Mathematical Logic – Parte II di The Foundation of Mathematics di Frank P. Ramsey

18 Mag

Come si suonano gli elettoriPropongo la mia traduzione della seconda parte delle opere pubblicate di Frank Plumpton Ramsey curate da R.B. Braithwaite con il titolo The Foundation of Matematics

LOGICA MATEMATICA ( 1926)

Mi è stato chiesto di parlare degli sviluppi nella Logica Matematica fin dalla pubblicazione dei Principia Mathematica, e penso che sarebbe stato più interessante se, invece di descrivere i vari precisi miglioramenti nel dettaglio, parlassi a grandi linee sul lavoro che è stato fatto con metodi completamente diversi, e che sostiene di sostituire del tutto la posizione assunta da Whitehead e Russell sulla natura della matematica ed i suoi fondamenti logici .

Permettetemi di cominciare ricordando quale è il punto di vista Whitehead e Russell: questo è che la matematica è parte della logica formale, che tutte le idee della matematica pura possono essere definite in termini che non sono tipicamente matematici, ma coinvolti nel pensiero complicato di una qualsiasi descrizione, e che tutte le proposizioni della matematica possono essere dedotte da proposizioni della logica formale, come ad esempio che se p è vero, allora o p o q è vero. Questo punto di vista mi sembra di per sé plausibile, così non appena la logica è stata sviluppata oltre il suo antico nucleo sillogistico, dovremo aspettarci di avere oltre alle forme ” Tutti gli uomini sono mortali ‘, ‘ Alcuni uomini sono mortali ‘, le forme numeriche ‘ Due uomini sono mortali ‘e’ Tre uomini sono mortali’, e i numeri dovranno essere inclusi nella logica formale.

Frege fu il primo a sostenere che la matematica faceva parte della logica, e a costruire una teoria dettagliata su tali basi.

Ma è entrato in collisione con le famose contraddizioni della teoria degli aggregati, e sembrava che le conseguenze contraddittorie potessero essere dedotte dalle sue proposizioni primitive. Whitehead e Russell sfuggirono a questo destino introducendo la Teoria dei Tipi , di cui è impossibile dare qui un resoconto adeguato. Ma una delle sue conseguenze deve essere spiegata se gli sviluppi successivi devono essere comprensibili.

Supponiamo di avere una serie di caratteristiche date come tutte le caratteristiche di un certo tipo, diciamo A, allora possiamo informarci su qualsiasi cosa, se ha una caratteristica del tipo A.

Se la possiede, questa sarà un’altra caratteristica di essa, e si pone la questione se questa caratteristica, la caratteristica di avere una caratteristica del tipo A , possa essere del tipo A, visto che presuppone la totalità di tali caratteristiche. La teoria dei tipi sostiene che non si può, e che possiamo solo sfuggire alla contraddizione dicendo che si tratta di una caratteristica di ordine superiore, e non può essere inclusa in qualsiasi asserzione riguardante tutte le caratteristiche di ordine inferiore. E più in generale, che ogni asserzione riguardante tutte le caratteristiche deve essere considerata totalmente nel senso d’un certo ordine . Questo sembrava di per sé plausibile, e anche l’unico modo per evitare certe contraddizioni che risultano dal confondere questi ordini di caratteristiche. Whitehead e Russell inoltre sostengono che le affermazioni sulle classi o aggregati sono da considerarsi veramente riguardanti le caratteristiche che definiscono le classi (una classe essendo sempre definita come la classe degli oggetti che possiedono una certa caratteristica), in modo che ogni affermazione su tutte le classi sarà effettivamente su tutte le caratteristiche, e sarà soggetta alle stesse difficoltà per quanto riguarda l’ordine di queste caratteristiche .

Tale teoria ci permette facilmente di evitare le contraddizioni della Teoria degli Aggregati , ma ha anche la sfortunata conseguenza di invalidare un tipo comune e importante di ragionamento matematico, il tipo di ragionamento con cui in ultima analisi stabiliamo l’esistenza del limite superiore di un aggregato, o l’esistenza del limite di una successione monotona limitata. Si è soliti dedurre queste proposizioni dal principio della sezione di Dedekind, che se i numeri reali sono divisi nel loro complesso in una classe superiore e una classe inferiore, ci deve essere un numero che le separa che appartiene o meno della classe superiore o il più grande della classe inferiore. Questo a sua volta è dimostrato dal considerare i numeri reali come sezioni dei razionali; le sezioni dei razionali sono un tipo particolare di classi dei razionali, e quindi una affermazione sui numeri reali sarà un’affermazione su un tipo di classi di razionali, cioè di una sorta di caratteristiche dei razionali, e le caratteristiche in questione dovranno essere limitate ad essere di un certo ordine.

Ora supponiamo di avere una aggregato E di numeri reali; questo sarà una classe di caratteristiche di razionali. ξ , il limite superiore di E, è definito come una sezione dei razionali che è la somma dei membri di E; cioè ξ è una sezione i cui membri sono tutti quei razionali che sono membri di qualsiasi membro di E, cioè, tutti quei razionali che hanno la caratteristica di avere una delle caratteristiche che che li rende membri della E. Così il limite superiore ξ è una sezione la cui caratteristica che lo definisce è quella di ordine superiore a quella dei membri di E. Quindi se tutti i numeri reali rappresentano tutte le sezioni dei razionali definiti da caratteristiche di un certo ordine, il limite superiore sarà, in generale, una sezione dei razionali definiti da una caratteristica di ordine superiore, e non sarà un numero reale.

