Principia Mathematica cap. 4 – di The Foundation of Mathematics di Frank P. Ramsey

16 Mag

NPG x31078; Richard Bevan Braithwaite by Ramsey & MusprattRiporto di seguito la mia traduzione del quarto capitolo della prima parte delle opere di F.P. Ramsey,  come pubblicate in The Foundation of Mathematics a cura di R.B. Braithwaite nella sezione I capitolo IV, con il titolo Funzioni proposizionali in estensione.

IV . Funzioni proposizionali in estensione

Prima di andare avanti, guardiamoci attorno e vediamo dove siamo arrivati. Abbiamo visto che l’introduzione della nozione di funzione predicativa ci ha dato un insieme per φ che ci permette di fare a meno dell’Assioma di Riducibilità. Quindi rimuove il secondo e più importante difetto nella teoria dei Principia Mathematica; ma in quale rapporto stiamo per quanto riguarda le altre difficoltà, la difficoltà di includere tutte le classi e le relazioni in estensione, e non solo quelle definibili, e le difficoltà connesse con l’identità?

Possiamo sbarazzarci della difficoltà sull’identità, a costo di notevoli complicazioni, adottando la  convenzione di Wittgenstein, che ci permette di eliminare ‘=’ da ogni proposizione in cui si verifica. Ma questo ci mette in una posizione disperata per quanto riguarda le classi, perché , avendo eliminato del tutto l’ ‘=’, non possiamo più usare x = y come funzione proposizionale nel definire delle classi finite. Così che le sole classi con cui siamo ora in grado di operare sono quelle definite dalle funzioni predicative.

Può essere utile qui ripetere la definizione di una funzione predicativa di particolari; è qualsiasi funzione verità di funzioni atomiche e di proposizioni atomiche. Chiamiamo tali funzioni ‘ predicative ‘ perché corrispondono, come quasi una nozione precisa possa esserlo di una vaga, all’idea che φa è predicato della stessa cosa di a come φb lo è di b . Essa comprende tutte le funzioni proposizionali che si verificano in Principia Mathematica, tra cui l’identità come ivi definita. E’ ovvio, comunque, che noi non dovremmo definire l’identità in questo modo, come accordo nei confronti di tutte le funzioni predicative, perché due cose possono chiaramente essere in accordo per quanto riguarda tutte le funzioni atomiche e quindi per quanto riguarda tutte le funzioni predicative, eppure si tratta di due cose e non, come la definizione proposta dell’identità comporterebbe, un solo oggetto.

Quindi la nostra teoria è altrettanto inadeguata dei Principia Mathematica a fornire una logica estensionale; infatti, se rifiutiamo questa falsa definizione dell’identità, non siamo in grado di includere tra le classi che che ne hanno a che fare anche con tutte le classi finite enumerate. La matematica diventa allora senza speranza perché non possiamo essere sicuri che ci sia una classe definita da una funzione predicativa il cui numero è due; perché gli oggetti possono tutti rientrare in triadi che si accordano in ogni aspetto, nel qual caso non ci sarebbero nel nostro sistema di classi di un membro né classi a due membri.

Se vogliamo preservare del tutto la forma ordinaria della matematica, sembra che qualche estensione deve essere fornita per la nozione di funzione proposizionale, in modo da comprendere pure altre classi. Una tale estensione è auspicabile per altri motivi, perché molti oggetti che sarebbe naturalmente essere considerati come funzioni proposizionali possono essere visti non essere funzioni predicative.

Per esempio

F ( x , y ) = Qualcosa di diverso da  x e y che soddisfa φz circonflesso

(Qui, naturalmente , ‘ diverso ‘ deve essere assunto in senso stretto, e non nel senso dei Principia Mathematica come ‘ distinguibile da ‘.)

