discussione in relazione a questa parte del suo saggio, sarebbe circa l’enfasi posta su alcuni punti, ad esempio, la disparità di dimensioni fisiche tra le stelle e gli uomini.

Tornerò su questo argomento.

La sua filosofia dei valore consiste nel dire che le uniche domande sul valore sarebbe ciò che gli uomini desiderano e come i loro desideri potrebbero essere soddisfatti, e poi ha continuato ad andare avanti a rispondere a queste domande. Così l’ intero argomento divenne parte della psicologia, e la discussione sarebbe stata una discussione psicologica.

Naturalmente la sua principale presa di posizione sul valore potrebbe essere contestata, ma la maggior parte di noi sarebbe d’accordo che l’oggettività del bene sarebbe una cosa che avremmo deciso e respinto come l’esistenza di Dio.

La teologia e l’etica assoluta sono due temi famosi che abbiamo compreso non disporre di  oggetti reali.

L’etica è stata quindi ridotta a psicologia, e questo mi porta alla psicologia come soggetto di discussione. La maggior parte dei nostri incontri si potrebbe dire che hanno a che fare con questioni psicologiche. Si tratta di un argomento in cui siamo tutti più o meno interessati per ragioni pratiche. Nel considerare che dobbiamo distinguere la psicologia vera e propria che è lo studio di eventi mentali con lo scopo di stabilire generalizzazioni scientifiche, dalla semplice comparazione tra la nostra esperienza e l’interesse personale. La prova è se volessimo conoscere di questa esperienza quanto ci sarebbe di strano se noi la facessimo quando appartiene ad un nostro amico; se siamo interessati in essa come materiale scientifico, o semplicemente per curiosità personale .

Credo che raramente, se mai discutiamo questioni psicologiche fondamentali, ma molto più spesso semplicemente confrontiamo le nostre diverse esperienze, che non è una forma di discussione. Penso che ci rendiamo conto troppo poco quanto spesso i nostri argomenti sono della forma A ” Sono andato a Grantchester questo pomeriggio ” B ” No non l’ho fatto”. Un’altra cosa che facciamo spesso è quello di discutere per quale tipo di persone o comportamenti proviamo ammirazione, o proviamo vergogna. Ad esempio quando si discute la costanza di affetto esso consiste in A dicendo che si sentirebbe in colpa se non fosse costante, mentre in B dicendo che  lui non si sentirebbe colpevole affatto. A parte questo, sebbene un modo piacevole di passare il tempo, è non discutere di nulla, ma semplicemente confrontare gli appunti.

La vera Psicologia d’altra parte è una scienza di cui la maggior parte di noi sa troppo poco per iniziare da arrischiare un parere.

Infine vi è l’estetica, inclusa la letteratura. Questa ci emoziona sempre molto di più di qualsiasi altra cosa; ma in realtà non ne discutiamo molto. I nostri argomenti sono così deboli; siamo ancora nella fase di “Chi spinge buoi grassi deve essere egli stesso grasso”, e hanno ben poco da dire sui problemi psicologici in cui l’estetica in realtà consiste, ad esempio perché alcune combinazioni di colori ci danno certe sensazioni particolari. Quello che ci piace fare è di nuovo il confrontare la nostra esperienza; una pratica che in questo caso è particolarmente utile perché il critico può indicare cose ad altre persone, per cui, se prestano attenzione, otterranno sentimenti che hanno un valore, che non riuscirebbero ad ottenere altrimenti. Noi non discutiamo e non possiamo discutere se un’opera d’arte è migliore di un altra, ci limitiamo a confrontare le sensazioni che ci dà.

Concludo che non c’è davvero nulla da discutere, e questa conclusione corrisponde a una sensazione che ho anche circa una ordinaria conversazione. Si tratta di un fenomeno relativamente nuovo, originato da due cause che hanno operato gradualmente attraverso il 19° secolo. Una è il progresso della scienza, l’altro il decadere della religione; che hanno portato tutte le vecchie principali domande a diventare o tecniche o ridicole. Questo processo di sviluppo della civiltà dobbiamo ciascuno di noi ripetere in noi stessi. Io per esempio, ho avvicinato  un novellino, che godeva della conversazione con argomentare più di ogni altra cosa al mondo, ma io ho iniziato gradualmente a considerarlo come di sempre minore importanza, perché non sembrava mai aver nulla da dire eccetto gli acquisti e le vite private delle persone, nessuna delle quali cose è adatta ad una conversazione su questioni generali. Anche, dal momento che venivo analizzato, sentivo che le persone sappiano molto meno su se stesse di quanto immaginano, e non sono poi così ansioso di parlare di me come ho fatto, da concludere di aver avuto abbastanza di quel tipo fino ad annoiarmi. Ci sono ancora la letteratura e l’arte; ma di queste non si può discutere, si possono confrontare solo gli appunti, proprio come si possono scambiare informazioni sulla storia o sull’economia.

Ma sull’arte ci si scambia non informazioni, ma sentimenti.

Questo mi riporta a Russell e ” Che cosa credo? . Se dovessi scrivere un Weltanschauung dovrei chiamarlo non “Quello che io credo”, ma ”Quello che sento”. Questo è collegato con il punto di vista di Wittgenstein che la filosofia non ci dà convinzioni, ma solo allevia i sentimenti di disagio intellettuale. Così, anche se dovessi litigare con l’articolo di Russell, non sarebbe su quello che egli credeva, ma sulle indicazioni che ha dato come quello che sentiva. Non che si può davvero litigare con i sentimenti di un uomo, si possono avere solo sentimenti propri differenti, e forse anche considerare i propri come più ammirevoli o più favorevoli per una vita felice.

Da questo punto di vista che questa non è una questione di fatto, ma di sentimento, concludo alcune osservazioni sulle cose in generale, o come preferisco dire, non sulle cose, ma sulla vita in generale.

Dove mi sembra di essere diverso dalla maggior parte mia amici è nell’attribuire poca importanza alla dimensione fisica. Non mi sento meno umile di fronte alla vastità dei cieli.  Le stelle possono essere grandi, ma non possono pensare o amare; e quelle sono qualità che mi impressionano molto di più di quello che fanno le dimensioni. Non attribuisco nessuna importanza a me stesso per pesare quasi 238 libbre.

La mia immagine del mondo è disegnata in prospettiva, e non come un modello in scala. Il primo piano è occupato da esseri umani e le stelle sono così piccole come una monetina da tre penny. Io non credo veramente nell’astronomia, se non come una descrizione complessa di una parte del corso delle sensazioni umane e forse animali.

Applico il mio punto di vista non solo allo spazio, ma anche al tempo. Nel momento in cui il mondo si raffredderà tutto morirà; ma c’è ancora un gran bel po’ di tempo, e il suo valore attuale a interesse composto è quasi nullo. Né il presente è meno prezioso perché il futuro sarà vuoto. Trovo l’umanità che riempie il primo piano della mia immagine interessante e del tutto ammirevole. Trovo, proprio adesso almeno, il mondo un posto piacevole ed emozionante. Tu potresti trovarlo deprimente; mi dispiace per te, e tu mi disprezzeresti.

Ma io ho ragione e tu non ne hai; tu avresti solo una ragione per disprezzarmi se il tuo sentimento corrispondesse ad una realtà a in cui non corrispondesse il mio sentire. Ma nessuno dei due può trovare una corrispondenza con la realtà.

Il fatto non è di per sé buono o cattivo; è solo che emoziona me, ma deprime te. D’altra parte ho pietà di voi con ragione, perché è più piacevole essere entusiasta che essere depresso, e non solo più piacevole ma meglio per tutte le attività di una persona.

28 Febbraio 1925

The Foundation of Mathematics di Frank Ramsey – Appendice – Recensione del Tractatus Logico-Philosophicus di Ludwig Wittgenstein

30 Giu

Ludwig_Wittgenstein_1910Riporto la mia traduzione della recensione del Tractatus Logico-Philosophicus di Ludwig Wittgenstein riportata nell’Appendice del libro The Foundation of Mathematics di Frank Plumpton Ramsey.

Questa recensione è molto importante in quanto chiarisce il modo di affrontare i testi di Wittgenstein ovvero mediante il riunire alcuni paragrafi sotto un determinato tema ed esaminare così in dettaglio il pensiero espresso da Wittgenstein. Inoltre l’esame di Ramsey risulta molto più completo e approfondito di quello espresso nella prefazione da parte di Russell.

E’ interessante come l’analisi di Ramsey, per forza di cose limitata ad alcuni argomenti, acquisisca importanti valutazioni di Wittgenstein su argomenti basilari quali il “significato”, “la filosofia”, “la percezione”, ecc. Ma nel contempo sia in grado di evidenziare l’incompletezza di alcuni temi o di palesi errori di valutazione che saranno oggetto di revisione nell’opera posteriore al Tractatus da parte di Wittgenstein.

In particolare la questione del significato e delle proposizioni riguardanti i colori sono messe sotto esame per l’insoddisfacente aspetto della teoria esposta in merito.  Questi elementi saranno elaborati in molti scritti successivi di Wittgenstein come “Osservazione sui colori”, Osservazioni sulla filosofia della psicologia, ed altri testi che riportano gli appunti (mai pubblicati in forma organica) dell’Autore austriaco.

La recensione è una pagina importante per comprendere sia le teorie wittgensteiniane  sia le importanti elaborazioni della logica matematica seguite alla pubblicazione dei Principia di Russell – Whitehead che si possono considerare la base di tutta l’elaborazione scientifica della logica matematica moderna.

Sia Ramsey sia Wittgenstein hanno rimosso, con le loro opera, la maggior parte dei problemi che potevano sorgere nel sistema logico di Russell-Whitehead ed hanno costituito la scuola logico-matematica di Cambridge in opposizione alla scuola tedesca orientata maggiormente ad un materialismo elitario e spesso fortemente permeato da tendenze giustificatrici delle ideologie della destra nazionalista, anche se muovevano dal superamento dell’hegelismo.

Penso che sarebbe opportuno tenere presente come le teorie di Russell-Whitehead con le elaborazioni di Ramsey e Wittgenstein rappresentino una elaborazione scientifica che rispetta i valori della libertà individuale e della giustizia e consentono di concepire un’etica del rispetto delle idee e delle persone che non possimo trovare nella scuola tedesca, in Popper e suoi epigoni che fanno del relativismo una scelta scientifica benché porti necessariamente a contraddizioni. Ma questo probabilmente fa parte di questioni di opportunismo e quindi esulano dalle problematiche della scienza.

Per pronto riferimento ho inserito i paragrafi del Tractatus che vengono citati nella recensione.

APPENDICE

RECENSIONE ( 1923)

Tractatus logico-philosophicus di Ludwig Wittgenstein, con una Introduzione di Bertrand Russell. (International Library of Psychology, Philosophy and Scientific Method.) 1922.

Questo è un libro molto importante che contiene idee originali su una vasta gamma di argomenti, che formano un sistema coerente, che sia o non sia, come sostiene l’autore, nella sua essenza la soluzione dei problemi trattati, è di straordinario interesse e merita l’attenzione di tutti i filosofi. E anche se il sistema fosse del tutto errato il libro contiene un gran numero di profonde osservazioni incidentali e critiche di altre teorie. È, tuttavia, molto difficile da capire, nonostante il fatto che esso sia stampato con il testo tedesco e una traduzione in inglese nelle pagine a fronte.

Wittgenstein scrive, non una prosa coordinata, ma brevi proposizioni numerate in modo da mostrare l’accento posto su di esse nella sua esposizione. Questo dà al suo lavoro un carattere epigrammatico avvincente, e forse lo rende più accurato nei dettagli poiché ogni frase deve aver ricevuto una particolare riflessione; ma questo sembra che gli abbia impedito di fornire spiegazioni adeguate di molti dei suoi termini tecnici e delle sue teorie, forse perché le spiegazioni richiedono qualche sacrificio in accuratezza.

Questa carenza è in parte rimediata dall’introduzione di Russell, ma è possibile che egli non sia una guida infallibile alle idee di Wittgenstein. “Per capire il libro di Wittgenstein”, dice Russell, “è necessario comprendere quale è il problema di cui si occupa. Nella parte della sua teoria che tratta il Simbolismo egli si occupa delle delle condizioni che dovrebbero essere soddisfatte in un linguaggio logicamente perfetto”. Questa sembra essere una generalizzazione molto dubbia, ci sono, infatti, passaggi in cui Wittgenstein è esplicitamente interessato ad una logica perfetta, e non ad un qualche linguaggio, ad esempio la discussione di ‘sintassi logica’ in 3.325 ff. 1; ma in generale sembra sostenere che le sue dottrine si applicano a linguaggi ordinari nonostante l’apparenza del contrario (cfr. in particolare 4.002 ff. 2).

1 3.325 Per sfuggire questi errori dobbiamo impiegare un linguaggio segnico, il quale li escluda non impiegando, in simboli diversi, io stesso segno, e non impiegando, apparentemente nello stesso‘ modo, segni che designano in modo diverso. Un linguaggio segnico, dunque, che obbedisca alla grammatica logica — alla sintassi logica  —. (L’ideografia di Frege e di Russell è un tale linguaggio, che certo non esclude ancora tutti gli sbagli.)

2 4.002 L’uomo possiede la capacità di costruire linguaggi, con i quali ogni senso può esprimersi, senza sospettare come e che cosa ogni parola significhi. — Così come si parla senza sapere come i singoli suoni siano emessi.

Il linguaggio comune è una parte dell’organismo umano, né è meno complicato di questo.

È umanamente impossibile desumerne immediatamente la logica del linguaggio.

Il linguaggio traveste i pensieri. E precisamente così che dalla forma esteriore dell’abito non si può concludere alla forma del pensiero rivestito; perché la forma esteriore dell’abito è formata per ben altri scopi che quello di far riconoscere la forma del corpo.

Le tacite intese per la comprensione del linguaggio comune sono enormemente complicate.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Questo è ovviamente un punto importante, perché questa più larga applicazione aumenta notevolmente l’interesse e diminuisce la plausibilità di una tesi come quella che il signor Russell dichiara di essere forse la più fondamentale nella teoria di Wittgenstein; che ” al fine che una certa frase asserisca un certo fatto ci deve essere, comunque venga costruito il linguaggio, qualcosa in comune tra la struttura della frase e la struttura del fatto”.

Questa concezione sembra dipendere dalle difficili nozioni di “immagine” e le sue “forme di rappresentazione”, che tenterò di spiegare e sottoporre a critica.

Una immagine è un fatto, il fatto che i suoi elementi sono combinati tra loro in un definito modo. Questi elementi sono coordinati con certi oggetti (i costituenti il fatto di cui l’immagine è immagine). Queste coordinazioni costituiscono la relazione rappresentativa che rende l’immagine un’immagine. Questa relazione di rappresentare “appartiene all’immagine “ (2.1513) 3; questo, io penso,  significa che quando parliamo di immagine noi abbiamo qualche relazione di rappresentazione in virtù della quale questa è un’immagine. In certe circostanze diremmo che l’immagine rappresenta questo che gli oggetti sono così combinati tra loro come gli elementi dell’immagine, e questo è il significato dell’immagine. E io penso che questo debba essere assunto essere la definizione di “rappresenta” e “significato”; ovvero che quando diciamo che un’immagine rappresenta certi tipi di oggetti che sono combinati in un certo modo, intendiamo che gli elementi dell’immagine sono combinati in questo modo, e sono coordinati con gli oggetti mediante la relazione di rappresentazione che appartiene all’immagine. (Che questa sia una definizione segue, penso, da 5.542.) 4

3 2.1513 Secondo questa concezione, appartiene dunque all’immagine pure la relazione di raffigurazione che ne fa un’immagine.

4 5.542 Ma è chiaro che « A crede che p », «A pensa p », «A dice p »sono della forma « < p > dice p»: E qui si tratta non d’una coordinazione d’un fatto e d’un oggetto, ma della coordinazione di fatti per coordinazione dei loro oggetti.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Può essere fatta luce sulla ‘forma di rappresentazione’ dalle seguenti osservazioni fatte in precedenza nel libro sulla struttura e forma dei fatti. La forma è la possibilità della struttura. La struttura dei fatti consiste di strutture di fatti atomici (2,032, 2,033, 2,034).

