Principia Mathematica cap. 5 – di The Foundation of Mathematics di Frank P. Ramsey

17 Mag

Frank_Plumpton_RamseyRiporto di seguito la mia traduzione del quinto capitolo della prima parte delle opere di F.P. Ramsey,  come pubblicate in The Foundation of Mathematics a cura di R.B. Braithwaite nella sezione I capitolo IV, con il titolo Gli Assiomi.

V. GLI ASSIOMI

Ho mostrato negli ultimi due capitoli come porre rimedio ai tre i principali difetti di Principia Mathematica come fondamento della matematica. Ora dobbiamo considerare due importanti problemi che rimangono che riguardano l’Assioma dell’Infinito e l’Assioma moltiplicativo. L’introduzione di questi due assiomi non è così grave come quello dell’Assioma di Riducibilità, perché non sono di per sé presupposti discutibili, e perché la matematica è in gran parte indipendente dall’Assioma moltiplicativo, e si può ragionevolmente supporre che possa richiedere un Assioma dell’Infinito. Tuttavia, dobbiamo cercare di determinare lo stato logico di tali assiomi – se sono tautologie o proposizioni empiriche o addirittura contraddizioni. In questa indagine comprenderò, per curiosità, l’Assioma di Riducibilità, anche se, dal momento che abbiamo rinunciato ad esso, in realtà non ci interessa più.

Cominciamo con l’Assioma di Riducibilità, che afferma che tutte le funzioni di particolari ottenute per generalizzazione di matrici sono equivalenti a funzioni elementari. Nel discuterlo si presentano molti casi, dei quali io considero solo il più interessante, quello cioè in cui il numero di particolari e di funzioni atomiche di particolari sono entrambi infiniti. In questo caso l’assioma è una proposizione empirica, vale a dire, né una tautologia né una contraddizione, e quindi non può essere né affermata né negata dalla logica o matematica. Questo è mostrato come segue: –

( a) L’assioma non è una contraddizione, ma può essere vero.

Perché è chiaramente possibile che ci potrebbe essere una funzione atomica che definisce ogni classe di particolari. In tal caso ogni funzione sarebbe equivalente non solo a una funzione elementare ma a una funzione atomica.

( b) L’assioma non è una tautologia, ma può essere falso.

Perché è chiaramente possibile che vi sia una infinità di funzioni atomiche, e un particolare a tale che qualsiasi funzione atomica prendiamo c’è un altro particolare che si accorda con a in relazione a tutte le altre funzioni, ma non per quanto riguarda la funzione di assunta.  Allora (φ) . φ ! x ≣φ ! a non potrebbe essere equivalente a qualsiasi funzione elementare di x.

Avendo così dimostrato che l’Assioma di Riducibilità non è né una tautologia né una contraddizione, cerchiamo di procedere con l’Assioma moltiplicativo. Questo afferma che, data una qualsiasi classe K esistente delle classi esistenti, c’è una classe che ha esattamente un elemento in comune con ogni membro di K. Se per ‘classe’ intendiamo, come faccio io , qualsiasi insieme di oggetti omogenei nel tipo non necessariamente definibile con una funzione che non sia una pura funzione in estensione, l’Assioma moltiplicativo mi sembra la più evidente tautologia. Non vedo come questo possa essere oggetto di ragionevole dubbio, e penso che non sarebbe mai stato messo in dubbio se non fosse stato male interpretato. Perché il significato che ha in Principia, dove la classe la cui esistenza esso asserisce deve essere una classe definibile con una funzione proposizionale del genere che si verifica in Principia, diventa veramente dubbio e, come l’Assioma di Riducibilità, né una tautologia né una contraddizione. Dimostriamo questo mostrando

( a) Non è una contraddizione.

Perché è chiaramente possibile che ogni classe (nel mio senso ) dovrebbe essere definita da una funzione atomica, in modo che, dal momento che è inevitabile che ci sia una classe nel mio senso avente un membro in comune con ciascun membro di K, questa sarebbe anche una classe nel senso dei Principia.

( b) Non è una tautologia.

Per dimostrare questo abbiamo bisogno di prendere non l’Assioma moltiplicativo in sé, ma il teorema equivalente che due classi qualsiasi sono commensurabili.

Si consideri poi il seguente caso: non ci siano funzioni atomiche di due o più variabili, e solo le seguenti funzioni atomiche di una variabile: –

Associato a ciascun particolare a ad una funzione atomica φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 tale che

φa x. ≣x . x = a

Un’altra funzione atomica fSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 tale che Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( fx ) , Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( ~ fx) sono entrambe classi infinite.

Allora non c’è una relazione biunivoca, nel senso dei Principia, aventi una Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( fx ) o Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( ~ fx ) per dominio, e quindi queste due classi sono incommensurabili. Da qui l’Assioma moltiplicativo, interpretato come è nei Principia, non è una tautologia, ma è dubbio dal punto di vista della logica. Ma, come l’ho interpretato, è una tautologia evidente, e questo può essere affermato come un ulteriore vantaggio nella mia teoria. Si potrebbe obiettare che, se si tratta di una tautologia, dovrebbe essere in grado di essere provato, cioè dedotto da più semplici proposizioni primitive che sono sufficienti per la deduzione del resto della matematica. Ma non mi sembra affatto improbabile che potrebbe esistere una tautologia, che potrebbe essere posta in termini finiti, la cui dimostrazione sarebbe, tuttavia, infinitamente complicata e quindi impossibile per noi. Inoltre, non possiamo aspettarci di dimostrare l’Assioma moltiplicativo nel mio sistema, perché il mio sistema è formalmente la stesso di quello dei Principia , e l’Assioma moltiplicativo ovviamente non può essere dimostrato nel sistema dei Principia, in cui non è una tautologia.