 Questa non è una funzione predicativa, ma è costituita dalle parti di due funzioni predicative :

( 1 ) Per ( x ≠ y )

F ( x , y) è φx . φy : ⊃. Nc’z circonflesso ( φz ) ≥ 3 : . φx . ~ φy . v φy . ~ φx : ⊃ : Nc’z circonflesso ( φ z) ≥ 2 : . ~ φx . ~ φy : ⊃ : Nc’z circonflesso ( φz ) ≥ 1 .

 Questa è una funzione predicativa perché è una funzione verità di φx , φy e la proposizione costante Nc’z circonflesso ( φz ) > 1 , 2 , 3 , che non coinvolge x , y .

( 2) Per x = y

F ( x , x ) è φ ( x ) . ⊃. Nc’z circonflesso ( φz ) ≥ 2 : ~ φx . ⊃. Nc’z circonflesso ( φz ) ≥ 1 ,

che è una funzione predicativa .

Ma F ( x , y ) non è essa stessa una funzione predicativa; questo forse è più difficile da vedere. Ma è facile vedere che tutte le funzioni di questo tipo non possono essere predicative, perché se lo fossero saremmo riusciti a trovare una funzione predicativa soddisfatta solamente da ogni particolare a, che chiaramente in generale non può essere.

Perché supponiamo fa (se no, prendiamo ~ fSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) .

Sia       α = Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( fx ) ,

Β = α – ( a) .

Allora φx = ‘Non c’è niente che la soddisfa fx tranne x, e i membri di β ‘ si applicano ad a e solamente ad a. Quindi queste funzioni non possono essere mai predicative.

Proprio come F ( x , y ) di cui sopra, così anche ‘ x = y ‘ è costituita da due funzioni predicative :

( 1) Per x ≠ y

‘ x = y ‘ può essere assunto ad essere ( ∃φ ) . φx . ~ φx : ( ∃φ ) . φy . ~ φy , cioè una contraddizione.

( 2) Per x = y

‘ x = y ‘ può essere assunto essere ( φ ) : . φx . v . ~ φx : φy . v . ~ φy , cioè una tautologia.

Ma ‘ x = y ‘ non è di per sé predicativa .

Sembra, quindi , che dobbiamo introdurre funzioni propositive non-predicative. Come si deve fare? L’ unica via praticabile è quello di farlo nel modo più radicale e drastico possibile; far cadere del tutto la nozione che φa riguardi a quello che φb riguarda b; il trattare le funzioni propositive come funzioni matematiche, cioè, rendendole completamente estensionali. Infatti è chiaro che, essendo funzioni matematiche derivate da funzioni proposizionali, si deve avere un valore adeguatamente estensionale delle prime solo adottando un punto di vista completamente estensionale di queste ultime.

Quindi oltre al concetto precedentemente definito di una funzione predicativa, di cui avremo ancora bisogno per determinati scopi, definiamo, o meglio spieghiamo, nel nostro sistema che deve essere preso come indefinibile il nuovo concetto di una funzione proposizionale in estensione. Tale funzione di un particolare risulta da qualsiasi relazione uno-molti in estensione tra proposizioni e particolari; vale a dire, una correlazione, praticabile o impraticabile, che per ogni particolare associa una unica proposizione, essendo il particolare l’ argomento della funzione, la proposizione suo valore.

Così φ (Socrates) può essere che la regina Anne è morta ,

φ ( Platone ) potrebbe essere che   Einstein è un grand’uomo ;

φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 essendo semplicemente una associazione arbitraria di proposizioni φx con particolari x .

Una funzione in estensione sarà caratterizzata da un suffisso e quindi φeSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59.

 Quindi possiamo parlare della totalità di tali funzioni come la gamma di valori di una variabile  apparente φe.

Consideriamo ora ( φe ) . φex≣φey.

Questo afferma che in una tale correlazione la proposizione correlata con x è equivalente a quella correlata con y.

Se x = y è una tautologia (è il prodotto logico dei valori di p≣p ) .