Ciò significa che l’analisi , come ordinariamente intesa è interamente fondata su una sorta di fallace argomentazione, che se applicata in altri campi porta a risultati auto contraddittori.

Whitehead e Russell  hanno tentato di evitare questa sfortunata conseguenza della teoria dei tipi introducendo l’Assioma di Riducibilità, che asserisce che, per qualsiasi caratteristica di ordine superiore vi era una caratteristica equivalente di ordine inferiore – equivalente, nel senso che tutto ciò che ha l’una l’ha l’altra, in modo che esse definiscono la stessa classe. Il limite superiore, che abbiamo visto era una classe di razionali definita da una caratteristica di ordine superiore, verrebbe quindi ad essere definita anche dalla caratteristica equivalente di ordine inferiore, e sarebbe un numero reale. Purtroppo l’assioma non è certamente in sé evidente, e non vi è alcun motivo per supporlo vero. Se fosse vero questo sarebbe solo, per così dire, un felice accidente, e non sarebbe una verità logica come le altre proposizioni primitive .

Nella seconda edizione dei Principia Mathematica, il cui primo volume è stato pubblicato lo scorso anno, Russell ha mostrato come l’induzione matematica, per il quale l’Assioma di Riducibilità sembrava anche essere richiesto, può essere stabilita senza di esso, ma non offre alcuna speranza di successo simile con la Teoria dei Numeri Reali, per i quali il metodo ingegnoso utilizzato per l’insieme dei numeri non è disponibile. La questione è quindi lasciata in condizioni profondamente insoddisfacenti.

Ciò è stato sottolineato da Weyl, che ha pubblicato nel 1918 un libretto intitolato Das Kontinuum, in cui ha respinto l’Assioma di Riducibilità e ha accettato la conseguenza che l’analisi ordinaria era sbagliata. Ha mostrato , tuttavia, che i vari teoremi, come il Principio Generale di Convergenza di Cauchy, poteva ancora essere dimostrato.

Da allora Weyl ha cambiato il suo punto di vista e divenne un seguace di Brouwer, il leader di quella che viene chiamata la scuola intuizionista,la cui dottrina principale è la negazione della Legge del Terzo Escluso, che ogni proposizione è vera o falsa. 1 Questo è negato apparentemente perché è ritenuto impossibile conoscere un certo oggetto a priori, e altrettanto impossibile conoscerlo per esperienza, perché se non sappiamo né se sia vero o che sia falso, non possiamo verificare se sia vero o falso. Brouwer rifiuterebbe di essere d’accordo che o piove o non piove, a meno che non avesse guardato per vederlo.

1 Per esempio, come ha detto il Cavaliere Bianco: ‘ Tutti quelli che mi sentono cantare – o o gli vengono le lacrime agli occhi, oppure – ‘ . ‘ Altrimenti cosa ? ‘ Disse Alice, perché il Cavaliere aveva fatto una improvvisa pausa . ‘ Oppure no, sapete. ‘

Anche se è certamente difficile dare una spiegazione filosofica della nostra conoscenza delle leggi della logica, non posso persuadermi che non so per certo che la Legge del Terzo Escluso è vera; naturalmente, non può essere provata, anche se Aristotele ha dato il seguente ingegnoso argomento a suo favore. Se una proposizione è né vera né falsa, la chiameremo dubbia; ma allora se la Legge del Terzo Escluso fosse falsa, non sarebbe necessario che fosse dubbia o non dubbia, così avremo non solo tre possibilità, ma quattro, che è vera, che è falsa, che sia dubbia, e che non sia né vera, né falsa , né dubbia. E così via ad infinitum.

Ma se si rispondesse ‘ Perché no ? ‘, non ci sarebbe chiaramente più nulla da dire, e io non vedo come una base comune possa essere trovata da ciò per discutere la questione. I casi in cui Brouwer pensa la Legge del Terzo Escluso sia falsa sono quelli in cui, come dovrei dire, non potremmo dire se la proposizione sia vera o falsa; per esempio, 2√2 è razionale o irrazionale ? Non lo possiamo dire, ma Brouwer direbbe che non sia nessuno dei due. Non possiamo trovare due interi m , n modo che m/n = 2√2; quindi non è razionale: e non possiamo dimostrare che è impossibile trovare tali numeri interi; quindi, non è irrazionale.

Non riesco a vedere che la questione non è risolta dicendo che è o razionale o irrazionale , ma non possiamo dire quale sia. La negazione . La Legge del Terzo Escluso rende illegittimo il ragionamento chiamato dilemma, in cui viene mostrato che qualcosa segue da una ipotesi e anche dalla contraddizione di questa ipotesi, e si conclude che è vero incondizionatamente. Così Brouwer non è in grado di giustificare la gran parte della matematica comune, e le sue conclusioni sono ancora più scettiche rispetto a quelle della prima teoria di Weyl.