5 2.032 Il mondo, nel quale gli oggetti ineriscono l’uno all’altro nello stato di cose, è la struttura dello stato di cose.

2.033 La forma è la possibilità della struttura.

2.034 La struttura del fatto consta delle strutture degli stati di cose.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Il solo punto che io vedo nella distinzione tra struttura e forma, è che l’inserimento della ‘possibilità’ può includere il caso in cui il fatto supposto la cui forma non consideriamo che sia un fatto, così che possiamo parlare della forma del fatto aRb, sia che aRb sia vero o meno, a condizione che sia logicamente possibile. Ci dobbiamo rammaricare che le definizioni di cui sopra non chiariscono se due fatti possono sempre avere la stessa struttura o la stessa forma; sembra come se due fatti atomici possano avere bene la stessa struttura, perché gli oggetti sarebbero collegati insieme nello stesso modo in ciascuna di esse. Ma sembra dalle osservazioni fatte più avanti nel libro che la struttura del fatto non sia semplicemente il modo in cui gli oggetti si collegano tra loro ma dipende anche da quali oggetti essi siano, così che due fatti differenti non hanno mai la stessa struttura.

Un’immagine è un fatto e come tale ha una struttura e una forma;

stiamo dando, tuttavia, le seguenti nuove definizioni della sua ‘struttura’ e della sua ‘ forma di rappresentazione ‘ in 2.15 , 2-151. 6 ‘ “Che gli elementi dell’immagine siano in una certa relazione tra loro in un determinato modo, mostra che le cose sono in questo modo in relazione tra loro. Questa connessione degli elementi dell’immagine viene chiamata la sua struttura; e la possibilità di questa struttura è chiamata la forma di rappresentazione dell’immagine.

La forma della rappresentazione è la possibilità che le cose siano in rapporto tra loro come lo sono gli elementi dell’immagine”.

6 2. 15  Che gli elementi dell’immagine siano in una determinata relazione l’uno all’altro mostra che le cose sono in questa relazione l’una all’altra.

Questa connessione degli elementi dell’immagine sarà chiamata struttura dell’immagine; la possibilità della struttura, forma della raffigurazione dell’immagine.

2.151 La forma della raffigurazione è la possibilità che le cose siano l’una all’altra nella stessa relazione che gli elementi dell’immagine.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Questo passaggio è sconcertante: in primo luogo, perché abbiamo qui due diverse definizioni della forma di rappresentazione, e in secondo luogo, perché non è evidente come interpretare ” questo rapporto ” nella prima delle due definizioni: questo può riferirsi all’esatto modo in cui gli elementi sono in rapporto, o all’insieme della frase precedente, cioè ” questa combinazione di elementi ” potrebbe essere che la loro combinazione rappresenti una simile combinazione di oggetti. Né l’interpretazione della prima definizione sembra coincidere con la seconda. Possiamo solo sperare di decidere tra questi possibili significati di ‘ forma di rappresentazione ‘ considerando le cose che dice Wittgenstein a proposito di questa. La sua proprietà fondamentale, il che la rende di fondamentale importanza per la sua teoria, è affermata in 2.17 7: “Ciò che l’immagine deve avere in comune con la realtà per essere in grado di rappresentarla a suo modo, correttamente o falsamente – è la sua forma di rappresentazione.” Inoltre, “ciò che ogni immagine, di qualsiasi forma, deve avere in comune con la realtà in modo da essere in grado di rappresentarla completamente –  giustamente o falsamente – è la forma logica, che è, la forma della realtà. Se la forma di rappresentazione è la forma logica, allora l’immagine è chiamata immagine logica. Ogni immagine è anche un immagine logica. (D’altra parte, per esempio, non ogni immagine è spaziale.)” ( 2.18 , 2.181 , 2.182) 8. Sembra, allora, che una immagine possa avere diverse forme di rappresentazione, ma una di queste deve essere la forma logica; e che non si afferma che l’ immagine deve avere la stessa forma logica come ciò che essa rappresenta, ma che tutte le immagini devono avere la forma logica.

7 2.17 Ciò che l’immagine deve avere in comune con 1a realtà, per poterla raffigurare — correttamente o falsamente — nel proprio modo, è la forma di raffigurazione propria dell’immagine.

8 2.18 Ciò che ogni immagine, di qualunque forma essa sia, deve avere in comune con la realtà, per poterla raffigurare — correttamente o falsamente — è la forma logica, cioè la forma della realtà.

2.181 Se la forma della raffigurazione è la forma logica, l’immagine si chiama l’immmagine logica.

2.182 Ogni immagine è anche un’immagine logica. (Invece, ad esempio, non ogni immagine è un’immagine spaziale.)

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Questo rende anche più plausibile la deduzione che la forma logica di una rappresentazione non può essere rappresentata; perché ciò che era comune a una immagine e alla realtà non potrebbe permettersi nessuna ragione per supporre che non potrebbe essere  rappresentato in un’altra immagine.

Ora è facile vedere un senso in cui un’immagine può avere la forma spaziale e deve anche avere la forma logica, cioè, assumendo che la forma sia il (la possibilità del) modo in cui gli elementi del quadro sono messi insieme. (Una delle interpretazioni della prima definizione data sopra.) Questo può essere logico, come quando il colore di un’area evidenziata su una mappa rappresenta l’altezza sul livello del mare della corrispondente area del paese; gli elementi dell’immagine sono messi insieme come predicato e soggetto, e questo rappresenta che anche gli oggetti corrispondenti sono combinati come predicato e soggetto.

D’altra parte, la forma può essere spaziale, come quando un punto essendo tra altri due rappresenta che una certa città è tra altre due; ma in questo caso noi potremmo anche considerare lo stare in mezzo non come il modo in cui i punti sono combinati ma come un altro elemento nell’immagine, che corrisponde a se stesso. Allora  dal momento che lo stare in mezzo e i punti sono messi insieme, non spazialmente, ma come relazione tripla con i suoi relata,  questo è logicamente, che la forma è logica. Qui allora abbiamo qualcosa che può essere spaziale e deve anche essere logico; ma non ne consegue che questa è la forma di rappresentazione, perché la forma di rappresentazione potrebbe essere una qualche entità più complicata che la coinvolge e così per derivazione quella spaziale o quella logica. Se, infatti, quelle sopra indicate fossero  quelle che venivano indicate per la forma di rappresentazione, allora nel dire che un’immagine deve avere la forma logica Wittgenstein direbbe niente di più che questo deve essere un fatto; e nel dire che non possiamo rappresentare o parlare della forma logica di rappresentazione, non più di questo possiamo discutere su ciò che rende un fatto un fatto, né assolutamente affatto sui fatti, perché ogni affermazione apparentemente sui fatti è effettivamente  tra i suoi costituenti.

Egli certamente crede a queste cose, ma mi sembra improbabile che le sue proposizioni complesse circa la forma di rappresentazione siano più di questo. Probabilmente lui si è confuso e non usa il termine in modo coerente; e se torniamo alla seconda delle definizioni data sopra, “La forma della rappresentazione è la possibilità che gli oggetti siano così in relazione tra loro come lo sono gli elementi dell’immagine,” possiamo scoprire un altro senso in cui l’immagine ha la forma di rappresentazione in comune con quella disegnata, e cioè, che gli oggetti con cui i suoi elementi sono coordinati con la relazione di rappresentazione che li rappresenta sono di un certi tipi che possono essere messi in relazione nello stesso modo in cui lo sono gli elementi dell’immagine; e così arriviamo al principio fondamentale che “l’immagine contiene la possibilità della situazione che essa rappresenta” ( 2.203 ) 9. Mi sembra, per ragioni spiegate in seguito, che l’accettazione indipendente di questo principio che giustificherà quasi tutte le deduzioni non enigmatiche che Wittgenstein fa per la necessità di qualcosa in comune tra l’immagine e il mondo, che non può per se stesso essere rappresentato; e che a queste deduzioni può quindi essere data una base più solida di quanto sia procurato dalla natura di questa entità sfuggente, la forma della  rappresentazione, che è intrinsecamente impossibile discutere.

9 2.203 L’immagine contiene la possibilità della situazione che essa rappresenta.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Al fine di ottenere ogni ulteriore comprensione di ciò che Wittgenstein pensa che una frase deve avere in comune con il fatto che essa asserisce, o, in realtà, di gran parte del suo libro, è necessario capire il suo uso della parola ‘ proposizione ‘. Questo è, credo, reso più facile con l’introduzione di due parole usate da C.S. Peirce.

La parola, nel senso in cui ci sono una dozzina di parole ‘ il ‘ in una pagina, da Peirce è chiamata simbolo, e queste decine di simboli sono tutti i casi di un tipo, la parola’ il ‘ . Oltre a ‘ parola’ ci sono altre parole che hanno questo tipo di ambiguità-simbolo, così una sensazione, un pensiero, un’emozione o un’idea possono essere sia un tipo o un simbolo.

E nell’uso di Wittgenstein, al contrario, per esempio, rispetto a Russell in The Principles of Mathematics , ‘ proposizione ‘ ha anche un’ambiguità del tipo simbolo.

Un segno proposizionale è una frase, ma questa affermazione deve essere precisata, perché con ‘ frase ‘ può essere inteso qualcosa della stessa natura come le parole di cui è composta. Ma un segno proposizionale differisce essenzialmente da una parola, perché non è un oggetto o una classe di oggetti, ma un fatto, “il fatto che i suoi elementi, le parole, sono combinati in esso in modo determinato” (3.14) 10. Così ‘ segno proposizionale ‘ ha un’ambiguità del tipo simbolo; i simboli (come quelli di qualsiasi segno) sono raggruppati in tipologie per somiglianza fisica (e da convenzioni nell’associare alcuni rumori con determinate forme), proprio come lo sono i casi di una parola. Ma una proposizione è un tipo i cui casi consistono di tutti i segni simbolo proposizionali che hanno in comune, non un certo aspetto, ma un certo senso.

10 3.14 Il segno proposizionale consiste nell’essere i suoi elementi, le parole, in una determinata relazione l’uno all’altro.

Il segno proposizionale è un fatto.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Per quanto riguarda la relazione tra una proposizione e il pensiero Wittgenstein è piuttosto oscuro; ma penso che il suo intendere è che un pensiero è un tipo in cui i significati hanno in comune un certo senso, e comprende i simboli della corrispondente proposizione ma anche include altri simboli non verbali; questi, tuttavia, non sono in modo rilevante differenti da quelli verbali, in modo che sia sufficiente prendere in considerazione questi ultimi. Egli dice: ” E’ chiaro che: ‘A crede che p’ , ‘A pensa p’ , ‘ A dice p ‘, sono nella forma ‘ ” p ” , dice p ‘ “( 5.542 ) 11, e così esplicitamente riduce il problema all’analisi del giudizio, alla quale Russell ha varie volte dato risposte diverse, alla domanda ” che cosa è per un simbolo proposizionale l’avere un certo senso ? ” Questa riduzione mi sembra un importante passo avanti, e come la domanda a cui conduce è di fondamentale importanza, propongo di esaminare attentamente ciò che Wittgenstein dice in modo da rispondere ad essa.

11 5.542 Ma è chiaro che « A crede che p », «A pensa p », « A dice p » sono della forma « < p > dice p»: E qui si tratta non d’una coordinazione d’un fatto e d’un oggetto, ma della coordinazione di fatti per coordinazione dei loro oggetti.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

In primo luogo , si può notare che, se siamo in grado di risolvere il nostro problema contestualmente risolveremmo il problema della verità; o meglio, è ormai evidente che su questo punto non c’è nessun problema. Perché se un pensiero o proposizione simbolo ‘p’, afferma p, allora è detto vero se p, e falso se ~ p.

Potremmo dire che ciò è vero se il suo senso è in accordo con la realtà, o se lo stato di cose possibile che esso rappresenta è quello reale, ma queste formulazioni esprimono solo la definizione di cui sopra, con altre parole .

Secondo Wittgenstein un proposizione simbolo è un’immagine logica; e così il suo significato deve essere fornito attraverso il significato di un’immagine; di conseguenza il significato di una proposizione è quello che che le cose significano attraverso i suoi elementi (le parole) che sono combinate tra loro nello stesso modo come lo sono gli elementi stessi, cioè, in modo logico. Ma è evidente che, a dir poco, questa definizione è molto incompleta; può essere applicata letteralmente solo in un caso, quello di una proposizione elementare completamente analizzata. (Può essere spiegato che una proposizione elementare è quella che afferma l’esistenza di un fatto atomico, e che una proposizione simbolo è analizzata completamente se c’è in essa un elemento che corrisponde a ciascun oggetto che si presenta nel suo significato.) Così se ‘ a ‘ significa a, b ‘ b ​​’, e ‘ R ‘, o più precisamente la relazione che stabiliamo tra ‘a’ e ‘b’ scrivendo ‘ aRb ‘ , significa R , allora questo ‘a’ sta in questo rapporto a ‘b’ afferma che aRb, e questo è il suo significato.

Ma questo semplice schema deve evidentemente essere modificato, se, per esempio, una parola è usata per ‘ avendo R con b’ in modo che la proposizione non è completamente  analizzata; o se abbiamo a che fare con una proposizione più complicata che contiene costanti logiche come ‘ non ‘ o ‘ se ‘, che non rappresentano oggetti come lo sono i nomi. Wittgenstein non rende del tutto chiaro come si propone di trattare con entrambi questi problemi. Per quanto riguarda il primo, che pressoché ignora, si può ragionevolmente invocare il fatto che esso deriva dalla enorme complicazione della lingua parlata, che non può essere districato a priori; perché in un linguaggio perfetto tutte le proposizioni verrebbero analizzate completamente tranne quando avessimo definito un segno che prendere il posto di una stringa di segni semplici; allora, come dice lui, il segno definito assumerebbe il significato attraverso i segni con cui viene definito.

Ma l’altra difficoltà deve essere affrontata, in quanto non possiamo essere soddisfatti di una teoria che si occupa solo di proposizioni elementari .

Il senso delle proposizioni, in generale, è spiegato con con riferimento a proposizioni elementari. Per quanto riguarda n proposizioni elementari ci sono 2n possibilità della loro verità e falsità, che sono chiamate le possibilità di verità delle proposizioni elementari; allo stesso modo ci sono possibilità 2n di esistenza e non-esistenza dei relativi fatti atomici. Wittgenstein afferma che ogni proposizione è l’espressione di un accordo e di un disaccordo con la possibilità di verità di certe proposizioni elementari, e il suo significato è il suo accordo o disaccordo con le possibilità di esistenza e non-esistenza dei relativi fatti atomici. (4.4 , 4.2.) 12

12 4.4 La proposizione è l’espressione della concordanza e discordanza con le possibilità di verità delle proposizioni elementari.

4.2 Il senso della proposizione è la sua concordanza o discordanza con le possibilità del sussistere e non sussistere degli stati di cose.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Questo è illustrato dal seguente simbolismo per funzioni di verità. T sta per vero, F per falso, e noi a scriviamo le quattro possibilità per due proposizioni elementari così : –

Schermata 2014-01-08 alle 21.55.09

Ora ponendo una T a fronte della possibilità di accordo e lasciando un vuoto per il disaccordo possiamo esprimere, ad esempio , p ⊃ q , così :

Schermata 2014-01-08 alle 21.56.19

Oppure, adottando un ordine convenzionale delle possibilità, ( TT – T )( p , q) . Evidentemente questa notazione non obbliga in alcun modo p , q ad essere proposizioni elementari; e può essere estesa ad includere proposizioni che contengono variabili apparenti. Così p, q possono essere date non per enumerazione ma come tutti i valori di una funzione proposizionale, vale a dire tutte le proposizioni che contengono una certa espressione (definito come “qualsiasi parte di una proposizione che caratterizza il suo significato ” ( 3.31 )) 13 ; e ( —— T ) ( ξ ) , dove T da solo esprime accordo solo con la possibilità che tutti gli argomenti sono falsi, e ξ I è l’insieme dei valori di Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00       , è ciò che è scritto ordinariamente come ~:.( ∃x)fx .