Ma se x ≠ y è una contraddizione . Perché in una delle correlazioni alcuni p saranno associati ad x , e ~ p con y.

Allora perché questa correlazione feSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , fex è p, fey è ~ p, così che fex ≣ fey è autoontraddittoria e ( φe) . φex ≣ φey è auto- contraddittoria .

Quindi ( φe ) . φe x ≣ φe y è una tautologia se x = y , una contraddizione se x ≠y.1

Quindi questa si può adeguatamente prendere come la definizione di x = y. x = y è una funzione in estensione di due variabili. Il suo valore è una tautologia , quando x e y hanno lo stesso valore , la contraddizione quando x , y hanno valori differenti.

Ora dobbiamo difendere questo insieme consigliato di funzioni per una variabile φe contro le accuse che è illegittimo e porta a contraddizioni. È legittimo perché è una notazione comprensibile, che fornisce un significato definito ai simboli in cui è utilizzata. Né può portare a contraddizioni perché sfugge alle contraddizioni che vengono in mente come fanno l’insieme delle funzioni predicative. Qualsiasi simbolo contenente la variabile φe significa in modo diverso da un simbolo che non la contiene, e avremo lo stesso tipo di ambiguità di ‘ significato ‘, come nel capitolo III, che rimuoverà le contraddizioni. Né può qualsiasi contraddizione del primo gruppo di contraddizioni essere ripristinata dalla nostra nuova notazione, perché sarà ancora impossibile per una classe di essere un membro di se stessa, come le nostre funzioni in estensione si limitano a tipi definiti di argomenti per definizione .

1 D’altra parte ( φ ) . φx≣ φy ( φ predicativo ) è una tautologia se x = y , ma non una contraddizione se x ≠ y.

Dobbiamo ora assumere le due nozioni che abbiamo definito, funzioni predicative e funzioni in estensione, e considerare quando avremo bisogno di usare l’una e quando l’altra.1 Prima prendiamo il caso in cui gli argomenti sono particolari: allora c’è ogni vantaggio nell’assumere che l’insieme di funzioni che usiamo in matematica sia quello di funzioni in estensione. Abbiamo visto come questo ci permette di definire l’identità in modo soddisfacente, ed è ovvio che non avremo bisogno di nessun Assioma di Riducibilità, perché qualsiasi funzione proposizionale ottenuta per generalizzazione, o in un qualsiasi modo, è una funzione in estensione. Inoltre ci darà una soddisfacente teoria delle classi, perché ogni classe sarà definita da una funzione in estensione, ad esempio dalla funzione che è tautologia per ogni membro della classe come argomento, ma contraddizione per qualsiasi altro argomento, e la classe nulla sarà definita dalla funzione di auto-contraddizione. Così la totalità delle classi può essere ridotta a quella di funzioni in estensione, e quindi sarà questa totalità che noi richiederemo in matematica, non la totalità delle funzioni predicative, che corrisponde non a ‘tutte le classi ‘, ma a ‘ tutti i predicati ‘ o ‘ tutte le proprietà’.

D’altra parte, quando si arriva a funzioni di funzioni la situazione è piuttosto diversa. Non sembra esserci nessuno scopo nel considerarne qualcuna tranne funzioni predicative di funzioni; le ragioni per l’introduzione di funzioni di estensione non sono più applicabili. Perché non abbiamo bisogno di definire l’identità tra funzioni, ma solo l’identità tra classi che si riduce ad equivalenza tra funzioni, che è facilmente definita. Né vogliamo considerare classi di funzioni, ma classi di classi, di cui è anche possibile un trattamento più semplice. Quindi, nel caso di funzioni di funzioni ci limitiamo a quelle che sono predicative.

1 Naturalmente funzioni predicative sono anche funzioni in estensione; la domanda è: che insieme vogliamo per la nostra funzione variabile.