La seconda la teoria di Weyl è molto simile a quella di Brouwer, ma lui sembra negare la Legge del Terzo Escluso per motivi differenti, e in modo meno generale. Egli non sembra negare che ogni proposizione è vera o falsa, ma nega la legge derivata che o ogni numero ha una proprietà, o almeno un numero non l’ha. Spiega la sua negazione prima di tutto per i numeri reali nel modo seguente. Un numero reale è dato da una sequenza di numeri interi, per esempio, come decimale infinito; questa sequenza si può concepire come generata da una regola o da azioni successive di scelta. Se ora diciamo che c’è un numero reale o una sequenza avente una certa proprietà, questo può solo significare che abbiamo trovato una legge che ne fornisce una; ma se diciamo tutte le sequenze hanno una proprietà, noi intendiamo che l’avere la proprietà è parte dell’essenza di una sequenza, e quindi appartiene a sequenze che derivano non solo da regole ma da atti di libera scelta. Quindi non è vero che o tutte le sequenze hanno la proprietà o c’è una sequenza che non l’ha. Perché il significato di sequenza è differente nei due casi.

Ma non vedo perché non dovrebbe essere possibile usare la parola in modo coerente. Comunque sia, nulla di simile può essere addotto sull’insieme dei numeri che non sono definiti da sequenze, e così un altro motivo più fondamentale viene proposto per negare la Legge del Terzo Escluso. Il fatto è che le proposizioni generali esistenziali non sono affatto realmente proposizioni. Se dico ‘ 2 è un numero primo ‘ , questo è un giudizio vero e autentico che asserisce un fatto; ma se io dico ‘ C’è un numero primo ‘ o ‘ Tutti i numeri sono primi ‘ , io non esprimo affatto un giudizio. Se Weyl dice, la conoscenza è un tesoro, la proposizione esistenziale è un documento che attesta l’esistenza di un tesoro, ma senza dire dove esso si trova.

Possiamo solo dire ‘ Vi è un numero primo ‘ quando abbiamo precedentemente detto ‘Questo è un numero primo ‘ e dimenticato o scelto di ignorare quale particolare numero fosse. Quindi non è mai lecito dire ‘ C’è una così e così ‘ se non siamo in possesso di una costruzione per trovarne realmente una. Di conseguenza, la matematica deve essere considerevolmente modificata; per esempio, è impossibile avere una funzione di una variabile reale con più di un numero finito di discontinuità. Sul fondamento su cui poggia questo, vale a dire il punto di vista che le proposizioni esistenziali e generali non sono giudizi veri, tornerò più avanti.

Ma prima devo dire qualcosa del sistema di Hilbert e dei suoi seguaci, che mira a porre fine a tale scetticismo una volta per tutte. Questo viene fatto per quanto riguarda matematica superiore come manipolazione di simboli privi di significato secondo regole fisse. Iniziamo con alcune righe di simboli chiamati assiomi: da questi possiamo ricavarne altri sostituendo alcuni simboli chiamati costanti con gli altri chiamati variabili, e procedendo dalla coppia di formule p, se p allora q, alla formula q.

La matematica in senso proprio è pertanto considerata come una sorta di gioco, giocato con segni senza significato sulla carta un po’ come il filetto; ma oltre a questo ci sarà un altro soggetto chiamato metamatematica, che non è privo di significato, ma si compone di affermazioni vere circa la matematica, che ci dice che questa o quella formula può o non può essere ottenuta dagli assiomi secondo le regole di deduzione. Il teorema più importante di metamatematica è che non è possibile dedurre una contraddizione dagli assiomi, dove per contraddizione si intende una formula con un certo tipo di forma, che può essere assunta essere 0 ≠ 0 . Comprendo che Hilbert ha dimostrato questo, e ha così eliminato la possibilità di contraddizioni e lo scetticismo basato su di esse.

Ora, qualunque altra cosa un matematico stia facendo, sta certamente facendo segni sulla carta , e così questo punto di vista è costituito da nient’altro che verità; ma è difficile supporre tutta la verità. Ci deve essere una ragione per la scelta di assiomi, e qualche ragione per cui il segno particolare 0 ≠ 0 è considerato con tale orrore. Questo ultimo punto può tuttavia essere spiegato dal fatto che gli assiomi permetterebbero di dedurre qualsiasi cosa da 0 ≠ 0, in modo che se 0 ≠ 0 potesse essere provato, qualsiasi cosa potrebbe essere dimostrata, il che porrebbe fine al gioco per sempre, il che sarebbe molto noioso per i posteri. Inoltre, ci si può chiedere se sia davvero possibile dimostrare che gli assiomi non portino a contraddizione, dal momento che nulla può essere dimostrato a meno che si adottino alcuni principi per certi e assunti in modo che non portino a contraddizione. Questa obiezione è ammessa, ma si è sostenuto che i principi utilizzati nella prova metamatematica che gli assiomi della matematica non portano a contraddizioni, sono così ovviamente veri che nemmeno gli scettici possano dubitarne. Perché tutti questi non si riferiscono a cose astratte o infinitamente complesse, ma a segni sulla carta, e anche se qualcuno può dubitare che una sottoclasse di un certo tipo di serie infinite debba avere un primo termine, nessuno può dubitare che se = si verifica in una pagina, vi è un punto della pagina dove questo si verifica per la prima volta.