13 3.31 Ogni parte della proposizione che ne caratterizza il senso, la chiamo un’espressione (un simbolo).

(La proposizione stessa è un’espressione.)

Espressione è quanto d’essenziale al senso della proposizione le proposizioni possono aver in comune l’una con l’altra.

L’espressione contrassegna una forma e un contenuto.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Quindi ogni proposizione è una funzione verità di proposizioni elementari, e molti segni proposizionali diversamente costruiti sono la stessa proposizione, perché, esprimendo accordo e disaccordo con le stesse possibilità di verità, hanno lo stesso significato e sono la stessa funzione verità di proposizioni elementari. Così

q ⊃ p : ~ q ⊃ p e ~ ( ~ p V ~ p ) sono lo stesso come p.

Questo porta ad una estremamente semplice teoria dell’inferenza; se chiamiamo queste possibilità di verità con cui una proposizione concorda, il suo fondamento di verità, allora q segue da p se i fondamenti di verità di p sono contenuti tra quelli di q. In questo caso Wittgenstein dice anche che il significato di q è contenuto in quello di p, che nell’asserire p stiamo conseguentemente affermando q. Credo che questa affermazione sia in realtà una definizione di contenere per quanto riguarda i significati, e l’estensione del significato di affermare in parte in conformità con l’uso ordinario, che concorda probabilmente per quanto riguarda p.q e p , o ( x ) . fx e fa ma non altrimenti.

Ci sono due casi estremi di grande importanza, se noi esprimiamo dissenso con tutte le possibilità di verità otteniamo una contraddizione, se accordo con tutte, un tautologia, che non dice nulla. Le proposizioni della logica sono tautologie; e l’aver chiarito questo, la loro caratteristica fondamentale, è un risultato notevole.

I [ l’uso di Wittgenstein della barra è piuttosto differente da quella di altre parti di questo libro.-Il curatore. ]

Dobbiamo ora esaminare se quanto sopra è una considerazione adeguata di ciò che determina per una proposizione simbolo l’avere un certo significato; e mi sembra che certamente non lo è. Perché è davvero solo un resoconto di quale significato ci sia, non di quali segni proposizionali abbiano quale significato. Essa ci permette di sostituire a ‘ ” p”, affermo p ‘ , ‘ “p ” che esprime accordo con queste possibilità di verità e di disaccordo con queste altre ‘; ma quest’ultima formulazione non può essere considerata come una definitiva analisi della prima, e non è affatto chiaro come le sue successive analisi proseguano. Dobbiamo quindi cercare altrove la risposta al nostro problema. Nella direzione di questa risposta Wittgenstein fornisce un chiaro contributo;  in 5.542 14, dice che in ‘ “p “afferma p’ abbiamo un coordinamento dei fatti mediante un coordinamento dei loro oggetti. Ma questa considerazione è incompleta perché il significato non è completamente determinato dagli oggetti che si trovano in esso; né il segno proposizionale è completamente costituito dai nomi che si trovano in esso, perché in esso ci possono essere anche costanti logiche che non sono coordinate con oggetti e completane la definizione del significato in un modo che viene lasciato oscuro.

14 5.542 Ma è chiaro che « A crede che p », «A pensa p », « A dice p » sono della forma « < p > dice p»: E qui si tratta non d’una coordinazione d’un fatto e d’un oggetto, ma della coordinazione di fatti per coordinazione dei loro oggetti.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Se solo avessimo a che fare con un simbolismo logico non credo che ci sarebbe qualche difficoltà. Perché, a parte variazioni nei nomi utilizzati, ci sarebbe una regola che fornisce a tutti i segni proposizionali che, in questo simbolismo, avrebbero un certo significato, e potremmo completare la definizione di ‘ significato ‘ con l’aggiunta di queste regole. Così ‘ “p” afferma che ~ aRb ‘ andrebbe, supponendo a che avessimo a che fare con il simbolismo di Principia Mathematica, analizzata come segue: chiamo qualcosa che a significa ‘a’, e così via, e chiamo ‘a’ ‘ R ‘ ‘b’ , ‘ q ‘; allora ‘ p ‘ è ‘ ~ q ‘ o ~ ~ ~ q ‘o ‘ ~ qv ~ q’ o qualsiasi degli altri simboli costruiti secondo una regola precisa.

(Si può, naturalmente, dubitare che sia possibile formulare questa regola, come sembra presupporre l’intera logica simbolica; ma in qualche notazione perfetta potrebbe essere possibile; ad esempio nella notazione di Wittgenstein con la T e F non ci sarebbe nessuna difficoltà.) Ma è ovvio che questo non è sufficiente; questo non fornirà un’analisi di ‘A afferma p’ , ma solo di ‘A afferma p con un tale e tale notazione logica ‘. Ma possiamo ben sapere che un cinese ha una certa opinione senza avere un’idea della notazione logica che usa. Anche l’affermazione evidentemente significativa che i tedeschi non usano ‘ nicht ‘ per iniziare parte della definizione di certe parole come ‘ credere ‘ , ‘pensare ‘ quando usata per i tedeschi.

E’ molto difficile vedere una via d’uscita da questa difficoltà; si può forse trovare nella proposta di Russell in The Analysis of Mind (p. 250) che ci possono essere particolari sentimenti di convinzioni che si verificano in una disgiunzione e un’implicazione. Le costanti logiche potrebbero quindi essere significative come sostituti per questi sentimenti, che costituirebbero la base di un simbolismo logico universale del pensiero umano. Ma sembra come se Wittgenstein creda in un altro tipo di soluzione, tornando alla sua precedente affermazione che il significato di un’immagine è che gli oggetti sono così combinati tra loro come lo sono gli elementi dell’immagine. L’interpretazione naturale di questo nel nostro contesto attuale è che possiamo dimostrare solo che a non ha una certa relazione con b, ponendo che ‘a’ non ha una certa relazione con ‘b’ , o , in generale, che solo un fatto negativo può affermare un fatto negativo, solo un fatto implicativo un fatto implicativo, e così via. Questo è assurdo ed evidentemente non quello che egli intende; ma egli sembra ritenere che un simbolo proposizionale assomiglia al suo significato in qualche modo in questa sorta di modo. Così egli dice (5.512) 15, “Ciò che che nega in ‘ ~ p ‘ non è ‘ ~’, ma quello che tutti i segni di questa notazione, che negano p, hanno in comune.  Di qui la regola comune secondo cui (all’infinito) vengono costruiti ‘ ~ p ‘ , ‘ ~ ~ ~ p’ , ‘ ~ p v ~ p’ , ‘ ~ p . ~ p’, ecc. , ecc. ,. E questo che è comune a tutti questi rispecchia tutte le negazioni “. Non riesco a capire come si rispecchia la negazione.

Certamente non lo fa in un modo così semplice in cui la congiunzione di due proposizioni rispecchia la congiunzione dei loro significati.

Questa differenza tra congiunzione e le altre funzioni verità può essere visto nel fatto che credere p e q è credere p e credere q; ma credere p o q non è lo stesso di credere p o credere q, né credere non -p è lo stesso che non credere p.

Dobbiamo ora tornare ad una dei più interessanti teorie di Wittgenstein, che ci sono certe cose che non si possono dire ma solo mostrare, e questi costituiscono il Mistico.

Il motivo per cui non possono essere dette è che devono avere a che fare con la forma logica, ciò che le proposizioni hanno in comune con la realtà.

15 5.512 « ∼p » è vera se « p » è falsa. Dunque, nella proposizione vera « ∼p », «p» è una proposizione falsa. Come può la tilde «∼» portarla a concordare con la realtà?

Ciò che in « ∼ p » nega non è però il « ∼ », ma ciò che è comune a tutti i segni di questa notazione i quali negano p.

Dunque la regola comune, secondo la quale son formate «∼p», «∼ ∼ ∼p», «∼pv ∼p», «∼p. ∼p», etc. etc. (ad infinitum). E questo elemento comune rispecchia la negazione.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Che tipo di cose queste sono è spiegato in 4.122  16: “Possiamo parlare in un certo senso di proprietà formali degli oggetti e fatti atomici, o della proprietà della struttura dei fatti, e nello stesso senso di relazioni formali e relazioni di strutture. [Invece di proprietà della struttura dico anche ‘ proprietà interna ‘ , invece di relazione delle strutture ‘ relazione interna ‘. Introduco queste espressioni per mostrare la ragione della confusione, molto diffusa tra i filosofi, tra le relazioni interne e le relazioni vere (esterne).] Il sussistere di tali proprietà interne e relazioni non può, tuttavia, essere asserito da proposizioni, ma si mostra nelle proposizioni, che presentano i fatti atomici e trattano degli oggetti in questione.” Come ho già detto, non mi sembra che la natura della forma logica sia sufficientemente evidente da fornire argomenti convincenti a favore di tali conclusioni; e penso che un approccio migliore al trattamento di proprietà interne possa essere dato dal seguente criterio: ” una proprietà è interna se è impensabile che il suo oggetto non la possieda ” ( 4.123 ) 17.

16 4.122 Noi possiamo, in un certo senso, parlare di proprietà formali degli oggetti e degli stati di cose o, rispettivamente, di proprietà della struttura dei fatti e, nello stesso senso, di relazioni formali e relazioni di strutture.

(Invece di: proprietà della struttura, dico anche « proprietà interna »; invece di: relazione delle strutture, « relazione interna ».

Introduco queste espressioni per mostrare il motivo della confusione, diffusissima presso i filosofi, tra le relazioni interne e le relazioni vere e proprie (esterne).)

Il sussistere di tali proprietà e relazioni interne non può, tuttavia, essere asserito da proposizioni; ciò invece mostra sé nelle proposizioni che rappresentano quegli eventi e trattano di quegli oggetti.

17 4.123 Una proprietà è interna se è impensabile che i1 suo oggetto non la possieda.

(Questo colore azzurro e quello stanno eo ipso nella relazione interna di più chiaro e più cupo. È impensabile che questi due oggetti non stiano in questa relazione.)

(Qui, all’uso variabile delle parole «proprietà» e « relazione», corrisponde l’uso variabile della parola «oggetto ».)

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Si tratta di un principio di Wittgenstein, e, se vero, è una scoperta molto importante, che ogni proposizione vera asserisce qualche cosa possibile, ma non necessario. Ciò deriva dal suo ragionamento di una proposizione come espressione di accordo e di disaccordo con la possibilità di verità delle proposizioni elementari indipendenti, in modo che l’unica possibilità è quella di una tautologia, l’unica impossibilità quella di una contraddizione. C’è grande difficoltà nel sostenere questo; perché Wittgenstein ammette che un punto del campo visivo non può essere sia rosso sia blu; e, anzi, altrimenti, dal momento che lui pensa che l’induzione non ha alcun fondamento logico, non dovremmo avere alcun motivo per pensare che non possiamo incontrare un punto visibile che è sia rosso sia blu. Perciò egli dice che ‘ Questo è sia rosso sia blu ‘ è una contraddizione. Ciò implica che gli apparentemente semplici concetti di rosso, di blu (supponendo che stiamo indicando con queste parole tonalità definitamente specifiche) sono veramente complessi e formalmente incompatibili. Egli cerca di mostrare come questo può essere, analizzandoli in termini oscillatori.

Ma anche supponendo che il fisico fornisca in questo modo un’analisi di ciò che intendiamo per ‘rosso’, Wittgenstein sta solo riducendo la difficoltà a quella delle proprietà necessarie di spazio, di tempo e di materia o dell’etere. Egli lo fa dipendere esplicitamente dall’impossibilità per una particella di essere in due posti contemporaneamente .

Queste proprietà necessarie di spazio e tempo sono difficilmente capaci di una ulteriore riduzione di questo tipo. Per esempio, considerando un istante preciso di tempo per quanto riguarda le mie esperienze; se B è tra A e D e C tra B e D, allora C deve essere compresa tra A e D, ma è difficile vedere come questo possa essere una tautologia formale.

Ma non tutte le verità apparentemente necessarie possono essere immaginate, o sono da Wittgenstein immaginate, essere tautologie. Ci sono anche le proprietà interne di cui è impensabile che i loro oggetti non le possiedono. Frasi che apparentemente asseriscono tali proprietà degli oggetti sono ritenute da Wittgenstein essere un nonsenso, ma di stare in qualche oscura relazione con qualcosa di inesprimibile .

Quest’ultimo sembra essere implicato dalla sua ragione per cui pensa che sono nonsensi, che è che ciò che intendono affermare non si può affermare. Ma mi sembra possibile dare i motivi per cui queste frasi sono un nonsenso, e una ragione generale della loro origine e del significato apparente, che non hanno implicazioni mistiche.

Frasi di questo tipo, che noi chiamiamo ” pseudo-proposizioni ” , si presentano in vari modi a seconda della nostra lingua. Una fonte è la necessità grammaticale per certi sostantivi come ‘ oggetto’ e ‘cosa’, che non corrispondono come i nomi comuni ordinari alle funzioni proposizionali. Così da ‘Questo è un oggetto rosso ‘ sembra seguire la pseudo – proposizione ‘Questo è un oggetto ‘ , che nel simbolismo di Principia Mathematica non si potrebbe scrivere affatto.

Ma la fonte più comune e più importante è la sostituzione di nomi o nomi relativi alle descrizioni. (Io uso ‘ i nomi relativi ‘ per includere ‘p’, l’espressione di un determinato significato di p; in contrasto con una descrizione di quel significato, come ‘ quello che ho detto ‘.)

Di solito questo è legittimo; perché, se abbiamo uno schema proposizionale contenente spazi, il significato dello schema in cui gli spazi vuoti sono riempiti da descrizioni presuppone, in generale, il loro significato quando vengono riempite con i nomi delle cose corrispondenti alle descrizioni. Così l’ analisi di ‘φ è rosso ‘ è ‘ C’è una e una sola cosa che è φ, ed è rossa’; e la presenza in questo di ‘ E’ rosso ‘ mostra che il significato della nostra proposizione presuppone l’ significato di ‘ a è rossa ‘ , dove a è del tipo di φ. Ma a volte questo non è il caso perché la proposizione contenente la descrizione deve essere analizzata un po’ diversamente. Così ‘La φ esiste ‘ non è ‘ c’è una e una sola cosa che è φ; ed essa esiste ‘, ma semplicemente ‘ C’è una e una sola cosa che è φ ‘; così che il suo significato non presuppone che ‘ a esiste ‘, che è un nonsenso, perché la sua verità potrebbe essere osservata da una semplice ispezione senza confronto con la realtà, come non è mai il caso di una vera e propria proposizione. Ma in parte perché a volte non riusciamo a distinguere ‘ a esiste ‘ da ‘ L’oggetto indicato con ” a “Esiste ‘, e in parte perché ‘- esiste ‘ è sempre significativo quando lo spazio vuoto viene riempito da una descrizione, e non siamo sufficientemente attenti alla differenza tra descrizioni e nomi; ‘ a esiste ‘ a volte da’ la sensazione se fosse significativo.

Wittgenstein presenta questa sensazione ingannevole fino a sostenere che l’esistenza del nome ‘a’ mostra che a esiste, ma che questo non si può affermare; questo sembra, tuttavia, essere una componente principale nella mistica : ” Non come il mondo è , è il mistico, ma che esso è” (6.44). 18

18 6.44 Non come il mondo è, è il mistico, ma che esso è.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Il nostro prossimo esempio è fornito dall’identità, di cui Wittgenstein fornisce una importante critica distruttiva: “la definizione di Russell di ‘ = ‘ non funziona, perché secondo questa non si può dire che due oggetti hanno tutte le loro proprietà in comune. (Anche se questa proposizione non è mai vera, è comunque dotata di significato) ” (5.5302 ). 19

19 5.5302 La definizione di Russell di « = » non basta; infatti, secondo essa, non si può dire che due oggetti hanno in comune tutte le proprietà. (Anche se questa proposizione non è mai corretta, tuttavia essa ha senso.)

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

E ‘ a = b ‘ deve essere una pseudo-proposizione dal momento che è vera o falsa a priori secondo come ‘a’ , ‘b’ siano nomi per le stesse cose o di cose diverse. Se ora adottiamo la nuova convenzione che due segni diversi in una proposizione devono avere significati differenti, otteniamo una nuova analisi di descrizioni che non coinvolge il concetto di identità.