Veniamo ora all’Assioma dell’Infinito, di cui ancora una volta il mio sistema e quello dei Principia danno diverse interpretazioni. Nei Principia, a causa della definizione dell’identità ivi utilizzato, l’assioma significa che esistono un’infinità di particolari distinguibili, che è una proposizione empirica; dal momento che, anche supponendo che ci sia un’infinità di particolari, la logica non può determinare se esistendo una infinità di questi non ci siano due di questi che abbiano le loro proprietà in comune; ma nel mio sistema, che ammette funzioni di estensione, l’Assioma dell’Infinito afferma semplicemente che ci sono un numero infinito di particolari. Questo sembra ugualmente essere una mera questione di fatto; ma la profonda analisi di Wittgenstein ha dimostrato che questa è un’illusione, e che, se questo significa qualcosa, deve essere o una tautologia o una contraddizione. Questo sarà molto più facile da spiegare se cominciamo non con l’infinito, ma con un numero un po’ più piccolo.

Cominciamo con ‘ Esiste un particolare ‘ , o scrivendo nel modo più semplice possibile, in notazione logica,

‘ ( ∃ x ) . x = x ‘

Ora che cosa è questa proposizione? E ‘ la somma logica delle tautologie x = x per tutti i valori di x , ed è quindi una tautologia. Ma supponiamo che non ci siano particolari, e quindi nessun valore di x, allora la formula di cui sopra è una assoluto nonsenso. Quindi, se questo significa qualcosa, deve essere una tautologia.

Inoltre prendiamo ‘ Ci sono almeno due individui ‘ o

‘ ( ∃ x , y ) . x ≠ y ‘ .

Questa è la somma logica delle proposizioni x ≠ y , che sono tautologie se x e y hanno valori diversi, contraddizioni se hanno lo stesso valore. Perciò, è la somma logica di un insieme di tautologie e contraddizioni; e quindi una tautologia se uno qualsiasi degli insiemi è una tautologia, ma altrimenti una contraddizione. Cioè, è una tautologia se x e y possono assumere valori diversi (ad esempio se ci sono due particolari), ma altrimenti una contraddizione.

Una piccola riflessione renderà chiaro che questo non riguarda il caso solo di 2, ma di qualsiasi altro numero, finito o infinito. Cioè, ‘ Ci sono almeno n particolari’ è sempre o una tautologia o una contraddizione, mai una vera e propria proposizione. Non possiamo, dunque, dire nulla circa il numero di particolari, dal momento che, quando tentiamo di farlo, non riusciremmo mai a costruire una vera proposizione, ma soltanto una formula che è o tautologica o auto – contraddittoria. Il numero di particolari può, nella frase di Wittgenstein, essere solo indicato, e sarà dimostrato dal fatto che le formule di cui sopra sono tautologiche o contraddittorie.

La sequenza ‘ Esiste un particolare ‘,

‘ Esistono almeno 2 particolari ‘,

‘ Esistono almeno n particolari ‘,

‘ Esistono almeno ℵ0 particolari ‘,

‘ Esistono almeno ℵ1 particolari ‘,

comincia con l’essere tautologica; ma da qualche parte comincia con l’essere contraddittoria, e la posizione dell’ultimo termine tautologico mostra il numero di particolari.

Ci si potrebbe chiedere come, se non si può dire nulla su questo, siamo in grado di immaginare come distinte possibilità che il numero di particolari nel mondo sia così e così. Facciamo questo solo quando assumiamo non un limitato universo in esame, a cui saremmo confinati, così che con ‘tutto’ intendiamo tutto nell’universo in esame; e allora questo universo così e così che contiene tali e tali particolari è una possibilità effettiva, e può essere asserito in una genuina proposizione. E’ questo solo quando assumiamo, non un limitato universo in esame, ma l’intero mondo, di cui nulla può essere detto sul numero di particolari  in esso contenuti.

Possiamo fare logica , non solo per il mondo nel suo insieme, ma anche per un determinato universo limitato nella trattazione; se ne assumiamo uno contenente n individui,

Nc’Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( x = x ) ≥ n sarà una tautologia,

Nc’Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( x = x ) ≥ n + 1 una contraddizione ,

Quindi Nc’Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( x = x ) ≥ n + 1 non può essere dedotta dalle proposizioni primitive comuni a tutti gli universi, e quindi per un universo che contiene n + 1 individui deve essere presa come una proposizione primitiva.

Analogamente, l’Assioma dell’Infinito nella logica del mondo nel suo insieme, se si tratta di una tautologia, non può essere provato, ma deve essere preso come una proposizione primitiva . E questa è la direzione che dobbiamo adottare, a meno che preferiamo il punto di vista che tutta l’analisi è auto – contraddittoria e priva di significato . Non dobbiamo supporre che un particolare insieme di oggetti, ad esempio, gli atomi, sia infinito, ma semplicemente che c’è un certo tipo di infinito che possiamo assumere essere il tipo dei particolari.

NdT: quest’ultima proposizione chiude il discorso sull’esistenza o non esistenza dell’infinito (matematico o fisico). Infatti si può chiaramente osservare che l’applicazione di un tipo particolare di infinito nasce dall’impossibilità di determinare se un infinito esista anche se non conduce a contraddizioni logiche. Infatti è evidente che esistono dei procedimenti che non possono essere conclusi neppure se tutta l’umanità fino alla sua estinzione cercasse di portarli a compimento. In questi casi è indifferente sapere se il procedimento è finito o infinito in quanto non ci sarebbe nessuno in grado di trovare il risultato e di riprodurlo nel proprio sistema secondario. Mentre nel sistema primario potrebbe esistere, ma sarebbe un nonsenso per mancanza di chi è in grado di valutarlo.

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