Ma, concedendo tutto questo, deve comunque essere domandato quale uso o valore vi sia in questo gioco che il matematico gioca, se sia davvero un gioco e non una forma di conoscenza; e l’unica risposta che viene data è che alcune formule del matematico hanno o possono essere assegnati significati, e che se queste possono essere provate nel sistema simbolico il loro significato sarà vero.

Perché Hilbert condivide il parere di Weyl che le proposizioni generali ed esistenziali sono prive di significato, in modo che le uniche parti della matematica che significano qualcosa sono le asserzioni particolari sugli interi finiti, come ‘ 47 è un numero primo ‘ e congiunzioni e disgiunzioni di un numero finito di tali affermazioni come ‘ C’è un numero primo tra 50 e 100 ‘ , che può essere considerata nel senso ‘ o ​​51 è un numero primo o 52 è un numero primo, ecc. , fino a, o 99 è un numero primo ‘. Ma, come tutte queste proposizioni della semplice aritmetica possono essere facilmente dimostrate senza utilizzare affatto la matematica superiore, questo uso per questo non può essere di grande importanza . E sembra che, anche se il lavoro di Hilbert fornisce un nuovo e potente metodo, che egli ha applicato con successo al problema del Continuo, come filosofia della matematica difficilmente può essere considerata adeguata .

Vediamo allora che queste autorità, per quanto grandi siano le differenze tra di loro, sono d’accordo che l’analisi matematica , come ordinariamente insegnata non possa essere considerata come un insieme di verità, ma è o falsa o al massimo un gioco senza significato con dei segni sulla carta; e questo significa, penso , che i matematici in questo paese dovrebbe porre una certa attenzione alle loro opinioni, e cercare di trovare il modo di affrontare la situazione .

Consideriamo quindi che tipo di difesa può essere fatta per la matematica classica , e la filosofia di Russell su di essa.

Dobbiamo iniziare con quella che sembra essere la questione cruciale, il significato di proposizioni generali ed esistenziali, su cui Hilbert e Weyl hanno sostanzialmente la stessa opinione. Weyl dice che una proposizione esistenziale non è un giudizio, ma un’astrazione di un giudizio, e che una proposizione generale è una sorta di assegno che può essere incassato per un vero e proprio giudizio quando si verifica un caso particolare di questa proposizione.

Hilbert, meno metaforicamente, dice che sono proposizioni ideali, e svolgono la stessa funzione in logica come gli elementi ideali in varie branche della matematica. Egli spiega la loro origine in questo modo; una vera e propria proposizione definita come ‘Esiste un numero primo tra 50 e 100’ , noi la scriviamo ‘ Vi è un numero primo che è superiore a 50 e inferiore a 100 ‘ , che sembra contenerne un parte , ‘ 51 è un numero primo , o 52 è un numero primo , ecc. , ad inf., ‘ e così sarebbe una somma logica infinita, che, come una somma algebrica infinita, è prima di tutto senza senso, e le può essere solo dato un significato secondario a determinate condizioni di convergenza. Ma l’introduzione di queste forme senza significato semplifica così le regole di inferenza che è conveniente serbarle, considerandole come ideali, per ciò in cui un teorema coerenza debba essere provato.

In questa punto di vista della questione mi sembrano esserci diverse difficoltà. In primo luogo è difficile vedere quale uso per questi ideali si possa supporre vi sia; perché la matematica propriamente detta sembra essere ridotta all’aritmetica elementare, non essendo neppure ammessa l’algebra, perché l’essenza dell’algebra è quello di fare affermazioni generali. Ora, qualsiasi formula di aritmetica elementare può essere facilmente provata e dimostrata senza l’utilizzo della matematica superiore, che, se se ne suppone l’esistenza solo per la sola aritmetica, sembra del tutto inutile. In secondo luogo, è difficile vedere come la nozione di un ideale può respingere la possibilità di una conoscenza generale. Perché la giustificazione degli ideali sta nel fatto che tutte le proposizioni che non contengono ideali possono essere dimostrate per mezzo di essi che sono vere. E così la metamatematica di Hilbert , che è accettato essere genuina verità, è destinata a consistere di proposizioni generali su tutte le possibili dimostrazioni matematiche, che , anche se ogni dimostrazione è una costruzione finita, potrebbero essere in numero infinito. E se, come dice Weyl, una proposizione esistenziale è un documento che attesta l’esistenza di un tesoro di conoscenza, ma non dice dove si trova, non vedo come si spiega l’utilità di un tale documento, se non presupponendo il suo destinatario capace della conoscenza esistenziale che c’è un tesoro da qualche parte.

Inoltre, anche se il ragionamento di Hilbert potesse essere accettato finché limitiamo la nostra attenzione alla matematica, non vedo come potrebbe essere reso plausibile per quanto riguarda la conoscenza in generale. Quindi, se ti dico ‘ possiedo un cane’, sembra che tu ottenga la conoscenza di un fatto; banale, ma sempre conoscenza.