Posto  f (ιx ) ( φx ) , invece di

( ∃ x) : φx ⊃ x x = c.fc ,

abbiamo ( ∃ c). φx . fx : ~ ( ∃ x , y) . φx . φy .

E dal momento che ( ιx ) ( φx ) = c è analizzato come φc : ~ ( ∃ x , y) . φx . φy noi vediamo che ‘ – = – ‘ è solo significativo se almeno uno spazio viene riempito da una descrizione. Per inciso questo rifiuto dell’identità può avere gravi conseguenze nella teoria degli aggregati e dei numeri cardinali; è, per esempio, difficilmente plausibile dire che due classi sono solo di numero uguale quando c’è una relazione biunivoca il cui dominio di una è l’opposto dell’altra, a meno che tali relazioni possono essere costruite per mezzo di identità.

Poi mostrerò come questa considerazione si applica alle proprietà interne del significato delle proposizioni, o, se sono proposizioni vere, ai fatti corrispondenti. ‘ p è circa a ‘ è un esempio; il suo significato potrebbe essere inteso come conseguente da quello di ‘Ha detto qualcosa a proposito di a’; ma se riflettiamo sulla analisi di quest’ultima proposizione vedremo che non è questo il caso; perché riduce evidentemente non a ‘c’è una p che egli ha asserito e qualcosa riguardo ad a’ ma ‘C’è una funzione φ tale che egli asserì φa’ , che non coinvolge la pseudo – proposizione ‘p riguarda a’. Allo stesso modo ‘p è la negazione di q’ potrebbe essere pensato di essere coinvolta in ‘Egli mi ha contraddetto‘; ma si è visto essere una pseudo – proposizione quando analizziamo quest’ultima come ‘C’è  una p tale che ho affermato p, egli ha asserito ~ p’.

Naturalmente questo non è un’analisi completa, ma è il primo passo e sufficiente per il nostro scopo presente, e mostra come ‘- è la negazione di – ‘ ha significato solo quando almeno uno spazio viene riempito da una descrizione.

Altre pseudo-proposizioni sono quelle della matematica, che, secondo Wittgenstein, sono le equazioni ottenute scrivendo ‘=’ tra due proposizioni che possono essere sostituite una con l’altra. Non vedo come si possa supporre che questa considerazione copra l’intera matematica, ed è evidentemente incompleta in quanto ci sono anche le disuguaglianze, che sono più difficili da spiegare. E’, tuttavia, facile osservare che ‘ ho più di due dita ‘ non presuppone che significhi ‘ 10> 2 ‘; perché, ricordando che segni diversi devono avere significati diversi, è semplicemente ‘ ( ∃ x , y , z ) : x , y , z sono le mie dita’.

Così come la spiegazione di alcune verità apparentemente necessarie come le tautologie incontrarono difficoltà nel campo dei colori, così accade per la spiegazione del resto come pseudo- proposizioni. ” Questo colore blu e quello,” dice Wittgenstein, “stanno nella relazione interna di più chiaro e più scuro eo ipso. E’ impensabile che questi due oggetti non stiano in questa relazione ” ( 4.123 ). 20

20 4.123 Una proprietà è interna se è impensabile che i1 suo oggetto non la possieda.

(Questo colore azzurro e quello stanno eo ipso nella relazione interna di più chiaro e più cupo. È impensabile che questi due oggetti non stiano in questa relazione.)

(Qui, all’uso variabile delle parole «proprietà» e « relazione», corrisponde l’uso variabile della parola «oggetto ».)

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Di conseguenza una frase che afferma apparentemente che un colore stabilito è più chiaro di un altro colore stabilito deve essere una pseudo – proposizione; ma è difficile vedere come questo possa conciliarsi con l’indubbio significato di una frase che afferma che un colore descritto è più chiaro di un altro, come ‘Il mio cuscino di casa è più chiaro del mio tappeto’. Ma in questo caso la difficoltà potrebbe essere completamente eliminata dal presupposto che il fisico stia veramente analizzando il significato di ‘ rosso ‘; per la sua analisi di un colore si trova infine un numero, ad esempio la lunghezza d’onda o così via, e la difficoltà è ridotta a quello di conciliare la non significatività di una disuguaglianza tra due numeri dati, con il significato di una disuguaglianza tra due numeri descritti, che è evidentemente in qualche modo possibile sulle linee suggerite con ‘Ho più di due dita ‘ di cui sopra.

Passiamo ora alle osservazioni di Wittgenstein sulla filosofia.

“L’oggetto della filosofia, ” dice , “è la chiarificazione logica dei pensieri. La filosofia non è una teoria ma un’attività. Un lavoro filosofico consiste essenzialmente in delucidazioni. Il risultato della filosofia non è un certo numero di ‘ proposizioni filosofiche “, ma di rendere le proposizioni chiare. La filosofia deve chiarire e delimitare nettamente i pensieri che altrimenti sono, per così dire, opachi e sfocati” ( 4.112 ).  21

21 4.112 Scopo della filosofia è la chiarificazione logica dei pensieri.

La filosofia è non una dottrina, ma un’attività.

Un’opera filosofica consta essenzialmente d’illustrazioni.

Risultato della filosofia non sono « proposizioni filosofiche », ma il chiarirsi di proposizioni.

La filosofia deve chiarire e delimitare nettamente i pensieri che altrimenti, direi, sarebbero torbidi e indistinti.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Mi sembra che non possiamo essere soddisfatti di questa osservazione senza qualche ulteriore spiegazione sulla ‘chiarezza’, e cercherò di dare una spiegazione in armonia con il sistema di Wittgenstein. Penso che una frase scritta è ‘ chiara’ , in quanto ha proprietà visibili correlate o mostra ‘ le proprietà interne del suo significato’. Secondo Wittgenstein queste ultime mostrano sempre sé stesse nelle proprietà interne della proposizione; ma a causa dell’ambiguità tipo di simbolo di ‘ proposizione ‘ non è immediatamente chiaro che cosa questo significa. Le proprietà di una proposizione devono, credo, significare le proprietà di tutti i suoi simboli; ma le proprietà interne di una proposizione sono quelle proprietà dei simboli che sono, per così dire, interne non ai simboli ma ai tipi; cioè quelle che uno dei simboli deve avere se è  un simbolo di quel tipo, non quelle che è impensabile che non potrebbero non avere comunque. Bisogna ricordare che non c’è la necessità di una frase di avere significato che essa in effetti ha; così che se una frase afferma fa, non è una proprietà interna della frase che ci sia qualcosa in qualche modo collegato con a; ma questa è una proprietà interna della proposizione, perché la frase non potrebbe altrimenti appartenere a questo tipo di proposizione, cioè a quelle che hanno quel significato. Così vediamo che le proprietà interne di una proposizione che mostrano quelle cose del suo significato che non sono, in generale, quelle visibili, ma quelle complicate che coinvolgono il concetto di significato. Ma in una lingua perfetta in cui ogni oggetto avesse il suo un nome, che nel significato di una frase compare un certo oggetto, sarebbe anche mostrato visibilmente dal verificarsi nella frase del nome di quell’oggetto; e questo potrebbe essere previsto accadere per quanto riguarda tutte le proprietà interne dei significati; che un certo significato, per esempio , sia contenuto in un altro (cioè una proposizione segue da un’altra) potrebbe sempre apparire visibilmente nelle frasi che lo esprime. (Questo è quasi ottenuto con la notazione T di Wittgenstein). Così in una lingua perfetta tutte le frasi o i pensieri sarebbero perfettamente chiari.

Per dare una . definizione generale di ‘ chiaro ‘ dobbiamo sostituire ‘ proprietà visibile della frase ‘ con ‘ proprietà interna del segno proposizionale ‘, che noi interpretiamo in modo analogo a ‘ struttura interna della proposizione ‘ come una proprietà che un simbolo deve avere se vuole essere quel segno, che, se il simbolo è scritto, è la stessa cosa di una proprietà visibile. Diciamo allora che un segno proposizionale è chiaro in quanto le proprietà interne del suo significato sono mostrate non solo dalle proprietà interne della proposizione, ma anche dalle proprietà interne del segno proposizionale .

(Ci può forse essere confusione tra le proprietà interne della proposizione e quelle del segno proposizionale che dà luogo all’idea che le dottrine di Wittgenstein siano, in generale, solo affermate per un linguaggio perfetto.)

Possiamo facilmente interpretare questo concetto di filosofia in termini di considerazioni non mistiche di proprietà interne di cui sopra. In primo luogo, osserviamo e spieghiamo il fatto che spesso apparentemente riconosciamo o non riconosciamo che qualcosa abbia una proprietà interna, sebbene questa sia una pseudo – proposizione e così non può essere accettata. Ciò che effettivamente riconosciamo è che ‘ l’oggetto o il significato inteso o asserito dalle parole che si trovano difronte a noi ha questa proprietà ‘, che ha un significato perché abbiamo sostituito una descrizione ad un nome. Così come riconosciamo il risultato della prova logica, non che p è una tautologia che sarebbe una pseudo – proposizione, ma che ‘ p ‘ non esprime nulla. Rendere proposizioni chiare è il facilitare il riconoscimento delle loro proprietà logiche da esse espresse in un linguaggio tale che queste proprietà sono associate con le proprietà evidenti della frase.

Ma penso che questa attività si tradurrà in proposizioni filosofiche ogni volta che scopriamo qualcosa di nuovo sulla forma logica dei significati di ogni interessante insieme di frasi, come quelle che esprimono i fatti della percezione e del pensiero. Dobbiamo concordare con Wittgenstein che l’espressione ‘ p è di tale e tale forma ‘ è un nonsenso, ma ‘ “p” ha il senso in una tale e tale forma ‘ può tuttavia essere un nonsenso. Sia che questo sia così o meno dipende dall’analisi di ‘ ” p” ha significato ‘, che mi sembra probabilmente una proposizione disgiuntiva, le cui alternative derivano in parte dalle diverse possibili forme del significato di ‘ p ‘. Se è così, possiamo escludendo alcune di queste alternative supporre una proposizione come la forma del significato di ‘p ‘. E questo in alcuni casi, come quando ‘ p’ è ‘ Egli pensa q ‘ o ‘ Egli vede a’ , potrebbe essere appropriatamente chiamata una proposizione filosofica. Né questo sarebbe incompatibile con la più moderata l’affermazione di Wittgenstein che ” la maggior parte delle proposizioni e domande, che sono state scritte su questioni filosofiche, non sono false, ma senza senso. Non possiamo, quindi, rispondere a domande di questo tipo affatto, ma solo stabilirne l’insensatezza. La maggior parte delle questioni e proposizioni dei filosofi derivano dal fatto che non capiamo la logica del nostro linguaggio ” ( 4.003 ) 22.

22 4.003 Il più delle proposizioni e questioni che sono state scritte su cose filosofiche è non falso, ma insensato. Perciò a questioni di questa specie non possiamo affatto rispondere, ma possiamo solo stabilire la loro insensatezza. Il più delle questioni e proposizioni dei filosofi si fonda sul fatto che noi non comprendiamo la nostra logica del linguaggio.

(Esse sono della specie della questione, se il bene sia più o meno identico del bello.)

Né meraviglia che i problemi più profondi propriamente non siano problemi.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Infine vorrei toccare la visione generale del mondo di Wittgenstein. “Il mondo “, dice, ” è la totalità dei fatti, non delle cose” (1.1 ) 23, ed ” è chiaro che un mondo immaginario per quanto possa essere diverso da quello reale deve avere qualcosa – una forma – in comune con il mondo reale. Questa forma stabilita è costituita dagli oggetti” ( 2.022 , 2.023 ) 24. Si tratta di un punto di vista insolito che qualsiasi mondo immaginabile deve contenere tutti gli oggetti di un mondo reale; ma sembra che segua dai suoi principi, perché se ‘a esiste’ fosse un nonsenso, non potremmo immaginare che non esiste, ma solo che abbia o non abbia alcune proprietà.

23 1.1 Il mondo è la totalità dei fatti, non delle cose.

24 2.022 È manifesto che un mondo, per quanto diverso sia pensato da quello reale, pure deve avere in comune con il mondo reale qualcosa — una forma—.

2.023 Questa forma fissa consta appunto degli oggetti.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

Russell nella sua Introduzione trova una perspicace difficoltà nel fatto che ( x ) . φx coinvolge la totalità dei valori di φx e così, apparentemente, i valori di x , di cui secondo Wittgenstein non si può parlare; perché è una delle sue tesi fondamentali ” che è impossibile dire nulla del mondo nel suo insieme, e che tutto ciò che può essere detto deve esserlo su porzioni delimitate del mondo”. Mi sembra dubbio, tuttavia, se questa sia una giusta espressione del punto di vista di Wittgenstein; tanto per cominciare egli suggerisce che è impossibile dire ( x ) . φx , ma solo forse, ‘Tutte le S sono P ‘ presa come l’affermare nulla circa il non-S che egli certamente non sostiene. Può, quindi, essere interessante prendere in considerazione quello che afferma che darebbe plausibilità all’interpretazione di Russell. Egli senza dubbio nega che si possa parlare del numero di tutti gli oggetti ( 4.1272 ) 25. Ma questo non è perché tutti gli oggetti formano una totalità illegittima, ma perché ‘ oggetto’ è uno pseudo-concetto espresso non da una funzione, ma dalla variabile x. (Per inciso io non vedo perché il numero di tutti gli oggetti non potrebbe essere definito come la somma del numero di cose aventi una specifica proprietà e il numero di cose che non hanno tale proprietà.) Egli dice anche che “Il sentire del mondo nel suo insieme come limitato è il sentimento mistico” ( 6.45) 26. Ma non credo che possiamo seguire Russell nel dedurre da questo che la totalità dei valori di x è mistica, se non altro perché ” Il mondo è la totalità dei fatti, non delle cose” (1.1) 27. E penso che ‘ limitato ‘ fornisce la chiave per la frase sopra citata. La sensazione mistica è la sensazione che il mondo non è tutto, che ci sia qualcosa al di fuori di esso, il suo ‘ senso’ o ‘ significato ‘.

Non si deve pensare che i temi che ho discusso quasi esauriscano l’interesse del libro; Wittgenstein fa osservazioni, sempre interessanti, a volte estremamente penetranti, su molti altri argomenti, come la Teoria dei Tipi, le Relazioni Ancestrali, la  Probabilità, la Filosofia della Fisica, e l’Etica.

25 4.1272 Così il nome variabile « x » è il segno vero e proprio del concetto apparente oggetto.

La parola «oggetto» (« cosa », «ente», etc), ovunque è usata correttamente, è espressa nell’ideografia dal nome variabile.

Ad esempio, nella proposizione « vi sono 2 oggetti, che… », da « (∃x,y)… ».

Ovunque essa è usata altrimenti — dunque quale vera e propria parola esprimente un concetto — nascono insensate proposizioni apparenti.

Così non si può dire, ad esempio, « Vi sono oggetti », come si dice « Vi sono libri». Né si può dire « Vi sono 100 oggetti», o «Vi sono ℵ0 oggetti».

Ed è insensato parlare del numero di tutti gli oggetti.

Lo stesso vale delle parole « complesso», « fatto », « funzione », « numero », etc.

Esse tutte designano concetti formali e sono rappresentate nell’ideografia da variabili, non da funzioni o classi. (Come credevano Frege e Russell.)

Espressioni come: « 1 è un numero», « v’è solo uno zero », e consimili sono tutte insensate.

(È altrettanto insensato dire « v’è solo un 1 » quanto sarebbe insensato dire: « 2 + 2, alle ore 3, è eguale a 4 ».)

26 6.45 Intuire il mondo sub specie aeterni è intuirlo quale tutto – limitato -.

Sentire il mondo quale tutto limitato è il mistico.

27 Il mondo è la totalità dei fatti, non delle cose.

Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus – traduzione di Amedeo G. Conte – Einaudi editore.

The Foundation of Mathematics di Frank Ramsey – Capitolo IX Last papers – Sezione F. LA FILOSOFIA

28 Giu

Pacioli_1Riporto la mia traduzione della sezione F. del capitolo IX  del libro The Foundation of Mathematics di Frank Plumpton Ramsey pubblicato a cura di R.B. Braithwaite. 

IX

LAST PAPERS

F. LA FILOSOFIA

La filosofia deve essere di qualche utilità e dobbiamo prenderla sul serio; deve chiarire sul serio i nostri pensieri e le nostre azioni. Oppure si tratta di una disposizione che abbiamo per controllare, e una richiesta di vedere che questo è così; cioè la proposizione principale della filosofia è che la filosofia è un nonsenso. E ancora dobbiamo allora prendere sul serio che è un nonsenso, e non avere la presunzione, come fa Wittgenstein, che è un importante nonsenso!

In filosofia assumiamo le proposizioni che facciamo nella scienza e nella vita quotidiana, e cerchiamo di esporle in un sistema logico con termini primitivi e definizioni, ecc. Essenzialmente una filosofia è un sistema di definizioni o, troppo spesso, un sistema di descrizioni di come le definizione dovrebbero essere.

Non credo sia necessario dire con Moore che le definizioni spiegano quello che abbiamo finora inteso con le nostre proposizioni, ma piuttosto che esse mostrano come abbiamo intenzione di utilizzarle in futuro. Moore direbbe che sarebbe la stessa cosa, che la filosofia non cambia quello che chiunque intende per ‘Questo è un tavolo ‘. Mi sembra che potrebbe essere; perché il significato è principalmente potenziale, e un cambiamento potrebbe quindi manifestarsi solo in rare e critiche occasioni. Inoltre a volte la filosofia potrebbe chiarire e distinguere le nozioni precedentemente vaghe e confuse, e chiaramente questo significa solo fissare il nostro futuro significare. 1 Ma questo è chiaro, che le definizioni ci sono per dare almeno il senso al nostro futuro, e non soltanto di dare un qualche grazioso modo di ottenere una determinata struttura.

1 Ma per quanto nel nostro significato passato non sia assolutamente confuso, la filosofia naturalmente fornirà anche quello. Ad esempio il paradigma della filosofia, la teoria delle descrizioni di Russell .

Sono abituato a trarmi d’impaccio sulla natura della filosofia da un eccessivo scolasticismo. Non potrei vedere come potremmo comprendere una parola e non essere in grado di riconoscere se una definizione proposta di essa sia o non sia corretta. Non compresi la vaghezza di tutta l’idea del comprendere, il riferimento che ciò coinvolge per una moltitudine di adempimenti ognuno dei quali può essere respinto e richiedere di essere ricostituito. Problemi di logica nelle tautologie, di matematica nelle identità, di filosofia nelle definizioni; tutto banale, ma tutto parte del lavoro vitale di chiarire e organizzare il nostro pensiero .

Se consideriamo la filosofia come un sistema di definizioni (e delucidazioni nell’uso di parole che non possono essere nominalmente definite), le cose che mi appaiono come problemi a riguardo sono le seguenti:

( 1) Quali definizioni ci sentiamo di assegnare alla filosofia, e quali lasciamo alle scienze o le sentiamo come del tutto inutili fornire?

( 2) Quando e come possiamo essere soddisfatti senza una definizione, ma semplicemente con una descrizione di come una definizione potrebbe essere data? [ Questo punto è menzionato sopra.]

( 3) Come può l’indagine filosofica essere condotta senza una continua petitio principii?

(1) La filosofia non si occupa di problemi specifici di definizione, ma solo di quelli generali: non si propone di definire particolari termini dell’arte o della scienza, ma di stabilire ad esempio i problemi che sorgono nella definizione di uno qualsiasi di tali termini o nella relazione di qualsiasi termine nel mondo fisico con i termini dell’esperienza.

Le relazioni dell’arte e della scienza, tuttavia, devono essere definiti, ma non necessariamente nominalmente; ad esempio definiamo la massa spiegando come misurarla, ma questa non è una definizione nominale; si limita a fornire il termine ‘ massa ‘ in una struttura teorica come un evidente rapporto a certi fatti sperimentali. Le relazioni che non abbiamo bisogno di definire sono quelle che sappiamo di poter definire se sorgesse il bisogno, come ‘ sedia ‘ , o quelle che come “club” (il seme delle carte) possiamo tradurre facilmente nel linguaggio visivo o qualsiasi altro linguaggio, ma non possiamo utilmente ampliare a parole.

( 2) La soluzione a quello che abbiamo chiamato in (1) un ‘ problema generale di definizione ‘ è naturalmente una descrizione di definizioni, da cui impariamo a formare le effettive definizioni in ogni caso particolare. Questo che così spesso ci sembra non dare nessuna effettiva definizione, è perché la soluzione del problema è spesso che la definizione nominale è inadeguata, e che ciò che si vuole è una spiegazione dell’uso del simbolo.

Ma questo non tocca ciò che dovrebbe essere  considerata la vera difficoltà sotto questo punto (2); per quello che abbiamo detto si applica solo al caso in cui la parola da definire sia semplicemente descritta (perché trattata come un termine di una classe), la sua definizione o spiegazione è anche, ovviamente, solamente descritta, ma descritta in modo tale che quando è data la parola effettiva la sua definizione effettiva ne può essere derivata. Ma ci sono altri casi in cui la parola da definire essendo data, non ci viene data in cambio nessuna definizione di essa ma una affermazione che il suo significato coinvolge entità di tali – e – tali tipi in questi  e questi modi, vale a dire una affermazione che ci darebbe una definizione se avessimo i nomi per queste entità.

Per quanto riguarda l’uso di questo, è chiaramente per adattarsi al termine in relazione alle variabili, per porla come valore della variabile complessa; e ciò presuppone che possiamo avere variabili senza nomi per tutti i loro valori. Domande difficili sorgono sul fatto se saremmo sempre in grado di dare un nome a tutti i valori, e se sì di che tipo di capacità questo significa, ma è chiaro che il fenomeno è in qualche modo possibile in relazione alle sensazioni per  le quali la nostra lingua è così frammentaria. Ad esempio , ‘ la voce di Jane ‘ è una descrizione di una caratteristica di sensazioni per la quale non abbiamo un nome. Forse potremmo darle un nome, ma possiamo identificare e denominare le diverse inflessioni di cui è composta?

Un’obiezione spesso fatta a queste descrizioni delle definizioni delle caratteristiche sensoriali è che esse esprimono ciò che dovremmo trovare nell’analisi, ma che questo tipo di analisi cambia la sensazione analizzata con l’ampliare la complessità che questa ha la presunzione di scoprire. E’ indubitabile che tale attenzione può cambiare la nostra esperienza, ma mi sembra possibile che a volte rivela una complessità preesistente (cioè ci permette di attribuire adeguatamente un simbolo a questa), perché questo è compatibile con qualsiasi cambiamento nei fatti connessi, perfino con qualsiasi cosa ad eccezione di una creazione della complessità.

Un’altra difficoltà per quanto riguarda le descrizioni delle definizioni è che se ci accontentiamo di esse possiamo ottenere semplicemente un nonsenso con l’introdurre variabili prive di senso, ad esempio, variabili descritte come ‘ particolari ‘ o idee teoriche come ‘punto’. Potremmo ad esempio dire che con ‘ macchia ‘ si intende una classe infinita di punti; in tal caso dovremmo rinunciare alla filosofia per la psicologia teorica. Perché nella filosofia analizziamo il nostro pensiero, in cui macchia non potrebbe essere sostituita da una classe infinita di punti: non potremmo determinare una particolare classe infinita estensionalmente, ‘ Questa macchia è rossa ‘ non è l’abbreviazione di ‘ a è rosso e b è ecc. rosso .. . . ‘ Dove a, b , ecc., sono punti.

(Come sarebbe se solo a non fosse rosso?) Classi infinite di punti potrebbero entrare in ballo solo quando osserviamo la mente dall’esterno e costruire una teoria di ciò, in cui il suo campo sensoriale consiste di classi di punti colorati sui quali si ragiona.

Ora, se abbiamo costruito questa teoria circa la nostra stessa mente dovremmo considerarla o come ragionamento su certi fatti, ad esempio, che questa macchia è di colore rosso; ma quando stiamo pensando alle menti di altre persone non abbiamo fatti, ma siamo del tutto nel regno della teoria, e può convincere noi stessi che queste costruzioni teoriche esauriscono il campo. Torniamo allora indietro sulle nostre menti, e diciamo che quello che sta realmente accadendo qui sono semplicemente questi processi teorici. L’ esempio più calzante di questo è, naturalmente, il materialismo. Ma molte altre filosofie, ad esempio di Carnap, fanno lo stesso errore.

(3) La terza domanda è come possiamo evitare la petitio principii, il pericolo da cui sorge abbastanza come segue: –

Al fine di chiarire il mio pensiero il metodo corretto sembra essere semplicemente di riflettere fra me e me ‘ Cosa intendo con questo? ‘ Quali sono le nozioni distinte coinvolte in questo termine ?’ ‘Tutto questo veramente deriva da quest’altro ? ‘ ecc., e di verificare l’identità del significato di un proposto definiens e del definiendum per mezzo di esempi reali e ipotetici. Questo si può spesso fare senza pensare alla natura del significato stesso; possiamo dire se intendiamo le stesse cose o cose diverse con ‘ cavallo ‘ e ‘ maiale’ senza pensare affatto al significato in generale. Ma al fine di risolvere questioni più complicate di tal genere noi abbiamo ovviamente bisogno di una struttura logica, un sistema di logica, in cui porle. Possiamo sperare di ottenerlo da una precedente relativamente facile applicazione degli stessi metodi; per esempio, non dovrebbe essere difficile vedere che perché sia non -p o non -q vero è proprio la stessa cosa che per entrambi p e q di non essere veri. In questo caso, costruiamo una logica, e facciamo tutta la nostra analisi filosofica del tutto inconsciamente, pensando tutto il tempo a dei fatti e non sul nostro pensare ad essi, decidendo che cosa intendiamo senza alcun riferimento alla natura dei significati. [Naturalmente potremmo anche pensare alla natura del significato in maniera inconscia; cioè pensare a un caso di significato di fronte a noi senza fare riferimento al nostro intenderlo.] Questo è un metodo e potrebbe essere quello corretto; ma credo che è sbagliato e conduce ad un vicolo cieco, e mi dissocio da esso nel modo seguente.

Mi sembra che nel processo di chiarire il nostro pensiero perveniamo a termini e frasi che non siamo in grado di spiegare nel modo ovvio definendone il loro significato. Ad esempio, le variabili ipotetiche e i termini teorici non li possiamo definire, ma siamo in grado di spiegare il modo in cui vengono utilizzati, e in questa spiegazione siamo costretti a guardare non solo agli oggetti di cui stiamo parlando, ma anche ai nostri propri stati mentali.

Come direbbe Johnson, in questa parte della logica che non possiamo trascurare l’epistemologia o il lato soggettivo.

Ora, questo significa che non possiamo fare chiarezza su questi termini e frasi senza fare chiarezza sul significato, e ci sembra di entrare in una situazione che non possiamo comprendere ad esempio quello che diciamo sul tempo e il mondo esterno senza prima comprendere il significato e ancora non riusciamo a comprendere il significato senza prima comprendere senza dubbio il tempo e probabilmente il mondo esterno che sono coinvolti in esso. Quindi non possiamo fare la nostra filosofia in un progresso ordinato per un obiettivo, ma dobbiamo prendere i nostri problemi nel loro insieme e giungere a una soluzione simultanea; che avrà qualcosa della natura di una ipotesi, perché noi l’accetteremmo non come la conseguenza di un ragionamento diretto, ma come l’unica che noi possiamo pensare di quelle che soddisfano i nostri diversi requisiti.

Naturalmente, non parleremmo rigorosamente dell’argomento, ma c’è in filosofia un processo analogo alla ‘ inferenza lineare ‘ in cui le cose diventano successivamente evidenti; e dal momento che, per il motivo di cui sopra, non possiamo portare questo fino alla fine, siamo nella posizione normale degli scienziati di dover accontentarsi di miglioramenti frammentari: possiamo fare molte cose più chiare, ma non possiamo fare tutto chiaro.

Trovo questa autocoscienza inevitabile in filosofia, tranne in un campo molto limitato. Siamo spinti a filosofare perché non sappiamo chiaramente che cosa intendiamo; la domanda è sempre ‘ Cosa intendo con x ? ‘ E solo molto occasionalmente possiamo risolvere questo senza riflettere sul significato. Ma non è solo un ostacolo, questa necessità di affrontare il significato; è senza dubbio un indizio essenziale sulla verità. Se lo trascuriamo sento che possiamo entrare nella posizione assurda del bambino nel seguente dialogo : ‘Dì breakfast.’ ‘ Non posso. ‘ ‘ Che cosa non puoi dire ? ‘ ‘ Non posso dire breakfast.’

Ma la necessità di auto-coscienza non deve essere utilizzata come giustificazione per ipotesi assurde; stiamo facendo filosofia non psicologia teoretica, e le nostre analisi delle nostre affermazioni, sia sul significato o su qualsiasi altra cosa, devono essere tali che le possiamo capire.

Il pericolo principale per la nostra filosofia, a parte la pigrizia e la confusione, è lo scolasticismo, la cui essenza è trattare ciò che è vago, come se fosse preciso e cercando di inserirlo in una precisa categoria logica. Un parte tipica dello scolasticismo è il punto di vista di Wittgenstein che tutte le nostre proposizioni di tutti i giorni sono completamente in ordine e che è impossibile pensare illogicamente.

(Quest’ultima è come dire che è impossibile rompere le regole del bridge, perché se le rompi non stai giocando a bridge, ma, come dice la signora C., a non – bridge.) Un altro è il ragionamento sulla conoscenza del prima che porta alla conclusione che noi percepiamo il passato. Un semplice esame del telefono automatico dimostra che reagiremmo in modo diverso a AB e BA senza percepire il passato, così che l’argomento è sostanzialmente infondato. Questo pone l’accento nel giocare con ‘ conoscenza ‘ che significa, in primo luogo, la capacità di simbolizzare e, in secondo luogo, la percezione sensoriale. Wittgenstein sembra equivocare esattamente nello stesso modo, con la sua nozione di ‘ dato ‘.

The Foundation of Mathematics di Frank Ramsey – Capitolo IX Last papers – Sezione E. LE QUALITA ‘ CAUSALI

28 Giu

Greuze La brocca rottaRiporto la mia traduzione della sezione E. del capitolo IX  del libro The Foundation of Mathematics di Frank Plumpton Ramsey pubblicato a cura di R.B. Braithwaite. 

IX

LAST PAPERS

E. QUALITA’ CAUSALI

Nel trattare il movimento dei corpi si introduce il concetto di massa, una qualità che non osserviamo ma che noi usiamo in rapporto al movimento. Possiamo solo ‘ definirlo ‘ ipoteticamente, che non è davvero comprensibile se si riflette bene. Ad esempio ‘ Aveva una massa di 3 = Se l’avessimo colpito con un dato corpo (di massa 1) a 3 volte la sua velocità in modo che si fondesse con esso il corpo risultante sarebbe stato a riposo ‘ è un condizionale incompleto comprensibile solo come conseguenza di una legge, cioè una legge della meccanica espressa in termini di massa. La verità è che abbiamo a che fare con il nostro sistema primario come parte di un sistema secondario inventato. Qui abbiamo una qualità inventata, e possiamo anche avere particolari inventati. Tutto questo è reso chiaro nel mio rapporto sulle teorie.

Noi crediamo con questo o questo grado di convinzione a singole proposizioni del sistema secondario proprio come nel sistema primario. L’invenzione viene semplicemente ignorata; noi ragioniamo sul peso di un corpo tanto quanto sulla sua posizione, non supponendo per un momento che non abbia un peso esatto. L’ unica differenza è che non siamo in ultima analisi, interessati a proposizioni inventate, ma le usiamo solo come intermediari: non ci preoccupiamo di loro nel loro interesse. Noi trattiamo le proposizioni generali del sistema secondario proprio come variabili ipotetiche, e così facciamo con le probabilità.