Ricordiamo la definizione di una funzione predicativa di funzioni; è una funzione verità dei loro valori e proposizioni costanti.1 Tutte le funzioni di funzioni che compaiono in Principia sono di questo tipo , ma ‘ credo ( x ) . φx ‘ come una funzione φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 non è. Le funzioni predicative di funzioni sono estensionali nel senso dei Principia , che se l’insieme di f ( fi circonflessoSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) è quello delle funzioni predicativi di funzioni .

φex ≣ x ψe x : ⊃: f ( φeSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) ≣ f ( ψe Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 )

Questo perché f ( φeSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) è una funzione verità dei valori di φex che sono equivalenti ai corrispondenti valori di ψe x , così che f ( φeSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) è equivalente a f ( ψe Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) .

Se abbiamo assunto questo dovremmo avere una semplice teoria delle classi, dal momento che non vi sarebbe alcun bisogno di distinguereSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( φex ) da  φeSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 . Ma sebbene sia una tautologia chiaramente non c’è modo di dimostrarlo, in modo che dovremmo assumerla come una proposizione primitiva. Se vogliamo evitarlo dobbiamo solo mantenere la teoria delle classi riportate nel Principia in base alla ” funzione estensionale derivata “. L’insieme di funzioni predicative di funzioni è adeguata ad affrontare le classi di classi, perché , sebbene , come abbiamo visto, ci possono essere classi di particolari che possono essere definite solo con funzioni di estensione, pure qualsiasi classe di classi può essere definita da una funzione predicativa , cioè da f ( α) dove

f ( φeSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) = Σψ ( φex º x ψex )

cioè la somma logica di ( φex≣ x ψex ) per tutte le funzioni ψex ^ che definiscono i membri della classe di classi.

1 Sono, credo, funzioni predicative di funzioni che Russell nell’Introduzione alla seconda edizione dei Principia cerca di descrivere come funzioni in cui le funzioni entrano solo attraverso i loro valori. Ma questa è chiaramente una descrizione insufficiente, perché φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 entra solo in F(φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) = ‘ io credo φa’ attraverso i suoi valori φa, ma questo non è certamente una funzione del tipo indicato, perché non è estensionale . Penso che il punto può essere spiegato, come ho fatto, solo con l’introduzione della nozione di funzione verità. Il sostenere, come fa Russell, che tutte le funzioni di funzioni sono predicative è intraprendere una disputa verbale inutile, a causa dell’ambiguità del vago termine funzioni di funzioni, che possono essere utilizzate per significare per esempio di essere predicative o di comprendere per esempio anche F ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) come sopra.

Naturalmente , se la classe di classi è infinita, questa espressione non può essere scritta. Ma, tuttavia, esisterà la somma logica di queste funzioni, anche se non possiamo esprimerla.1

Quindi, per ottenere una teoria completa delle classi dobbiamo assumere che l’insieme di funzioni di particolari sia quello delle funzioni in estensione; ma che l’insieme delle funzioni di funzioni particolari sia quello delle funzioni predicative. Utilizzando queste variabili otteniamo il sistema dei Principia Mathematica, semplificato per l’omissione dell’Assioma di Riducibilità, e alcune modifiche corrispondenti. Formalmente è quasi inalterato, ma il suo significato è stato notevolmente cambiato. E nel preservare così la forma mentre si modifica l’interpretazione, sto seguendo la grande scuola dei logici matematici che, in virtù di una serie di definizioni sorprendenti, hanno salvato la matematica dagli scettici, e ha fornito una dimostrazione rigorosa delle sue proposizioni. Solo così possiamo preservarla dalla minaccia bolscevica di Brouwer e Weyl .

1 Una somma logica non è come una somma algebrica; solo un numero finito di termini può avere una somma algebrica, perché una ‘ somma infinita ‘ è in effetti un limite. Ma la somma logica di un insieme di proposizioni è la proposizione che queste non sono tutte false, ed esiste sia che l’insieme sia finito o che sia infinito.

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