Ma ‘ io possiedo un cane ‘ deve essere messo in simbolismo logico come ‘ Esiste qualcosa che è un cane e posseduta da me ‘ , così che la conoscenza è la conoscenza di una proposizione esistenziale, che copre la possibile infinita gamma degli ‘oggetti’. Ora si potrebbe forse sostenere che la mia conoscenza che possiedo un cane derivi nel certo modo che Hilbert descrive dal mio scindere non correttamente quello che sembra essere parte di una proposizione finita, come ‘ Rolf è un cane e posseduto da me ‘, ma la vostra conoscenza non può assolutamente essere spiegata in questo modo, perché la proposizione esistenziale esprime tutto ciò che hai sempre conosciuto, e probabilmente tutto quello che sempre conoscerai sulla questione.

Infine, anche i fatti apparentemente particolari dell’aritmetica semplice aritmetica mi sembrano essere in verità generali. Perché cosa sono questi numeri, che cosa riguardano ? Secondo Hilbert segni sulla carta costruita con i segni 1 e + .

Ma questo ragionamento mi sembra inadeguato, perché se avessi detto ‘ ho due cani ‘, anche questo ti direbbe qualcosa; tu capiresti la parola ‘ due ‘, e l’intera frase potrebbe essere resa qualcosa come ‘ ci sono x e y , che sono i miei cani e non sono identici uno con l’altro ‘. Questa affermazione sembra coinvolgere l’ idea di esistenza, e di non riguardare segni sulla carta; così che io non vedo che possa essere seriamente sostenuto che un numero cardinale che risponde alla domanda ‘ Quanti ? ‘ sia solo un segno sulla carta. Se allora prendiamo uno di questi singoli fatti aritmetici, come 2 + 2 = 4, questo mi sembra che significhi ‘ Se i p sono in numero di due , e i q anche, e nulla è sia contestualmente un p ed un q, allora il numero di cose che sono o p o q sono quattro.’

Perché questo è il senso in cui dobbiamo prendere 2 + 2 = 4 , al fine di utilizzare, come noi facciamo, per dedurre dal fatto che ho due cani e due gatti ‘ che ho quattro animali domestici. Questo fatto apparentemente particolare, 2 + 2 = 4, quindi contiene diversi elementi di generalità ed esistenza, in primo luogo perché i p e q sono caratteristiche assolutamente generali, e in secondo luogo perché le parti della proposizione, come ‘ se i p sono in numero di due ‘, coinvolgiamo, come abbiamo visto, l’ idea di esistenza.

È possibile che l’intera asserzione che proposizioni generali ed esistenziali non possono esprimere giudizi veri o che la conoscenza è puramente verbale; che ciò sia semplicemente deciso per sottolineare la differenza tra proposizioni particolari e generali rifiutando di utilizzare le parole giudizio e conoscenza in connessione con la quest’ultima. Questo, tuttavia, sarebbe un peccato, perché tutte le nostri associazioni naturali con le parole giudizio e conoscenza si adattano alle proposizioni generali ed esistenziali così come fanno con quelle particolari; perché in entrambi i casi possiamo sentire maggiore o minore grado di convinzione sulla questione, e in entrambi i casi possiamo essere in un qualche senso nel giusto o in errore. E il suggerimento che implica, che la conoscenza generale e esistenziale esiste semplicemente per il gusto della conoscenza individuale, mi sembra del tutto falso. Nel teorizzare ciò quello che noi principalmente ammiriamo è la generalità, e nella vita ordinaria può essere abbastanza sufficiente conoscere la  proposizione esistenziale che ci sia un toro da qualche parte in un certo campo, e non ci può essere alcun ulteriore vantaggio nel sapere che è questo toro qui nel campo, anziché semplicemente un toro da qualche parte .

Come allora spieghiamo le proposizioni generali ed esistenziali ? Non credo che possiamo fare di meglio che accettare il punto di vista che è stato proposto da Wittgenstein come conseguenza della sua teoria delle proposizioni in generale. Egli le spiega facendo riferimento a ciò che può essere chiamato proposizioni atomiche, che asseriscono il più semplice tipo possibile di fatto, e può essere espresso senza usare nemmeno implicitamente eventuali termini logici come o , se , tutti, alcuni . ‘Questo è rosso ‘ è forse un esempio di una proposizione atomica. Supponiamo ora che abbiamo, diciamo, n proposizioni atomiche; per quanto riguarda la loro verità o falsità , ci sono al massimo 2n possibilità mutualmente esclusive.

Chiamiamo queste le possibilità di verità delle n proposizioni atomiche; allora possiamo prendere qualsiasi sotto – insieme di queste possibilità di verità e affermare che esiste una possibilità di questo sotto – insieme, che è, in realtà, soddisfatta. Possiamo scegliere questo sotto-insieme di possibilità in cui affermare la verità risulta in

Schermata 2014-02-04 alle 11.46.42

 

modi: e queste saranno tutte le proposizioni che possiamo costruire su queste n proposizioni atomiche. Così, per fare un semplice esempio, ‘ Se p , allora q ‘ esprime accordo con le tre possibilità, che sia p sia q siano vere, che p è falso e q vero, e che p è falso e q falso, e nega la rimanente possibilità che p è vero e q falso.

Si può facilmente vedere che da questo punto di vista c’è una ridondanza in tutti notazioni logiche ordinarie, perché possiamo scrivere in molti modi diversi ciò che è essenzialmente la stessa proposizione, esprimendo accordo e disaccordo con gli stessi insiemi di possibilità.