Una teoria è un modo di affermare le singole proposizioni primarie e le variabili ipotetiche che ne derivano. Se due teorie concordano in questo sono equivalenti, ed esiste una traduzione più o meno complicata dell’una nell’altra. In caso contrario, essi differiscono come due variabili ipotetiche in disaccordo.

Nessuna proposizione del sistema secondario può essere compresa a a prescindere da tutta la teoria a cui essa appartiene. Se un uomo dice ‘ Zeus scaglia fulmini ‘, questo non è un nonsenso, perché Zeus non compare nella mia teoria, e non è definibile nei termini della mia teoria. Lo devo considerare come parte di una teoria e occuparmi delle sue conseguenze, ad esempio, che i sacrifici porteranno i fulmini a cessare.

E’ possibile avere un ‘ realismo ‘ sui termini nella teoria simile a quella delle leggi causali, e questo è altrettanto sciocco.

‘ C’è qui una qualità come massa ‘ è una sciocchezza se non significa solo l’affermare le conseguenze di una teoria della meccanica.

Questo deve essere dichiarato in modo completo talvolta a prescindere da una ragione di giudizi esistenziali. Penso che forse è vero che la teoria dei giudizi generali ed esistenziali è la chiave di tutto.

[Quello che può essere chiesto per una massa, è la possibilità di definirla in qualche modo. Ad esempio ‘ Arsenico ‘ non è un indefinibile ora, ma lo era all’inizio della chimica. NB – Definizione ipotetica non è una definizione; ad esempio ‘ Se io l’avessi dissolto, sarebbe . . . ‘ , Ma io non l’ho dissolto.]

Un problema interessante si presenta su cosa accadrebbe se il pensiero di un altro uomo si trovasse nel mio sistema secondario. [O anche il mio pensiero ? Qualche analogia sulla presunta circolarità nella teoria della causalità. ] Questo sarebbe il caso se venisse a conoscenza della massa o della carica elettrica, ma naturalmente nessuno lo potrebbe.

Ma ritengo che qui ci possa essere di più quando arriviamo al livello delle sensazioni. Ad esempio, un cieco sta per essere operato, e pensa che sta per essere in grado di vedere: allora il colore è per lui (possiamo plausibilmente supporlo) attualmente soltanto un pensiero teorico, ovvero un termine del suo sistema secondario, con il quale pensa di essere a conoscenza; cioè una parte del suo pensare il futuro è nel suo attuale sistema secondario.

Naturalmente qualità, causali, inventate o ‘occulte’ possono cessare di esserlo appena la scienza progredisce. Ad esempio il calore, la causa inventata di certi fenomeni di espansione (e sensazioni, ma queste potrebbero essere ignorate e il calore considerato solo quanto si applica alla meccanica), viene scoperto consistere nel moto di piccole particelle .

Così forse per i batteri e per i caratteri di Mendel o geni.

Questo significa, naturalmente, che in una successiva teoria queste funzioni parametriche sono sostituite da funzioni di un dato sistema.

E’ del tutto falso dire con Norman Campbell che ‘ realmente ‘ è il segno di una idea teoretica. Qualsiasi cambiamento in una teoria per cui qualche termine semplice viene sostituito da un termine complesso può essere espresso dicendo che ‘ realmente ‘ è così e così. Specialmente quando un idea inventata è sostituita da una primaria come negli esempi precedenti. Campbell ritiene che ad esempio la teoria atomica dei gas spiega le proprietà primarie, ad esempio, la temperatura, da quelle inventate, ad esempio il bombardamento. Ma l’uso di ‘ realmente ‘ è solo naturale per il punto di vista esattamente contrario.

The Foundation of Mathematics di Frank Ramsey – Capitolo IX Last papers – Sezione D. La Conoscenza

28 Giu

Salaria in invernoRiporto la mia traduzione della sezione D. del capitolo IX  del libro The Foundation of Mathematics di Frank Plumpton Ramsey pubblicato a cura di R.B. Braithwaite. La sezione C. è stata già inserita nell’ambito dei capitoli e sezioni riguardanti la probabilità.

 

 

IX LAST PAPERS
D. LA CONOSCENZA

Ho sempre detto che una convinzione era la conoscenza se essa fosse (i) vera, ( ii ) certa, ( iii) ottenuta con un processo affidabile. Ma la parola ‘processo’ è molto insoddisfacente; possiamo chiamare inferenza un processo, ma anche allora inaffidabile sembra riferirsi solo a un metodo fallace non a una falsa premessa, come si si supporrebbe che sia. Possiamo dire che un ricordo è ottenuto mediante un processo affidabile? Penso che forse lo possiamo se intendiamo che il processo causale colleghi quello che è avvenuto con il mio ricordarlo. Potremmo allora dire, una convinzione ottenuta da un processo affidabile deve essere determinata da quelle che non sono convinzioni in una certa maniera o con l’accompagnamento che potrebbe essere più o meno affidabile nel fornire convinzioni vere, e se in questa serie di causalità si presentano altre convinzioni intermedie queste devono essere solo quelle vere.

Ad esempio ‘ La telepatia è conoscenza? ‘ Può significare : ( a) Assumendo che ivi ci sia un tale processo, si può confidare su di esso per creare convinzioni vere nel fare telepatia (entro alcuni limiti, per esempio quando ciò che si crede riguarda i pensieri del telepatico) ? o ( b) supponendo che siamo agnostici, la sensazione di essere telepatizzati garantirebbe la verità ? Idem per l’intuito femminile, le impressioni del carattere, ecc.

Forse dovremmo dire che ( iii) non è ottenuta con un processo affidabile, ma (iii) è formata in modo affidabile .

Diciamo ‘ io so ‘, però, ogni volta che siamo certi, senza riflettere sull’affidabilità. Ma se avessimo riflettuto allora dovremmo restarne certi se, e solo se, abbiamo pensato il nostro metodo affidabile.

(Supponendo che lo conosciamo; in caso contrario, assumendolo solo come descritto sarebbe lo stesso, ad esempio, Dio l’ha messo nella mia mente: Un processo apparentemente affidabile.) Perché pensare il metodo affidabile è semplicemente quello di formulare in una variabile ipotetica l’abitudine di seguire la procedura.

Una cosa ancora. Russell dice nei suoi Problems of Philosophy che non vi è alcun dubbio che a volte ci sbagliamo, così che tutta la nostra conoscenza è infettata da un certo grado di dubbio.

Moore è abituato a negare questo, dicendo ovviamente che era auto-contraddittoria, che è mera pedanteria e ignoranza di quale tipo di conoscenza intendiamo.

Ma sostanzialmente il punto è questo: non possiamo senza auto- contraddizione dire p  e  q e  r  e . . . e uno di p , q , r . . . è falso. (NB – Noi sappiamo quello che sappiamo, altrimenti non ci sarebbe contraddizione) . Ma possiamo essere quasi certi che una è falsa e tuttavia quasi certi di ciascuna di queste; ma p , q , r sono allora infettate dal dubbio. Ma Moore ha ragione nel dire che non necessariamente tutte sono così infettate; ma se ne escludiamo alcune, ci risulterà abbastanza evidente che uno degli esclusi è probabilmente sbagliato, e così via.

The Foundation of Mathematics di Frank Ramsey – Capitolo IX Last papers – Sezione B General Proposition and Causality

24 Giu

foto0003Riporto di seguito la mia traduzione della parte B del capitolo IX di The Foundation of Mathematics di Frank Plumpton Ramsey pubblicato a cura di R.B. Braithwaite.

Si tratta di una riflessione importante che riguarda la causalità e il modo di interpretarla nelle leggi scientifiche. Questi appunti non possono prescindere da tutta la trattazione del capito VII su verità e probabilità.

La lezione di Ramsey è fondamentale per la comprensione e l’uso dei metodi scientifici che sono dimostrati come mezzi di ragionamento utile, ma certamente non sono certamente verità di fede.

IX

LAST PAPERS

B. PROPOSIZIONI GENERALI E CAUSALITA’

Consideriamo il significato delle proposizioni generali in un determinato ben definito mondo. (In particolare, nel comune significato nel mondo materiale). Ciò comprende il comune problema della causalità.

Come tutti tranne noi 1 hanno sempre detto queste proposizioni sono di due tipi. La prima congiunzioni: ad esempio ‘Tutti in Cambridge hanno votato’; la variabile qui è, naturalmente, non le persone in Cambridge, ma una regione limitata di spazio che varia a seconda della determinatezza della idea di chi parla di ‘Cambridge’, che è ‘questa città’ o ‘la città in Inghilterra chiamato Cambridge ‘o qualsiasi essa sia.

1[Penso che questo si riferisca a lui ed a me stesso. – Il curatore]

I logici vecchio stile avevano ragione nel dire che si tratta di congiunzioni, in errore nella loro analisi di quali congiunzioni si trattasse. Ma, di nuovo nel giusto nel distinguerle radicalmente dall’altro tipo che possiamo chiamare variabili ipotetiche: ad esempio, L’arsenico è velenoso: Tutti gli uomini sono mortali.

Perché queste non sono congiunzioni?

Mettiamola prima in questo modo: Che cosa hanno in comune con le congiunzioni, e in che cosa si differenziano da loro?

Approssimativamente possiamo dire che quando le osserviamo soggettivamente si differenziano del tutto, ma quando le osserviamo oggettivamente, cioè per le condizioni della loro verità e falsità, sembrano essere la stessa cosa.

(x) .φx differisce da una congiunzione perché

  1. non può essere scritta per esteso come un unica cosa
  2. la sua costituzione come una congiunzione non viene mai utilizzata; non la usiamo mai nella classe del pensare, tranne nella sua applicazione ad una classe finita, cioè usiamo solo la regola applicativa.
  3. [Questa è la stessa (b) in un altro modo.] Essa va sempre oltre ciò che sappiamo o vogliamo; cfr. Mill in ‘Tutti gli uomini sono mortali’ e ‘Il duca di Wellington è mortale’. Esprime una deduzione che siamo in qualsiasi momento pronti a fare, non una convinzione del genere primario.

Una convinzione del genere primario è una mappa dello spazio contiguo secondo cui noi operiamo. Rimane una tale mappa per quanto la complichiamo o riempiamo di dettagli. Ma se apertamente l’estendiamo all’infinito, non è più una mappa; non possiamo assumerla o operare con essa. Il nostro viaggio è finito prima di aver bisogno delle sue parti più remote.

(d) Il pertinente grado di certezza è la certezza del caso particolare, o di un insieme finito di casi particolari; non di un numero infinito che non usiamo mai, e di cui noi non potremmo esserne certi affatto.

(x). φx assomiglia a una congiunzione

(a) In questo essa contiene tutte le meno importanti, vale a dire qui tutte quelle finite, congiunzioni, e appare come una sorta di prodotto infinito.

(b) Quando ci chiediamo che cosa la renderebbe vera, inevitabilmente rispondiamo che è vera se e solo se per ogni x abbiamo una φ; cioè quando noi la consideriamo come una proposizione capace delle due possibilità verità e falsità, siamo costretti a renderla una congiunzione, e siamo costretti ad avere una teoria delle congiunzioni che non possiamo esprimere per mancanza di capacità simbolica.

[Ma ciò non possiamo dire che non lo possiamo dire, e non lo possiamo neppure fischiare.]

Se allora non è una congiunzione, non è una proposizione per nulla affatto; allora sorge la domanda in che modo può essere giusta o sbagliata.

Ora, nel caso di una proposizione vero ed errato, ovvero vero o falso, si verificano due volte. Esse si verificano per l’uomo che costruisce la proposizione ogni volta che realizza una funzione verità di essa, cioè sostiene disgiuntamente i casi della sua verità e falsità.

Ora non facciamo mai questo con queste variabili ipotetiche tranne che in matematica in cui questo è ora riconosciuto come fallace. Potrebbe sembrare di farlo ogni volta che discutiamo le diverse teorie ottenibili combinando diverse proposte legge naturali. Ma qui, se P è una tale legge, non consideriamo l’alternativa P, cioè (x). φx, e   Schermata 2014-03-17 alle 19.05.23        , ossia Schermata 2014-03-17 alle 19.05.36 , ma riteniamo o di avere P o non avere P (dove non averla come una legge in nessun modo implica la falsità della legge, vale a dire

Schermata 2014-03-17 alle 19.05.46, oppure avendo Schermata 2014-03-17 alle 19.05.52 o avendo Schermata 2014-03-17 alle 19.06.00

L’altro modo in cui si verifica giusto e sbagliato in rapporto alle proposizioni è quello di uno spettatore che dice che la convinzione di un uomo nella proposizione è giusta o sbagliata. Questo, naturalmente, è motivato semplicemente da ciò che lo spettatore stesso pensa e risulta dall’identità o dalla differenza tra il suo punto di vista e quello che assume essere quello di un uomo che egli sta criticando. Se A pensa p e pensa che anche B pensa p, dice che B pensa correttamente;, se pensa p e pensa che B pensa Schermata 2013-11-24 alle 21.04.13, lui dice che B pensa erroneamente . Ma la critica non può essere sempre di questo tipo semplice; ma è possibile anche quando B pensa p, e A non  pensa né p né Schermata 2013-11-24 alle 21.04.13 , ma considera la questione non definita. Egli può ritenere B uno sciocco per pensare p, senza che egli stesso pensi Schermata 2013-11-24 alle 21.04.13     . Questo accade quasi sempre con le relazioni ipotetiche. Se B dice: ‘ Se mangio questa tortina avrò un mal di pancia ‘ , e A dice: ‘ No , non l’avrai ‘ , egli non sta effettivamente contraddicendo la proposizione di B, almeno se questa viene assunta come una implicazione materiale . Né sta contraddicendo una presunta affermazione di B è che la prova dimostra che è così e così. B non può fare tale affermazione, in realtà non sempre può ragionevolmente anche se è nel giusto . Perché egli può essere nel giusto, senza avere prove dalla sua parte.

In realtà è possibile l’ accordo e di disaccordo per quanto riguarda qualsiasi aspetto del punto di vista di un uomo e necessita che non assuma la forma semplice di ‘ p ‘ , ‘  Schermata 2013-11-24 alle 21.04.13   ‘ . Molte frasi esprimono atteggiamenti cognitivi senza essere proposizioni; e la differenza tra il dire sì o no a queste non è la differenza tra il dire sì o no a una proposizione. Questo è anche vero per l’ipotetica ordinaria [ come si può vedere dall’esempio precedente, essa afferma qualcosa per il caso in cui la sua protasi è vera: noi applichiamo la Legge del Terzo Escluso, non a tutto l’insieme, ma solo alla conseguenza]; e molto più della variabile ipotetica.

Al fine quindi di capire la variabile ipotetica e il suo giusto o sbagliato, dobbiamo considerare i diversi atteggiamenti possibili per essa; se sappiamo che cosa sono e che cosa queste coinvolgono possiamo procedere facilmente a spiegare il significato di dire che un tale atteggiamento è giusto o sbagliato, perché questo è semplicemente avere noi stessi un simile atteggiamento e pensare che uno dei nostri vicini ha lo stesso o un atteggiamento diverso.

Quali sono allora i possibili atteggiamenti alla domanda – sono tutti uomini mortali ?

( 1 ) Crederci con più o meno convinzione.

( 2 ) Non doverla prendere in considerazione.

( 3) Non crederlo perché non è provata .

( 4) Non crederlo, perché convinti che un certo tipo di uomo, che potrebbe esistere, sarebbe immortale.

( 5 ) Non crederlo in quanto convinti che un uomo particolare, è immortale .

Dobbiamo analizzare questi atteggiamenti; ovviamente in prima istanza l’analisi deve essere in termini di convinzioni nelle singole proposizioni, e tale analisi sarà sufficiente per il nostro attuale scopo.

Credere che tutti gli uomini sono mortali – che cos’è? In parte il dire così, in parte credere in merito a qualsiasi x che si trova che se lui è un uomo che è mortale. La convinzione generale consiste in

( a) Un enunciato generale ,

( b) L’abitudine di convinzione singolare .