Wittgenstein sostiene che tutte le proposizioni esprimono accordo e disaccordo con possibili verità delle proposizioni atomiche, o , come diciamo, sono funzioni verità di proposizioni atomiche; anche se spesso le proposizioni atomiche in questione non vengono enumerate, ma definite come tutti i valori di un certa funzione proposizionale. Così la funzione proposizionale ‘ x è rosso ‘ determina un insieme di proposizioni che sono i suoi valori, e noi possiamo asserire che tutti o almeno uno di questi valori sono veri nel dire ‘ Per tutte le x , x è rosso ‘ e ‘ C’è una x tale che x è rossa ‘ , rispettivamente. Vale a dire, se si potessero enumerare i valori di x come a, b ​​. . . z , ‘ Per tutte le x , x è rosso ‘ sarebbe equivalente alla proposizione ‘ a è rosso e b è rosso . . . e z è rosso’. E’ chiaro , naturalmente, che lo stato d’animo di un uomo che usa una espressione differisce per molti aspetti da quella di un uomo che usa l’altra, ma quello che potrebbe essere chiamato il significato logico della dichiarazione, il fatto che si afferma essere, è lo stesso nei due casi.

E’ impossibile discutere adesso tutti gli argomenti che potrebbero essere usati contro questo punto di vista, ma qualcosa deve essere detto a proposito della tesi di Hilbert, che se la variabile ha un numero infinito di valori, se, cioè, ci sono un infinito numero di oggetti nel mondo di tipo logico in questione, abbiamo qui una somma logica infinita o un prodotto infinito che, come una somma algebrica infinita o un prodotto, è dall’inizio priva di senso e le può essere dato un significato solo in modo indiretto. Questo mi sembra poggiare su una falsa analogia; la somma logica di un insieme di proposizioni è la proposizione di cui almeno un termine dell’insieme è vero, e non sembra avere importanza se l’insieme è finito o infinito.

Non è come una somma algebrica la cui finitezza è essenziale, dal momento che questa viene estesa passo dopo passo dalla somma di due termini .

Dire che tutto ciò che coinvolge potenzialmente un’infinito di qualsiasi tipo deve essere priva di significato è dichiarare in anticipo che una vera teoria degli aggregati è impossibile.

Oltre ad una semplice considerazione di proposizioni esistenziali e generali, la teoria di Wittgenstein risolve un’altra questione di primaria importanza spiegando con precisione la natura peculiare delle proposizioni logiche. Quando Russell prima dice che la matematica potrebbe essere ridotta alla logica, il suo punto di vista della logica era che consisteva di tutte le assolutamente generali proposizioni vere, proposizioni  cioè, che non contenevano nessuna costante materiale (in contrapposizione a quelle logiche). In seguito ha abbandonato questo punto di vista, perché era chiaro che era richiesta qualche ulteriore caratteristica oltre alla generalità. Perché sarebbe possibile descrivere tutto il mondo, senza menzionare alcuna cosa particolare, e chiaramente qualcosa potrebbe per caso essere vera di qualsiasi cosa che non avesse il carattere di necessità che appartiene alle verità della logica.

Se, poi, vogliamo capire quale logica, e così secondo il punto di vista di Russell quale matematica sia, dobbiamo cercare di definire questo ulteriore caratteristica che può essere vagamente chiamata necessità, o da un altro punto di vista tautologia. Ad esempio, ‘ p è o vero o falso ‘ può essere considerata sia una verità necessaria, o come una semplice tautologia . Questo problema viene risolto incidentalmente dalla teoria delle proposizioni di Wittgenstein. Le proposizioni, abbiamo detto, esprimono accordo e disaccordo con le possibilità di verità di proposizioni atomiche. Date n proposizioni atomiche, ci sono 2n possibilità di verità , e possiamo essere d’accordo con qualsiasi insieme di questi e in disaccordo con le restanti.

Ci saranno poi due casi estremi, quello in cui siamo d’accordo con tutte le possibilità, e in disaccordo con nessuno , l’altra in cui siamo d’accordo con nessuna e in disaccordo con tutte. La prima si chiama una tautologia, l’ultima una contraddizione.

La tautologia semplice è ‘ p o non p’: una tale affermazione non aggiunge nulla alla nostra conoscenza , e in realtà non asserisce affatto un fatto; ma è, per così dire , non una vera proposizione, ma un caso degenere . E si può trovare che tutte le proposizioni della logica sono in questo senso tautologie; e questa è la loro caratteristica distintiva. Tutte le proposizioni primitive nei Principia Mathematica sono tautologie, tranne l’Assioma di Riducibilità, e le regole di deduzione sono tali che da tautologie possono essere dedotte solo tautologie, in modo che se non fosse per quella magagna, l’intera struttura si comporrebbe di tautologie. Siamo dunque portati indietro alla vecchia difficoltà, ma è possibile sperare che anche questo può essere rimosso da alcune modifiche della Teoria dei Tipi che possono derivare dall’analisi di Wittgenstein.

Una teoria dei tipi ci deve consentire di evitare le contraddizioni; la teoria di Whitehead e Russell consisteva in due parti distinte, accomunate solo dal fatto di essere sia dedotte dal piuttosto vago ‘Principio del Circolo Vizioso’. La prima parte distingueva le funzioni proposizionali in base ai loro argomenti, cioè le classi in base ai loro membri; la seconda parte ha creato la necessità dell’Assioma di Riducibilità con il richiedere ulteriori distinzioni tra ordini di funzioni con lo stesso tipo di argomento.

Possiamo facilmente dividere le contraddizioni secondo quale parte della teoria è richiesta per la loro soluzione, e quando abbiamo fatto questo troviamo che questi due insiemi di contraddizioni si distinguono anche in un altro modo. Quelli risolte dalla prima parte della teoria sono tutte puramente logiche; quelle che non coinvolgono idee ma quelle di classe, relazione e numero, potrebbero essere poste secondo la logica simbolica, e si verificano nello sviluppo effettivo della matematica quando viene diretta nella giusta direzione.

Tali sono la contraddizione del più grande ordinale, e quello della classe di classi che non sono membri di se stessi .

Per quanto riguarda la soluzione di questi Russell sembra insostituibile.

D’altra parte, nessuna di quelle del secondo insieme di contraddizioni sono puramente logiche o matematiche, ma tutte coinvolgono qualche termine psicologico, come significare, definire, nominare o affermare. Essi non si verificano nella matematica, ma nel pensiero sulla matematica; così che è possibile che non derivano da un errore di logica o di matematica, ma dall’ambiguità nelle nozioni psicologiche o epistemologiche del significare e dell’asserire. Infatti, sembra che questo dovrebbe essere il caso, in quanto l’esame ci convince rapidamente che il termine psicologico è in ogni caso essenziale per la contraddizione, che non potrebbe essere costruita senza introdurre la relazione delle parole con il loro significato o qualche equivalente.

Se ora proviamo ad applicare al problema la teoria di generalità di Wittgenstein, possiamo, credo , abbastanza facilmente costruire una soluzione in tal senso. Spiegare questo adeguatamente richiederebbe un articolo a parte, ma può essere possibile darne un’idea in poche parole. Per la teoria di Wittgenstein una proposizione generale è equivalente ad una combinazione dei suoi casi, così che il tipo di fatto asserito da una proposizione generale non è sostanzialmente da quanto affermato da una combinazione di proposizioni atomiche. Ma il simbolo per una proposizione generale indica il suo significato in un modo diverso da quello in cui il simbolo di una proposizione elementare lo indica, perché quest’ultimo contiene i nomi di tutte le cose che lo riguardano, mentre il simbolo della proposizione generale contiene solo una variabile che sta per tutti i suoi valori ad un tempo. In modo che sebbene i due tipi di simbolo possano significare la stessa cosa, i sensi del significato in cui essi lo indicano devono essere diversi. Quindi gli ordini di proposizioni non saranno caratteristici di ciò che si intende, che è solo rilevante in matematica, ma dei simboli utilizzati per significarlo.

Le proposizioni del primo ordine saranno un po’ come le parole parlate; la stessa parola può essere scritta e parlata, e la stessa proposizione può teoricamente essere espressa in diversi ordini.

Applicando questo mutatis mutandis alle funzioni proposizionali, troviamo che le distinzioni tipiche tra funzioni con gli stessi argomenti non si applicano a ciò che significano, ma alla relazione di significato tra simbolo e oggetto significato. Di conseguenza, esse possono essere trascurate in matematica, e la soluzione delle contraddizioni può essere salvaguardata in una forma leggermente modificata, perché le contraddizioni pertinenti qui tutte hanno a che fare con la relazione di significato.

In questo modo penso che sia possibile sfuggire alla difficoltà dell’Assioma di Riducibilità, e rimuovere le varie altre obiezioni più filosofiche, che sono state fatte da Wittgenstein, riabilitando così il ragionamento generale dei Foundations of Mathematics date da Whitehead e Russell. Ma rimane comunque un punto importante in cui la teoria risultante deve essere considerata insoddisfacente, e che è in connessione con l’Assioma dell’Infinito .

Secondo gli autori dei Principia Mathematica non c’è modo di dimostrare che ci sono un numero infinito di oggetti in qualsiasi tipo logico; e se non c’è un numero infinito di qualsiasi tipo, l’intera teoria degli aggregati infiniti, serie, calcolo differenziale e analisi in generale cade.

Secondo la loro teoria di numero, se ci fossero solo dieci particolari, nel senso di numero appropriato a quei particolari tutti i numeri maggiori di dieci sarebbero identici alla classe nulla e così identici tra loro. Naturalmente ci sarebbero 210 classi di particolari, e quindi il successivo tipo di numero sarebbe certamente fino al 210, e così prendendo un tipo abbastanza elevato può essere raggiunto qualsiasi numero finito.

Ma sarà impossibile in questo modo raggiungere ℵ0.

Ci sono vari suggerimenti naturali per uscire da questa difficoltà, ma tutti questi sembrano portare a ricostituire la contraddizione del più grande ordinale.