Questi sono, ovviamente, collegati, l’abitudine derivante dalla enunciazione secondo una legge psicologica che determina il significato di ‘ tutti’ .

Noi così spieghiamo

( 1 ) Per quanto riguarda la nozione di ‘ abitudine ‘ ;

( 2 ) Che non offre nessun problema ;

( 3 ) Può sembrare che determini un problema se ci chiediamo – Che cosa è che il pensatore ritiene ? Ma non c’è davvero nessun problema: questo non è il valutare se una cosa è così o no, né ancora il valutare se fare o non fare qualcosa, ma una sorta di cosa intermedia. Nasce l’ idea di una affermazione generale, la prova viene valutata e di nuovo crolla.

In ( 4) e ( 5) crolla con maggiore precisione per i motivi indicati: vale a dire, in ( 4) abbiamo un’altra dichiarazione generale che, combinata con quella proposta darebbe una conclusione a cui siamo riluttanti (di per sé una terza affermazione generale, vale a dire ‘ Tutti gli uomini non sono di questo tipo’) e in ( 5 ) si ha una singolare dichiarazione che contraddice nettamente quella proposta.

Le variabili ipotetiche o leggi causali formano il sistema con il quale chi parla si rapporta con il futuro; non sono, quindi,soggettive, nel senso che se io e te ne enunciamo di differenti stiamo dicendo ciascuno qualcosa di noi stessi che passa dall’una all’altro come ‘ sono andato a Grantchester ‘ , ‘ non l’ho fatto . ‘ Perché se ci rapportiamo al futuro con diversi sistemi non siamo d’accordo anche se il futuro reale è d’accordo con entrambi a condizione che ciò possa (logicamente) concordare con uno ma non con l’altro, vale a dire così a condizione che noi non crediamo le stesse cose. ( Cf. Se A è certa , B dubbio, essi possono ancora disputarne.)

Le variabili ipotetiche non sono giudizi , ma regole per giudicare ‘ Se incontro un φ, io lo considerarlo come un ψ : ‘ . Questo non può essere negato ma può risultare in disaccordo con uno che non l’adotta.

Questi atteggiamenti sembrano quindi di coinvolgere un’idea enigmatica, tranne che per quella della consuetudine; chiaramente qualsiasi proposizione su una consuetudine è generale, e quindi la critica su un giudizio giudizio generale è di per sé un giudizio generale. Ma dal momento che ogni convinzione implica l’abitudine, così fa la critica di ogni giudizio quale che sia, e non vedo nulla di eccepibile in questo. Qui sussiste una sensazione di circolarità su di questo, ma penso che sia illusoria. Comunque dovremo tornarci più avanti.

Questa considerazione delle leggi causali ha una certa somiglianza con Braithwaite , 1 e dobbiamo confrontarla da vicino per vedere se sfugge alle obiezioni a cui la sua considerazione è soggetta. Egli ha detto che un universale di una legge era quello creduto su basi non dimostrative, e io ho detto 2 che non sarebbe così per tre distinte ragioni:

( a) Alcuni universali di leggi non vengono creduti affatto, ad esempio le  leggi causali sconosciute.

( b) Alcuni universali di fatti sono creduti per motivi non dimostrativi.

( c ) Alcuni universali (derivati ​​e localizzati) di leggi sono creduti su basi dimostrative.

Io , dunque , ho messo su una teoria diversa per cui le leggi causali sarebbero conseguenze di certe proposizioni che dovremmo assumere come assiomi se sapessimo tutto e dovremmo organizzarle nel modo più semplice possibile in un sistema deduttivo.

1 R.B. Braithwaite , “The Idea of Necessary Connexion,” Mind, 1927 and 1928.

2 [ In una nota della primavera del 1928 superato da questo articolo. -Ed .]

Ciò che viene detto sopra significa, naturalmente, un rifiuto completo di questo punto di vista (perché è impossibile sapere tutto e organizzarlo in un sistema deduttivo) e un ritorno a qualcosa di più vicino a Braithwaite. Una generalizzazione causale non è, come allora ho pensato, qualcosa che è semplice, ma qualcosa in cui crediamo (cfr. l’età alla morte dei cuochi poeti). Possiamo crederci perché è semplice, ma questo è un altro discorso. Quando dico questo non devo essere frainteso; le variabili ipotetiche non si distinguono dalle congiunzioni per il fatto che noi le crediamo, esse sono molto più radicalmente differenti. Ma essendo la prova di un essere una variabile ipotetica (spesso almeno) una congiunzione, una tale congiunzione si distingue dalle altre in questo che ci crediamo per guidarci in un caso nuovo, cioè deriva da essa una variabile ipotetica.

Questo spiega come Braithwaite è pervenuto a dire che le leggi sono quelle che vengono credute; ma, messo come dice lui, è ovviamente sbagliato, essendo aperto alle obiezioni formulate in precedenza.

Il problema di Braithwaite era quello di spiegare il significato di ‘ P è una legge di natura ‘ . La nostra soluzione è che dire questo, è l’affermare P alla maniera di una variabile ipotetica. [ O, naturalmente, possiamo estendere la legge della natura per qualsiasi congiunzione che segue da una nel senso di cui sopra.] Ma questa soluzione è incompleta perché non spiega affatto cosa intendiamo quando parliamo di una legge di natura sconosciuta, o di una legge descritta ma non formulata, ad esempio, la legge che le caratteristiche delle persone dipendono in qualche modo dai cromosomi (ma nessuno sa come), oppure, egli ha scoperto una legge che disciplina l’estensione delle molle (ma non so quale legge), dove in un secondo caso dico che egli ritiene una variabile ipotetica, e successivamente implica che è vera, ma dal momento che io non so cosa sia non posso anch’io adottare il suo atteggiamento verso di essa.

Così, in ognuno di questi casi ci sembra di trattare la legge sconosciuta come una vera proposizione in un modo che la nostra teoria dice che è impossibile.

La stessa difficoltà si verifica anche nella teoria finitista della matematica, quando si parla di una sconosciuta proposizione matematica vera. In questo campo più noto la soluzione dovrebbe essere più semplice e quindi estensibile all’altro campo.

Una verità sconosciuta nella teoria dei numeri non può essere interpretata come una (sconosciuta) proposizione vera per tutti i numeri, ma come una proposizione dimostrata o dimostrabile. Dimostrabile a sua volta significa dimostrabile in qualsiasi numero di passi, e coi principi finitisti il numero di passi deve in qualche modo essere limitato, ad esempio, all’umanamente possibile. ‘Così e così ha scoperto un nuovo teorema ‘ significa quindi che egli ha costruito una prova di una certa dimensione limitata.

Quando passiamo a una legge causale sconosciuta, cosa c’è che corrisponde al processo di prova a cui conduce la soluzione sopra descritta? Chiaramente solo il processo di raccogliere le prove per la legge di causalità, e il dire che c’è una legge del genere, anche se non la conosciamo, deve significare che ci sono certi fatti singolari in una qualche sfera limitata (una disgiunzione ) che ci porterebbero, avendoli conosciuti, ad affermare una variabile ipotetica. Ma questo non è sufficiente, perché non ci devono essere semplicemente fatti che portano alla generalizzazione, ma quando realizzato non ci deve trarre in inganno. ( O non potremmo chiamarla una vera legge causale.) Occorre pertanto anche essere affermato che occupi una determinata limitata area in misura pari alla portata della nostra esperienza possibile.

Non ci sarebbe niente che corrisponda a questo, nel caso matematica, perché una generalizzazione matematica deve se dimostrata appartenere a qualsiasi caso particolare, ma una generalizzazione empirica non può essere provata; e perché l’esserci la prova che conduce ad essa e perché essa si presenta in altri casi sono anche fatti distinti.

A questa considerazione ci sono due possibili obiezioni nel punto a favore del circolo vizioso. Stiamo cercando di spiegare il significato di affermare l’esistenza di una legge causale sconosciuta, e la nostra spiegazione può essere detta in termini dell’asserzione di certe leggi, e questo in due modi diversi. Diciamo che significa che ci sono fatti che ci porterebbero ad affermare una variabile ipotetica; e qui può essere ammesso che questo significa che ci condurrebbero in virtù di una legge causale forse sconosciuta a formarci un’abitudine che sarebbe costituita da un’altra legge causale.

A questo noi rispondiamo, in primo luogo, che la legge causale che in virtù della quale i fatti ci porterebbero alla generalizzazione non deve essere un qualche legge sconosciuta, ad esempio una per cui la conoscenza dei fatti prima ci condurrebbe alla pazzia così alla generalizzazione della pazzia, ma per cui le leggi conosciute esprimano i nostri metodi di ragionamento induttivo; e, in secondo luogo, che l’ignota variabile ipotetica deve essere qui assunta a significare una asserzione non nota (la cui sintassi sarà ovviamente conosciuta, ma non i suoi termini e il loro significato), il che, naturalmente , porterebbe ad una abitudine in virtù di una legge psicologica nota.

Ciò che abbiamo detto è, credo, un profilo sufficiente delle risposte ai problemi rilevanti di analisi , ma è idoneo a lasciarci confusi e insoddisfatti da quello che sembra il problema principale – una questione non di analisi psicologica, ma di metafisica che è ‘ La causalità è una realtà o una finzione, e, se una finzione, è utile o fuorviante, arbitraria o indispensabile ? ‘

Possiamo cominciare a chiedersi se queste variabili ipotetiche svolgono un ruolo essenziale nel nostro pensiero; potremmo, per esempio, pensare che possano essere semplicemente eliminate e sostituiti dalle proposizioni primarie che servono come prova per esse.

Questo è, credo, il punto di vista di Mill, il quale sosteneva che invece di dire ‘ Tutti gli uomini muoiono, quindi il duca di Wellington morirà ‘, potremmo dire ‘ – così e così gli uomini sono morti 1, quindi il Duca morirà’. Questo punto di vista può essere sostenuto osservando che lo scopo ultimo del pensiero è quello di guidare la nostra azione, e che in ogni occasione la nostra azione dipende solo da convinzioni o gradi di convinzione in singole proposizioni. E dal momento che sarebbe possibile organizzare le nostre singole convinzioni singole utilizzare variabili intermediarie, siamo tentati di concludere che esse sono puramente superflue.

1 Potremmo essere inclini a dire che la prova non è semplicemente che A , B , C sono morti , ma che A, B , C sono morti , e nessuno per quanto ne sappiamo, non è morto; vale a dire ‘ tutto quello che ne sappiamo è che sono morti ‘. Ma l’extra che non fa parte della prova, ma una descrizione di essa, è il dire: ‘ e queste sono tutte le prove ‘.

Ma questo, credo, potrebbe essere sbagliato; a prescindere dal loro valore nel semplificare il nostro pensiero, esse costituiscono una parte essenziale della nostra mente. Quello che noi pensiamo esplicitamente in termini generali è alla radice di ogni lode e di biasimo e molte discussioni. Non possiamo biasimare un uomo se non considerando cosa sarebbe successo se avesse agito diversamente, e questo tipo di condizionale incompleto non può essere interpretato come una implicazione materiale, ma dipende essenzialmente da variabili ipotetiche. Consideriamo questo più da vicino.

Quando deliberiamo su una possibile azione, ci domandiamo che cosa accadrà se facciamo questo o quello. Se diamo una risposta determinata nella forma ‘ Se faccio p, risulterà q, ‘ questo può essere correttamente considerato come una implicazione materiale o una disgiunzione se ‘ O non p e q . ‘ , Ma si differenzia, ovviamente, da qualsiasi ordinaria disgiunzione dal fatto che uno dei suoi membri, non è qualcosa di cui stiamo cercando di scoprire la verità, ma qualcosa in nostro potere da rendere vera o falsa.1 Se andiamo oltre a ‘ E se q , allora r’ , otteniamo più implicazioni materiali di tipo più ordinario.

Oltre a definite risposte ‘ Se p , risulterà q’, spesso otteniamo quelle ‘ Se p , risulterebbe q ‘ o ‘ risulterebbe probabilmente q ‘.

Qui il grado di probabilità non è chiaramente un grado di convinzione in ‘ Non p o q ‘ , ma un grado di convinzione in q dato p, che è evidentemente possibile avere senza una grado definito di convinzione in p, p non essendo un problema intellettuale. E il nostro comportamento è in gran parte determinato da questi gradi di convinzione ipotetica.

1 È possibile prendere l’azione volontaria di uno sul futuro come un problema intellettuale : ‘ Sarò in grado di mantenerlo? ‘ Ma solo dissociando il futuro stesso di quel tale.

Ora supponiamo che un uomo è in una situazione del genere. Ad esempio, supponiamo che abbia una torta e decida di non mangiarla, perché pensa che gli farà male allo stomaco, e supponiamo che osserviamo la sua condotta e decidiamo che si sbaglia. Ora la convinzione su cui quell’uomo agisce è che se mangia la torta si ammalerà, assunta secondo il nostro ragionamento di cui sopra come implicazione materiale.

Non possiamo contraddire questa affermazione sia prima sia dopo l’evento, perché è vera a condizione che l’uomo non mangi la torta, e prima dell’evento non abbiamo motivo di pensare che la mangerà, e dopo l’evento sappiamo che non l’ha mangiata.

Dal momento che non pensa nulla di falso, perché disputiamo con lui o lo condanniamo?

Prima dell’evento non siamo diversi da lui in modo abbastanza chiaro: non è che egli crede p, e noi    Schermata 2013-11-24 alle 21.04.13                  ; ma ha un diverso grado di convinzione in q dato p rispetto al nostro; e possiamo , ovviamente, cercare di convertirlo al nostro punto di vista 1 Ma dopo l’evento sappiamo entrambi che non ha mangiato la torta e che egli non si è ammalato; la differenza tra noi è che lui pensa che se l’avesse mangiata si sarebbe ammalato mentre noi pensiamo che non lo sarebbe. Ma questo non è, prima facie, una differenza di gradi di convinzione in qualche proposizione, perché siamo entrambi d’accordo su tutti i fatti .

1 Se due persone stanno discutendo : ‘Se p sarà q ? ‘ E sono entrambi in dubbio su p , stanno aggiungendo p ipoteticamente al loro bagaglio di conoscenze e discutendo su tale base su q; in modo che in un certo senso ‘ Se p , q e ‘ se p ,    Schermata 2013-08-23 alle 22.32.01                   ‘ sono contraddittorie . Possiamo dire che stanno fissando i loro gradi di convinzione in q dato p . Se p risulta falsa, questi gradi di convinzione sono resi nulli. Se una delle parti ritiene Schermata 2013-11-24 alle 21.04.13 certo. la questione cessa di significare qualcosa per lui se non come una questione su quanto segue da certe leggi o ipotesi .

Il significato di queste affermazioni circa le condizioni non soddisfatte, e il fatto che se le condizioni sono soddisfatte o no non fa alcuna differenza per la differenza tra noi, la base comune, come si potrebbe dire, della controversia sta nel fatto che noi pensiamo in termini generali. Abbiamo ognuno di noi variabili ipotetiche (o, in caso di incertezza, probabilità), che applichiamo a qualsiasi problema di questo genere; e la differenza tra noi è una differenza nei confronti di queste. Abbiamo gradi di aspettativa, vaghe o chiare, per l’esito di qualsiasi stato di cose quando o dove esso si verifichi. Dove qui sia suscettibile ad essere ambiguo è nella definizione dello stato di cose; per esempio, nel considerare cosa sarebbe successo se un uomo avesse agito diversamente, siamo portati a introdurre qualsiasi fatto che conosciamo, sia che l’abbia conosciuto o l’abbia potuto conoscere, ad esempio la posizione effettiva di tutte le carte di bridge rispetto alle loro probabilità di posizione dal suo punto di vista. Ma ciò che è chiaro è che le nostre aspettative sono generali; quando la sorte è chiaramente definita ci aspettiamo le stesse probabilità in ogni categoria del genere.

In caso contrario, e ci aspettavamo differentemente in ogni caso reale, l’attesa in un caso immaginario non potrebbe avere alcun significato .

Tutto questo si applica, naturalmente, altrettanto bene per le conseguenze di qualsiasi evento ipotetico e non solo alle azioni umane .

Ho scelto di esporre con riferimento a quest’ultimo, perché penso che sia di molto particolare importanza nello spiegare la posizione speciale posseduta dalle leggi causali, che sono un importante, ma non l’unico tipo di variabili ipotetiche. Per far fronte a questa domanda cominciamo con le ipotetiche in generale.

‘ Se p , allora q ‘ può in nessun modo essere vero a meno che l’implicazione materiale p ⊃ q sia vera; ma in genere significa che p ⊃ q non solo è vero, ma deducibile o rilevabile in qualche modo particolare non determinato1 esplicitamente.

1 ‘ se p , allora q ‘ può anche significare pr ⊃ q dove r non è un fatto o una legge, o non solo , composta di fatti o di leggi, ma anche composto da proposizioni in un sistema secondario. Ad esempio , da un punto di vista solipsistico , ‘ Se apro gli occhi vedrò rosso . ‘ Le teorie ipotetiche del mondo esterno di Mill sono di questa natura, e non possono essere utilizzate per definire il mondo esterno. Tutto quello che potrebbe essere utilizzato sono le leggi da cui, combinate con la mia esperienza passata, ne potrebbe seguire che se apro gli occhi vedrò rosso. Ma questo non potrebbe coprire congetture per il mondo esterno, a meno che non pensiamo che una sufficiente conoscenza della legge ci consentirebbe di rendere tutte queste congetture certe. Faccio la congettura di qualcosa; questa può essere solo ipotetica se l’ipotesi può fare riferimento a un sistema secondario.

Il punto di vista di Mill deve essere sostituito dicendo che il mondo esterno è un sistema secondario, e che qualsiasi proposizione su di esso impegna una persona a a non più giudizi che una negazione di tutti i corsi di esperienza in contrasto con esso.

Questo è sempre evidente quando ‘ se p , allora q ‘ o ‘ perché p , q ‘ (perché è solo una variante di se, quando p è noto essere vera ) è pensato correttamente specificando anche quando è già noto sia che p è falso sia che q è vero. In generale si può dire che con Mill ‘ Se p allora q ‘ significa  q si può inferire da p, cioè, ovviamente, da p insieme ad alcuni fatti e leggi non stabilite ma in qualche modo indicate dal contesto. Ciò significa che p ⊃ q segue da tali fatti e leggi, che se vero non è in alcun modo un fatto ipotetico; in modo che, nonostante il suono di ottenuto da inferenza, la spiegazione di Mill non è circolare come pensava Bradley. Naturalmente che p ⊃ q deriva dai fatti non è una proposizione di logica, ma una descrizione dei fatti : ‘ Essi sono tali da coinvolgere p ⊃ q. ‘ Corrispondendo al tipo di leggi o fatti intesi otteniamo diverse sottili variazioni sintattiche. Ad esempio , ‘ se lui fosse stato lì, dovrebbe aver votato per questo ( perché questo è stato approvato all’unanimità), ma se fosse stato lì, avrebbe votato contro di esso (essendo tale la sua natura ).’  [ In questo, legge = variabile ipotetica. ]

Una classe di casi è particolarmente importante , vale a dire quelli in cui, come si dice, il nostro ‘ se ‘ ci dà non solo una ratio cognoscendi ma anche una ratio essendi. In questo caso, che è ad esempio quello normale quando diciamo: ‘Se p doveva accadere, q sarebbe dovuto accadere ‘, p ⊃ q deve seguire da un ipotetica ( x ) . φx ⊃ ψx e fatti r , pr ⊃ q essendo un caso particolare di φx ⊃ ψx e descrivendo q gli eventi non prima di tutti quelli descritti in pr. Una variabile ipotetica di questo tipo noi chiamiamo una legge causale .

Ora dobbiamo spiegare l’importanza peculiare e l’obiettività attribuita alle leggi causali; come, per esempio, la deduzione di effetto da causa è concepito come così radicalmente diverso da quello di causa dall’effetto. (Nessuno direbbe che la causa esisteva a causa dell’effetto.) Ed è, a quanto pare, un fatto fondamentale che il futuro è dovuto al presente, o, più semplicemente, è influenzato dal presente, ma il passato non lo è.

Cosa significa questo? Non è chiaro e, se cerchiamo di chiarirlo, si trasforma in un nonsenso o una definizione: ‘ Parliamo di ratio essendi quando la protasi è precedente all’apodosi Df . ‘Sentiamo che questo è sbagliato; pensiamo che ci sia una certa differenza fra prima e dopo a cui stiamo arrivando a comprendere, ma cosa può essere? Ci sono differenze tra le leggi che derivino un effetto da una causa e quelli che derivino una causa da un effetto; ma possono davvero essere quello che intendiamo? No, perché si ricavano a posteriori, ma ciò che intendiamo è un a priori ‘ . [La seconda legge della termodinamica è a posteriori; ciò che è singolare è che questa sembra risultare dalla semplice assenza di una legge (vale a dire la probabilità), ma ci potrebbe essere una legge di mescolamento. ]

Quello che poi crediamo per il futuro che non lo crediamo il passato; il passato, pensiamo, è fissato, se questo significa qualcosa di più che è passato, potrebbe significare che, secondo noi è fissato, che nulla ormai potrebbe cambiare la nostra opinione al riguardo, che ogni evento presente non è pertinente alla probabilità per noi di qualsiasi evento passato. Ma questo è chiaramente falso. Ciò che è vero è questo, che l’eventuale attuale volizione nostra (per noi) non è pertinente ad un qualsiasi evento passato. Per un altro ( o per noi stessi in futuro) può servire come un segno del passato, ma quello che ora facciamo riguarda solo la probabilità del futuro.

Questa mi sembra la radice della questione; che non posso influenzare il passato, è un modo di dire qualcosa di abbastanza chiaramente vero per i miei gradi di convinzione. Inoltre dalla situazione in cui stiamo discutendo mi sembra sorgere la differenza generale di causa ed effetto. Siamo poi impegnati non sulla conoscenza imparziale o sulla classificazione (a cui questa differenza è del tutto estranea), ma a disegnare le diverse conseguenze delle nostre azioni possibili, che noi naturalmente facciamo in sequenza in avanti nel tempo, procedendo dalla causa all’effetto, non dall’effetto alla causa. Possiamo produrre A o A ‘ che produce B o B ‘, che , ecc . . . , Le probabilità di A , B sono interdipendenti, ma  giungiamo ad A dalla nostra presente volizione.

Diciamo che le persone possono influire solo sul futuro e non sul passato per due motivi; in primo luogo, per analogia con noi stessi che sappiamo che esse possono influenzare il futuro e non il passato dal loro punto di vista; e in secondo luogo, se includiamo la loro azione nella categoria generale di causa ed effetto, ciò solo può essere una causa di ciò che è successivo a questo. Ciò significa in ultima analisi che influendo su questo possiamo influire solo indirettamente (nel nostro calcolo), sugli gli eventi successivi ad esso. In un certo senso la mia azione attuale è una basilare e la sola basilare contingenza.

[ Naturalmente è il  nostro passato che conosciamo che non possiamo modificare; noi sappiamo che possiamo modificare il nostro futuro. La ramificazione di effetti con al massimo la velocità della luce è nota dall’esperienza. ]

È chiaro che il concetto e l’uso di leggi causali non presuppone alcuna ‘ legge di causalità ‘ di effetti nel senso che ogni evento ha una causa . Abbiamo alcune ipotetiche variabili della forma ‘ Se φx , allora ψx ‘ con ψ successivo a φ , chiamate leggi causali: altre nella forma ‘ Se φx allora la probabilità α per ψx ‘; questa è detta probabilità. Supponiamo la probabilità fondata se osserviamo che non c’è alcuna speranza di sostituirla con una legge se avessimo avuto conoscenza di sufficienti fatti. Non c’è ragione di supporre che non è fondata. Una legge ha una probabilità pari a 1; naturalmente, come è mostrato nel mio saggio sul caso, le probabilità non danno gradi reali di convinzione ma un più semplice sistema a cui quelle reali si approssimano. Così anche noi non diamo le leggi per certe.

Sul punto di vista che abbiamo spiegato, la necessità causale non è un fatto; quando affermiamo una legge causale stiamo affermando non un fatto, non una congiunzione infinita, né un collegamento di universali, ma una variabile ipotetica che non è per nulla strettamente una proposizione, ma una formula da cui deriviamo delle proposizioni .

La critica più evidente di questo punto di vista è che è un circolo vizioso, perché esso cerca di spiegare la causalità mediante un concetto, cioè quello di una variabile ipotetica, che implica causalità. Perché l’esistenza di una variabile ipotetica dipende dal nostro usarla come tale, cioè secondo una legge causale di nostra propria natura procedendo da questa a particolari convinzioni.

Dobbiamo cercare di dare la risposta a questa critica veramente chiara, perché è certamente infondata.

Un punto essenziale minore può essere determinato in primo luogo: le variabili ipotetiche implicano causalità, né più né meno delle convinzioni comuni; perché ciò appartiene all’essenza di ogni convinzione che deduciamo da ciò, e agisce su di essa in un certo modo; e questo concetto implica causalità proprio come fa la variabile ipotetica.

La legge causale collegata con quest’ultima è più complicata, ma non essenzialmente diversa. Ad esempio non esiste una gerarchia di tipi di leggi causali, ma semplicemente crescenti complicazioni omogenee come ( x ) . . , ( x ) ( y ) . . . , ( x ) ( y ) ( z ) . . .

Ma ora veniamo al punto principale. Il mondo , o meglio quella parte di esso di cui siamo a conoscenza, mostra come dobbiamo tutti essere d’accordo con una buona dose di regolarità di successione. Io sostengo in aggiunta che non presenta nessuna caratteristica denominata necessità causale, ma che costruiamo le frasi dette leggi causali da cui (cioè avendo costruito quelle con cui) si procede alle azioni e alle proposizioni connesse tra loro in un certo modo, e diciamo che un dato di fatto affermato in una proposizione che è un caso particolare di una legge causale è un caso di necessità causale. Questa è una caratteristica normale della nostro modo di fare, una parte della regolarità generale delle cose; come sempre non c’è nulla in questo oltre alla regolarità che sia chiamato causalità, ma possiamo ancora costruire una variabile ipotetica di questo nostro comportamento e parlarne come un esempio di causalità.

Ma non può esserci qualcosa che potrebbe essere chiamato reali connessioni di universali ? Non posso negarlo, perché io non posso comprendere nulla da tale frase; io trovo che quello che noi chiamiamo leggi causali non sono nulla di questo genere.

Così pure ci potrebbe esserci una totalità infinita, ma quello che mi sembrano essere proposizioni riguardo a ciò sono ancora variabili variabili e ‘ raccolta infinita ‘ è davvero un nonsenso.

Le variabili ipotetiche hanno analogie formali con altre proposizioni che ce le fanno assumere a volte come fatti circa universali, a volte come congiunzioni infinite. Le analogie sono fuorvianti , difficile tuttavia che siano da sfuggire, ed emotivamente soddisfacenti in quanto prove di diversi tipi di atteggiamenti mentali. Entrambe queste forme di ‘ realismo ‘ devono essere respinte dallo spirito realistico.

Il tipo di cosa che fa sentire il desiderio di assumere una visione realistica della causalità è questo. Supponiamo che la razza umana per nessun motivo sempre supponga che le fragole darebbero ad essa mal di pancia, e così non le mangia; allora tutte le sue convinzioni, così dette rigorosamente, ad esempio, che se mangio fragole avrò un dolore, sarebbero vere; ma non ci sarà davvero qualcosa di sbagliato ? Non è un fatto che se le avessero mangiate non avrebbero avuto un dolore?

No, non è questo un fatto; è una conseguenza della mia regola. Quello che è un fatto è che le ho mangiate e non ho avuto un dolore. Se abbiamo considerato il condizionale incompleto come un fatto dovremmo supporre che qualsiasi di tali asserzioni come ‘ Se avesse mischiato le carte , si sarebbe dato un asso ‘ ha un chiaro significato vero o falso, il che è assurdo. Noi lo consideriamo solo come sensato se essa, o la sua contraddittoria, può essere dedotta dal nostro sistema. Altrimenti diciamo ‘ Non si può dire cosa sarebbe successo ‘, che suona come una confessione di ignoranza, ed è così infatti , perché significa che non possiamo prevedere cosa accadrà in un caso simile, ma non perché ‘quello che sarebbe successo ‘ è una realtà di cui siamo ignoranti .

Ma il loro sistema, direte voi, si adatta a tutti i fatti loro noti; se due sistemi entrambi si adattano ai fatti, non è la scelta un capriccio?

Noi, tuttavia, riteniamo che il sistema è univocamente determinato e che una abbastanza lunga indagine ci porterà del tutto ad esso.

Questo è il concetto di Peirce di verità come quello che tutti crederanno alla fine; non si applica alla asserzione veritiera di elementi di fatto, ma al ‘ vero sistema scientifico ‘.

Cosa c’era di sbagliato con i nostri amici che si astenevano dalle fragole era che non lo sperimentavano. Perché si dovrebbe sperimentare ? Per aumentare il peso di una probabilità : se q è pertinente con p, è bene scoprire q prima di agire in un qualche modo che coinvolge p. Ma se q è noto, non vale la pena; sapevano, così hanno pensato, quale sarebbe stato il risultato dell’esperimento e così naturalmente non si sarebbero incomodati a farlo.

La difficoltà deriva fondamentalmente dall’assumere che ogni frase sia una proposizione: quando si vede considerando la posizione di coincidenze che le probabilità non sono proposizioni allora dovrebbe essere chiaro che le leggi non sono né l’uno né l’altro, a prescindere da altre ragioni .

NOTE

( 1 ) tutte le teorie , le probabilità e le leggi sono costruiti con l’obiettivo di integrazione attraverso la scoperta di ulteriori fatti; questi fatti sono sempre assunti come noti con certezza. Che cosa si deve fare quando non siamo certi di essi è rimasto abbastanza incerto, così come lo è il riconoscimento deve essere dato all’incertezza circa la teoria stessa.

( 2 ) Probabilità e legge sono utilizzati nello stesso modo in un sistema teoretico come in un sistema primario; a ragione, anche, se il sistema teoretico è temporale. Naturalmente il sistema teoretico è del tutto come una variabile ipotetica nell’essere ivi solo dedotta da; e una legge nel sistema teoretico è di secondo grado di deduzione.

( 3) Se le conseguenze di una legge o di una teoria non sono chiare, cioè se non vi è alcuna prova se una cosa può o non può essere dedotta da esse, allora deve essere assunta in modo formale; questa è un’abitudine non il credere ψ ogni volta che vediamo φ, ma di credere il significato di ogni simbolo dedotto da questi segni.

( 4) Qualcosa va detto della relazione di questa teoria con Hume. Hume ha detto che, come noi , che non c’è nulla, tranne la regolarità, ma sembrava contraddire se stesso nel parlare di determinazione nella mente e di una sensazione di determinazione che fornirebbe l’idea di necessità. Siamo accusati della stessa circolarità ingiustamente: egli si è messo in un pasticcio prendendo un ‘idea ‘ di necessità e cercandone una di’ impressione ‘. Non mi è chiaro che ci sia una tale idea e una tale impressione, ma ci potrebbero essere.

Quando siamo obbligati a seguito di un’esperienza a pensare in un modo particolare, noi probabilmente abbiamo una sensazione diversa da quando prendiamo una decisione di fresco. Ma non dobbiamo dire che ci sentiamo di essere obbligati, perché nella mente c’è solo la regolarità: la necessità è come sempre una figura retorica. Penso che abbia capito molto bene , e abbia dato ai suoi lettori credito di più intelligenza di quanto essi mostrano nelle loro interpretazioni letterali.

( 5 ) Come opposto ad una teoria puramente descrittiva della scienza, la mia può essere chiamata teoria previsionale. Il considerare una legge come una sintesi di alcuni fatti mi sembra insufficiente; essa è anche un atteggiamento di aspettativa per il futuro. La differenza è più evidente per quanto riguarda le probabilità; i fatti riassunti non escludono le stesse possibilità di una coincidenza che sarebbe riassumibile e che, infatti, comporterebbe una teoria del tutto diversa .