Sembrerebbe quindi impossibile proporre l’analisi se non come conseguenza dell’Assioma dell’Infinito; né posso vedere che questo possa essere in generale discutibile, perché ci sarebbe poco senso dimostrare proposizioni su serie infinita a meno che questi oggetti esistessero. E d’altra parte la matematica di un mondo con un dato numero finito di membri è di scarso interesse teorico, in quanto tutti i suoi problemi possono essere risolti con un procedimento meccanico .

Ma una difficoltà mi sembra sorgere in relazione alle proposizioni elementari nella teoria dei numeri che possono essere dimostrati soltanto con metodi trascendentali, come la valutazione di Dirichlet della classe di numeri di forme quadratiche. Consideriamo un tale risultato della forma ‘ Ogni numero ha la proprietà p’ , dimostrata con metodi trascendentali solo per il caso di un mondo infinito; oltre a questo, se sapessimo che il mondo conteneva ad esempio, 1.000.000 di oggetti, potremmo dimostrarlo esaminando i numeri fino a 1.000.000. Ma supponiamo che il mondo è finito e ancora non conosciamo un qualsiasi limite superiore alla sua dimensione, allora siamo senza alcun metodo affatto di dimostrarlo.

Si potrebbe pensare che avremmo potuto sfuggire a questa conclusione dicendo che, sebbene non possa esistere nessun aggregato infinito, la nozione di un aggregato infinito non è auto- contraddittoria, e quindi ammissibile in matematica. Ma penso che questo suggerimento è inutile, per tre motivi: in primo luogo, appare come risultato di qualche piuttosto difficile, ma penso conclusivo, ragionamento di Wittgenstein che , se accettiamo la sua teoria delle proposizioni generali ed esistenziali (ed era solo il modo con cui potremmo sbarazzarci dell’Assioma di Riducibilità), ne consegue che, se non esistesse nessun insieme infinito il concetto di tale aggregato sarebbe auto-contraddittorio; in secondo luogo, tuttavia, potrebbe essere, è generalmente accettato che l’unico modo di dimostrare che certi postulati sono compatibili, che sia attraverso un teorema di esistenza che dimostra che in realtà esiste e non semplicemente che potrebbe esistere un sistema del genere postulato; in terzo luogo, anche se fosse scontato che l’idea di un aggregato infinito non sia auto-contraddittoria, dovremmo fare grandi modifiche nel nostro sistema di logica, al fine di convalidare le prove dipendenti dalle costruzioni in termini di oggetti che potrebbero esistere, ma non esistono. Il sistema dei Principia sarebbe del tutto inadeguato. Cosa allora si può fare ? Possiamo cercare di alterare le prove di tali proposizioni, e potrebbe quindi essere interessante cercare di sviluppare una nuova matematica senza l’ Assioma dell’Infinito; i metodi da adottare potrebbero assomigliare a quelli di Brouwer e Weyl. Tali autorità, tuttavia, mi sembrano essere scettiche circa le cose sbagliate nel respingere non l’Assioma dell’Infinito, ma la chiaramente tautologica Legge del Terzo Escluso. Ma non mi sento affatto sicuro che ogni cosa possa essere realizzata su queste linee di pensiero che sostituirebbero gli argomenti trascendentali attualmente impiegati.

Un’altra possibilità è che dovrebbe essere adottato il metodo generale di Hilbert, e che dovremmo usare la sua prova che nessuna contraddizione può essere dedotta dagli assiomi della matematica includendo un equivalente dell’Assioma dell’Infinito. Possiamo quindi argomentare così: se un dato numero ha o non ha la proprietà p può sempre essere trovato mediante il calcolo. Questo ci darà una prova formale del risultato per questo numero particolare, che non può contraddire il risultato generale dimostrato dall’Assioma dell’Infinito che deve quindi essere valido.

Ma questo argomento sarà ancora incompleto, perché si applicherà solo ai numeri che possono essere indicati con simboli nel nostro sistema.

E se stiamo negando l’ Assioma dell’Infinito, ci sarà un limite superiore al numero di segni che possono essere fatti sulla carta, dal momento che lo spazio e il tempo saranno finiti, sia in estensione sia in divisibilità, in modo che alcuni numeri saranno troppo grandi per essere scritti, e ad essi la prova non si applicherà. E questi numeri essendo finiti saranno esistenti in un tipo sufficientemente alto, e la teoria di Hilbert non ci aiuterà a dimostrare che essi hanno la proprietà p.

Un altra grave difficoltà circa l’ Assioma dell’Infinito è che, se è falso, è difficile vedere come l’analisi matematica possa essere utilizzata in fisica, che sembra richiedere alla sua matematica di essere vera e non solo di seguire da ipotesi potenzialmente false. Ma discutere questo in maniera adeguata ci porterebbe troppo lontano.

Su come portare avanti la questione ulteriormente, non ho alcun suggerimento da fare; tutto quello che spero è di aver messo in chiaro che l’argomento è molto difficile, e che le principali autorità sono molto scettiche sul fatto che la matematica pura come ordinariamente pensata possa essere logicamente giustificata, perché Brouwer e Weyl dicono che non può, e Hilbert propone soltanto di giustificarla come un gioco con segni senza senso sulla carta. D’altra parte, sebbene il mio tentativo di ricostruzione del punto di vista di Whitehead e Russell superi molte delle difficoltà, credo che sia impossibile considerarla del tutto soddisfacente.

Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: