Principia Mathematica – Cap. 3 di The Foundation of Mathematics di Frank P. Ramsey

16 Mag

Honourable_Bertrand_RussellRiporto di seguito la traduzione del terzo capitolo della prima parte delle opere di F.P. Ramsey,  come pubblicate in The Foundation of Mathematics a cura di R.B. Braithwaite nella sezione I capitolo III, con il titolo Funzioni Predicative.

III FUNZIONI PREDICATIVE

In questo capitolo prenderemo in considerazione la seconda delle tre obiezioni che abbiamo fatto nell’ultimo capitolo alla teoria dei fondamenti della matematica fornita nei Principia Mathematica. Questa obiezione, che è forse la più grave delle tre, era diretta contro la Teoria dei Tipi, che sembrava comportare l’ accettazione dell’illegittimo Assioma di Riducibilità o il rifiuto di un tipo fondamentale di ragionamento matematico come la sezione Dedekind. Abbiamo visto che questa difficoltà deriva dalla seconda delle due parti in cui la teoria è stata divisa, cioè quella parte che riguarda i diversi insiemi di funzioni di determinati argomenti, ad esempio i particolari; e dobbiamo considerare se questa parte della Teoria dei Tipi non può essere modificata in modo da uscire dalla difficoltà. Vedremo che questo può essere fatto in modo semplice e diretto, che è una naturale conseguenza delle teorie logiche di Wittgenstein.

Dovremo ripartire da capo dalla sua teoria delle proposizioni, di cui qualcosa è stato detto nel primo capitolo. Abbiamo visto lì che spiega le proposizioni in generale, con riferimento alle proposizioni atomiche, ogni proposizione che esprime accordo e disaccordo con la possibilità di verità delle proposizioni atomiche. Abbiamo anche visto che potremmo costruire molti simboli diversi, tutti esprimenti accordo e disaccordo con lo stesso insieme di possibilità. Per esempio ,

‘ p ⊃ q ‘ ‘ ~ p . v . q ‘ , ‘ ~ : p . ~ q ‘ . . ‘ ~ q.⊃. ~ p ‘

sono un tale insieme, tutti in accordo con le tre possibilità

‘ p.q , ‘ ‘ ~ p.q , ‘ ‘ ~ p . ~ q

ma in disaccordo con la ‘p . ~ q ‘ . Due simboli di questo tipo, che esprimono accordo e disaccordo con gli stessi insiemi di possibilità, si dicono essere casi della stessa proposizione. Sono casi di essa così come tutti il ‘ gli ” in una pagina sono casi della parola ‘ gli ‘. Ma mentre i ‘ gli ” sono casi della stessa parola con riferimento alla loro somiglianza fisica, simboli diversi sono casi della stessa proposizione perché hanno lo stesso significato, cioè, esprimono accordo con gli stessi insiemi di possibilità. Quando parliamo di proposizioni intenderemo i tipi di cui i singoli simboli sono degli esempi, ed includeremo tipi di cui non sono esempi. Questo è inevitabile, in quanto non può essere un nostro interesse di queste se qualcuno ha effettivamente affermato o messo in simboli una proposizione, e dobbiamo considerare tutte le proposizioni nel senso di tutte le possibili asserzioni sia che siano state o meno asserite.

Ogni proposizione esprime accordo e disaccordo con gli insiemi complementari di possibilità di verità di proposizioni atomiche; per converso, dato un qualunque insieme di queste possibilità di verità, sarebbe logicamente possibile affermare accordo con alcune e di disaccordo con tutti le altre, e l’insieme delle possibilità di verità definisce quindi una proposizione. Questa proposizione può in pratica essere estremamente difficile da esprimere attraverso la povertà della nostra lingua, perché ci difettano sia i nomi per molti oggetti sia i metodi di fare affermazioni che coinvolgono un numero infinito di proposizioni atomiche, salvo casi relativamente semplici, come ad esempio ‘ ( x ) . φx ‘ , che implica (probabilmente) l’insieme infinito di (in alcuni casi) proposizioni atomiche, ‘ φa ‘ , ‘ φb , ‘ ecc. Tuttavia , dobbiamo prendere in considerazione proposizioni che il nostro linguaggio è inadeguato a esprimere. In ‘ ( x ) . Φx ‘ affermiamo la verità di tutte le possibili proposizioni che siano della forma ‘ φx ‘ anche se non abbiamo nomi per tutti i valori di x. Le proposizioni generali devono, ovviamente, essere intese come applicabili a tutto, non solo a tutto ciò per cui abbiamo un nome.

Veniamo ora ad un punto più importante in relazione con la Teoria dei Tipi. Abbiamo spiegato nel precedente capitolo cosa si intendesse per una proposizione elementare, vale a dire, una proposizione costruita esplicitamente come una funzione verità di proposizioni atomiche. Dobbiamo ora vedere che, secondo la teoria di Wittgenstein, elementare non è affatto un aggettivo del tipo proposizionale, ma solo dei suoi casi. Per un simbolo proposizionale elementare e non elementare potrebbero esistere casi della stessa proposizione. Così supponiamo che un elenco sia stato fatto di tutti i particolari come ‘a’ , ‘ b ‘ , …. , ‘z’ . Allora, se φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 fosse una funzione elementare , ‘ φa . φb … φz ‘ sarebbe una proposizione elementare; ma ‘ ( x ) . φx ‘ non – elementare; ma questi esprimerebbero accordo e disaccordo con le stesse possibilità e quindi sarebbero la stessa proposizione. Oppure, per fare un esempio che potrebbe effettivamente verificarsi, ‘ φa ‘ e ‘ φa : ( ∃ x ). φx ‘ . , Che sono la stessa proposizione , in quanto ( ∃ x ) φx non aggiunge nulla a φa . Ma la prima è elementare, la seconda non elementare.

Quindi alcuni casi di una proposizione possono essere elementari, e altri non elementari; cosicché l’essere elementare non è veramente una caratteristica della proposizione, ma del suo modo di esprimerla. ‘ Proposizione elementare ‘ è come ‘ parola parlata’; proprio come la stessa parola può essere scritta e parlata, così la stessa proposizione può essere espressa sia elementarmente sia non elementarmente.

Dopo queste spiegazioni preliminari andiamo alla teoria delle funzioni proposizionali. Per una funzione proposizionale di particolari intendiamo un simbolo nella forma ‘ f (Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso, z circonflesso … ) ‘,che è tale che , essendo in questa i nomi di tutti i particolari sostituiti con ‘ Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ‘ , ‘y circonflesso ‘ , ‘ z circonflesso ‘ …… in essa , il risultato sarebbe sempre una proposizione. Questa definizione deve essere completata dalla spiegazione che due di tali simboli sono considerati la stessa funzione quando la sostituzione dello stesso insieme di nomi nell’uno e nell’altro dà sempre la stessa proposizione. Così se ‘ f (a , b , c ) ‘ , ‘ g (a, b , c ) ‘ sono la stessa proposizione per ogni insieme di a, b , c , ‘ f ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso , z circonflesso ) ‘ e ‘ g ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ,y circonflesso , z circonflesso) ‘ sono la stessa funzione , anche se sono molto differenti nel modo di presentarsi.

Una funzione 1 φx ^ ‘ ci fornisce per ogni particolare una proposizione nel significato di una proposizione-tipo (che non può avere nessun caso, perché noi non possiamo aver dato un nome ad un particolare). Quindi la funzione raggruppa un insieme di proposizioni, la cui somma e prodotto logico affermiamo scrivendo rispettivamente ‘ (∃ x ) . φx ‘ , ‘ ( x ) . φx ‘ . Questa procedura può essere estesa al caso di più variabili .

1 Per ‘funzione’ in futuro intenderemo sempre funzione proposizionale salvo venga indicato altrimenti.

Consideriamo ‘ φ ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso )’; diamo a y un qualsiasi valore costante η , e φ ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , η ) ‘ dà una proposizione quando un nome particolare viene sostituito a Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , ed è quindi una funzione di una variabile, da cui possiamo formare le proposizioni

‘ ( ∃ x ) . φ ( x , η ) ‘ , ‘ ( x ) . φ ( x , η ) ‘ .

Consideriamo poi ‘ ( ∃ x ) φ ( x , y circonflesso) ” , questo , come abbiamo visto , dà una proposizione quando qualsiasi nome ( ad esempio ‘ η ‘) viene sostituito ad ‘ y’ , ed è quindi una funzione di una variabile da cui possiamo formare le proposizioni

( ∃ y ) : (∃ x ) . φ ( x , y ) e ( y ) : ( ∃ x ) . φ ( x , y) .

Per quanto finora non vi sia stata alcuna difficoltà, cercheremo di trattare le funzioni di funzioni esattamente nello stesso modo in cui abbiamo trattato le funzioni di particolari. Prendiamo , per semplicità, una funzione di una variabile che è funzione di particolari.

Questa avrebbe una simbologia della forma ‘ f ( fi circonflesso Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) ‘, che diventa una proposizione con la sostituzione di ‘ fi circonflesso Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ‘ con una qualsiasi funzione di un particolare. ‘ f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) ‘ allora raccoglie insieme un insieme di proposizioni, una per ogni funzione di un particolare, di cui affermiamo la somma logica e il prodotto scrivendo rispettivamente ‘ (∃ φ ) . f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) ‘ , ‘ ( φ ) . f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) ‘ .

Ma questo ragionamento soffre di una sfortunata vaghezza quanto all’intervallo di funzioni φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 che danno i valori di f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) di cui asseriamo la somma logica o il prodotto logico. A questo proposito c’è una differenza importante tra le funzioni di funzioni e funzioni di particolari che vale la pena di esaminare attentamente. Appare chiaramente nel fatto che l’espressione ‘ funzione di funzioni ‘ e ‘ funzione di particolari ‘ non sono esattamente analoghe; perché, mentre le funzioni sono simboli, i particolari sono oggetti, così che per ottenere un’espressione analoga a ‘ funzione di funzioni ‘ dovremmo dire ‘ funzione di nomi di particolari ‘. D’altra parte, non appare alcun modo semplice di modificare ‘ funzione di funzione ‘ in modo da renderla analoga a ‘ funzione di particolari ‘ , ed è proprio questo che causa problemi. Perché l’intervallo di valori di una funzione di particolari è assolutamente fissato dall’insieme dei particolari, una obbiettiva totalità a cui non ci si può sottrarre. Ma l’insieme di argomenti per una funzione di funzioni è un insieme di simboli che diventano proposizioni inserendo in essi il nome di un particolare. E questo insieme di simboli, reali o possibili, non è oggettivamente fisso, ma dipende dai nostri metodi di costruirli e richiede una  definizione più precisa.

Questa definizione può essere data in due modi, che possono essere distinti come metodo soggettivo e metodo oggettivo. Il metodo soggettivo 1 è quello adottato nei Principia Mathematica e consiste nel definire l’insieme delle funzioni come tutte quelle che possono essere costruite in un certo modo, in primo luogo dall’uso esclusivo del segno ‘ / ‘. Abbiamo visto come questo conduca all’impasse dell’Assioma di Riducibilità. Io, invece, adotterò il metodo oggettivo del tutto originale che ci porterà ad una teoria soddisfacente in cui non è richiesto un tale assioma. Questo metodo è quello di trattare funzioni di funzioni, per quanto possibile nello stesso modo come le funzioni di particolari. I segni che possono essere sostituiti come argomenti in ‘ φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ‘, una funzione di particolari, vengono determinati dai loro significati; questi devono essere nomi di particolari. Propongo analogamente di determinare i simboli che possono essere sostituiti come argomenti a ‘f(fi circonflessoSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) ‘ non per il modo della loro costruzione, ma per i loro significati. Questo è più difficile , perché le funzioni non significano singoli oggetti come accade per i nomi, ma hanno un significato in un modo più complicato derivato dai significati delle proposizioni che sono i loro valori. Il problema è in ultima analisi, di fissare come valori di f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) un qualche insieme definito di proposizioni in modo che possiamo affermare il loro prodotto logico e la loro somma logica. In Principia Mathematica sono definiti come tutte le proposizioni che possono essere costruite in un certo modo. Il mio metodo, invece, è quello di ignorare il modo in cui potremmo costruirle, e di determinarle per una descrizione o per il loro significato o rilevanza; e così facendo potremmo essere in grado di includere nell’insieme proposizioni che non abbiamo alcun modo di costruire, proprio come includiamo nell’insieme di valori di φx le proposizioni che non possiamo esprimere per la mancanza di nomi per i particolari che li riguardano.

1 Non vorrei stampare questo termine, io lo uso solo perché non riesco a trovarne uno migliore.

Dobbiamo iniziare la descrizione del nuovo metodo con la definizione di una funzione atomica di particolari, come risultato della sostituzione con variabili qualsiasi dei nomi di particolari in una proposizione atomica espressa utilizzando solo nomi; dove se si verifica un nome più di una volta nella proposizione può essere sostituito dalle stesse o diverse variabili, o lasciato solo nei diversi casi in cui occorre. I valori di una funzione atomica di particolari sono così proposizioni atomiche.

Poi estendiamo alle funzioni proposizionali il concetto di funzione verità – funzione delle proposizioni. (In un primo momento, naturalmente, le funzioni a cui lo estendiamo sono solo le proposizioni atomiche, ma l’estensione funziona anche in generale, e quindi lo stabilirò in generale.) Supponiamo di avere funzioni φ1 (Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso ), φ2 ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso ), ecc. , allora dicendo che una funzione ψ ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ,y circonflesso ) è una certa funzione verità (ad esempio, la somma logica) delle funzioni φ1 (Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso ) , φ2 ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso ), ecc., e le proposizioni p, q, ecc., noi intendiamo che per qualsiasi valore di ψ (x , y), ad esempio ψ (a, b), è questa una funzione verità dei valori corrispondenti di φ1 ( x , y ), φ2 ( x , y ), ecc., cioè φ1 (a, b), φ2 (a, b), ecc., e le proposizioni p, q, ecc. Questa definizione ci permette di includere le funzioni tra gli argomenti di qualsiasi funzione verità, perché ci dà sempre una unica funzione che è la funzione verità di quegli argomenti; ad esempio la somma logica di φ1 (Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ), φ2 ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) , … è determinata come ψ ( x ) , dove ψ ( a) è la somma logica di φ1 ( a) , φ2 ( a) , … , una proposizione definita per ogni a, in modo che ψ ( x ) è una funzione definita. Ed è unica perché, se ce ne fossero due, ossia ψ1 ( x ), e ψ2 ( x), ψ1 ( a) e ψ2 ( a) sarebbero per ciascuna a la stessa proposizione, e quindi le due funzioni sarebbero identiche.

Possiamo ora dare la definizione più importante di questa teoria, quella di una funzione predicativa. Io non uso questo termine nel senso di Principia Mathematica , 1a ed., perché quello che seguo è il lavoro successivo di Russell nell’uso di ‘ elementare ‘. Il concetto di una funzione predicativa, nel mio significato, è un significato che non compare nei Principia, e segna la differenza essenziale dei due metodi di procedere. Una funzione predicativa di particolari è una funzione che è una funzione verità di argomenti che, siano finiti o infiniti in numero, sono tutti o funzioni atomiche di particolari o di proposizioni.1 Questo definisce un insieme definito di funzioni di particolari che è più ampia di tutto l’insieme che si presenta nei Principia. Questo dipende essenzialmente dalla nozione di funzione verità di un numero infinito di argomenti; se ci potessero essere solo un numero finito di argomenti le nostre funzioni predicative sarebbero semplicemente le funzioni elementari dei Principia. L’ammettere un numero infinito implica che noi non definiamo un insieme di funzioni come quelle che potrebbero essere costruite in un determinato modo, ma lo determiniamo con una descrizione del loro significato. Queste devono essere le funzioni verità – non esplicitamente nel loro aspetto, ma nel loro significato – di funzioni atomiche e di proposizioni. In questo modo potremo includere molte funzioni che non abbiamo modo di costruire, e molte che costruiamo in modi molto diversi. Quindi , supponendo che φ (Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59,y circonflesso) sia una funzione atomica, p una proposizione ,

φ ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso ) , φ ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso ) . v p , ( y) . φ ( x ^ , y)

sono tutte funzioni predicative. [ L’ultima è predicativa perché è il prodotto logico delle funzioni atomiche φ ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y ) per diversi valori di y.]

Per le funzioni di funzioni ci sono più o meno analoghe definizioni. In primo luogo, una funzione atomica di funzioni (predicative 2 ) di particolari e di una funzione atomica di particolari possono avere un solo argomento della funzione, ovvero φ , ma possono avere molti argomenti argomenti particolari, x , y , ecc. , e devono essere della forma φ ( x , y , … , a, b ​​, … ), dove ‘ a’, ‘b’ , … sono i nomi dei particolari.

1 Prima di ‘ proposizioni ‘ potrei inserire ‘ atomiche ‘ , senza restringere il significato della definizione. Perché ogni proposizione che è una funzione verità di proposizioni atomiche, e una funzione verità di una funzione verità è a sua volta una funzione verità.

2 Ho messo ‘ predicativo ‘ tra parentesi perché le definizioni si applicano nello stesso modo alle funzioni non – predicative trattate nel prossimo capitolo.

In particolare, una funzione atomica f ( φz circonflesso ) è nella forma φa. Una funzione predicativa di funzioni (predicative) di funzioni di particolari e di particolari è una funzione verità i cui argomenti sono tutti o proposizioni o funzioni atomiche di funzioni di funzioni di particolari e di particolari,

ad esempio,

fi circonflesso a .⊃. psi circonflesso b : v : p (a funzione di φ , ψ ),

( x ) . fi circonflessox , il prodotto logico delle funzioni atomiche fi circonflesso a , fi circonflesso b , ecc.

E’ chiaro che una funzione si presenta in una funzione predicativa solo attraverso i suoi valori. In questo modo possiamo procedere a definire le funzioni predicative di funzioni di funzioni e così via per ogni ordine.

Ora consideriamo una certa proposizione come ( φ ) . f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) dove f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) è una funzione predicativa di funzioni. Noi comprendiamo che l’intervallo dei valori di φ che sia tutto di funzioni predicative; vale a dire ( φ ) . f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) che è il prodotto logico delle proposizioni f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) per ogni funzione predicativa, e dal momento che questo è un insieme definito di proposizioni , abbiamo fornito a ( φ ) . f ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) un significato preciso .

Consideriamo ora la funzione di x , ( φ ) , f ( φz circonflesso , x ) . Si tratta di una funzione predicativa ? E ‘ il prodotto logico della funzione proposizionale di x , f ( φz circonflesso , x ) per i diversi φ che, dal momento che f è predicativa , sono funzioni verità di φx e proposizioni, eventualmente, variabili in φ ma costanti in x (ad esempio φa). I φx, dal momento che le φ sono predicative, sono funzioni di verità delle funzioni atomiche di x. Quindi esse sono funzioni proposizionali di x , f ( φz circonflesso , x )  sono funzioni verità delle funzioni atomiche di x e proposizioni. Quindi esse sono funzioni predicative, e pertanto il loro prodotto logico ( φ ) , f ( φz circonflesso , x ) è predicativo. Più in generale è chiaro che per generalizzazione, qualunque sia il tipo di variabile apparente, non possiamo mai creare funzioni non – predicative; per la generalizzazione è una funzione verità dei suoi casi, e, se questi sono predicativi, così risulta questa.

Pertanto tutte le funzioni di particolari che si presentano nei Principia sono nel nostro significato predicative e comprese nella nostra variabile φ, in modo che tutto quello che necessita per l’Assioma di Riducibilità scompare.

Ma, si potrebbe obiettare, sicuramente in questo c’è un circolo vizioso; non è possibile includere FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 = ( φ ) . f ( φz circonflesso , Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) tra i φ, perché presuppone la totalità delle φ. Questo non è, tuttavia , realmente un circolo vizioso . La proposizione Fa è certamente il prodotto logico delle proposizioni f ( φz circonflesso , a) , ma per esprimerla in questo modo (che è l’unico modo possibile in cui lo possiamo) è semplicemente quello di descriverla in un certo modo, con riferimento ad una totalità di cui può essere essa stessa un membro, così come possiamo fare riferimento a un uomo come il più alto in un gruppo, così identificandolo per mezzo di una totalità di cui egli stesso è un membro senza che vi sia alcun circolo vizioso. La proposizione Fa nel suo significato, cioè il fatto che afferma essere il caso, non comporta la totalità delle funzioni; è soltanto un nostro simbolo che la coinvolge. Per fare un caso particolarmente semplice, ( φ ) . φa è il prodotto logico delle proposizioni φa, di cui essa stessa è una proposizione; ma questo non è più notevole e non più circolo vizioso di quello che  è che è il fatto che p . q è il prodotto logico dell’insieme p , q , p . q , di cui esso stesso ne è membro. L’ unica differenza è che, a causa della nostra incapacità di scrivere proposizioni di lunghezza infinita, che è dal punto di vista logico un puro accidente, ( φ ) . φa non può, come p . q , essere elementarmente espresso, ma deve essere espresso come il prodotto logico di un insieme di cui ne è anche un membro. Se avessimo risorse infinite e potessimo esprimere tutte le funzioni atomiche come ψ1x , ψ2x , allora potremmo formare tutte le le proposizioni φa, cioè, tutte le funzioni verità di ψ1a, ψ2a, ecc. , e tra loro ci sarebbe quella che è il prodotto logico di tutte, compresa se stessa, proprio come p . q è il prodotto di p , q , p v q , p . q . Questa proposizione, che non possiamo esprimere direttamente, che è elementare, la esprimiamo indirettamente come il prodotto logico di tutte scrivendo ‘ ( φ ) . φa ‘. Questo è certamente un processo tortuoso, ma non c’è chiaramente nessun circolo vizioso al riguardo.

In questo sta il grande vantaggio del mio metodo su quello dei Principia Mathematica. In Principia l’insieme di φ è quello di funzioni che possono essere espresse elementarmente, e poiché ( φ ) . f ( φ ! z circonflesso , x ) non può essere espresso in tal modo non può esistere un valore di φ !; ma io definisco i valori di φ non per come possono essere espressi, ma solo per quale tipo di significato hanno i loro valori, o piuttosto, per come i fatti che i loro valori asseriscono di essere in relazione con i loro argomenti. Così includo le funzioni che non possono proprio essere da noi espresse del tutto, tranne solo elementarmente, ma solo per essere un sistema simbolico infinito . E qualsiasi funzione formata da generalizzazioni essendo effettivamente predicativa, non vi è più alcuna necessità di un Assioma di Riducibilità.

Resta da dimostrare che il mio concetto di funzioni predicativi non determini alcuna contraddizione. Le contraddizioni principali, come ho già detto in precedenza, contengono tutti alcune parole come “significa” , e devo dimostrare che queste sono causate da un’essenziale ambiguità di tali parole e non a qualche debolezza nella nozione di funzione predicativa.

Prendiamo per prima la contraddizione di Weyl su ‘ eterologica ‘ di cui abbiamo parlato nel precedente capitolo. È chiaro che la soluzione proposta lì non ci è più disponibile. Perché, come prima, se R è la relazione del significato tra ‘ φ ‘ e φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , ‘ x è eterologica ‘ è equivalente a ‘ (∃φ ) : xR ( φz circonflesso ) . ~ φx ‘ , l’insieme di φ essendo qui inteso come quello delle funzioni predicative. Allora,

( ∃ Φ ) : xR ( φz circonflesso ) . ~ φx ,

che chiamerò Fx , è essa stessa una funzione predicativa.

Così ‘ F ‘ R ( FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 )

e ( ∃ φ ) : ‘F’ R ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ),

e quindi F ( ‘ F ‘) . ≣ . ~ F ( ‘ F ‘ ) ,

che è una contraddizione. Si vedrà che la contraddizione dipende essenzialmente dal dedurre ( ∃φ ) : ‘ F ‘ R ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) da ‘ F ‘ R ( FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) . Secondo i Principia Mathematica questa deduzione è illegittima perché FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 non è un valore possibile di φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 . Ma se l’insieme di φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 è quello delle funzioni predicative, questa soluzione cade, dal momento che FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 è certamente una funzione predicativa. Ma c’è ovviamente un’altra soluzione possibile – negare a ‘ F ‘ R ( FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) la premessa della deduzione. ‘ F ‘ R ( FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) afferma che ‘F’ significa FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 . Ora, questo è certamente vero per alcuni significati di “significa”, così  per sostenere la nostra negazione di ciò dobbiamo mostrare una certa ambiguità nel significato di significato, e dire che il senso in cui ‘F’ significa FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , vale a dire che ‘ eterologico ‘ significa eterologico, non è il senso denotato con ‘ R ‘ , cioè il senso che si verifica nella definizione di eterologico. Si può facilmente dimostrare che questo è davvero il caso, in modo che la contraddizione è semplicemente dovuta ad una ambiguità nella parola ‘significato’ e non ha nessuna rilevanza per una qualunque matematica.

Prima di tutto, parlare di ‘ F ‘ col significato FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 deve apparire del tutto molto strano secondo il punto di vista della definizione di funzione proposizionale come simbolo essa stessa. Ma l’espressione è semplicemente ellittica. Il fatto che cerchiamo di descrivere in questi termini è che noi abbiamo scelto arbitrariamente la lettera ‘ F ‘ per un determinato scopo , così che ‘ Fx ‘ avrà un certo significato (che dipende da x). Come risultato di questa scelta ‘ F ‘ , precedentemente senza significato, diventa significativa; essa ha significato. Ma è chiaramente una semplificazione impossibile supporre che vi è un singolo oggetto F, che significa ciò. Il suo significare è più complicato di questo, e deve essere ulteriormente approfondito .

Prendiamo il caso più semplice , una proposizione atomica completamente scritta per esteso, ‘ aSb ‘, dove ‘a’ , ‘ b ‘ sono nomi di particolari e ‘ S ‘ il nome di una relazione . Allora ‘a’ , ‘b’ , ‘ S ‘ significano nel modo più semplice i distinti oggetti ‘a’ ‘ b ‘ e ‘ S ‘. Ora supponiamo che definiamo

φx . = . aSx     Per definizione.

Allora ‘ φ ‘ è sostituito con ‘aS ‘ e non  significa un singolo oggetto, ma ha significato in un modo più complicato in virtù di una relazione a tre termini definita tra a e S. Allora possiamo dire ‘ φ ‘ significa aSx^, intendendo con questo che ‘φ’ ha questa relazione tra a e S. Possiamo estendere questo ragionamento per affrontare qualsiasi funzione elementare, cioè il dire che ‘ φ ! ‘ significa φ ! Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 significa che ‘ φ ! ‘ è in relazione in un certo modo con gli oggetti a, b , ecc. , coinvolti in φ ! Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59.

Ma supponiamo ora di prendere un simbolo funzionale non – elementare, per esempio

φ1x : = : ( y) . yRx          Per definizione.

Qui gli oggetti coinvolti nel φ1Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 includono tutti i particolari come valori di y. Ed è chiaro che ‘ φ1’ non è correlato con questi in tutti gli stessi modi come ‘ φ ! ‘ lo è con gli oggetti nel loro modo di significare. Perché ‘ φ ! ‘è in relazione con a,b,  ecc. per l’essere una abbreviazione di un’espressione contenente i nomi di a,b, ecc.

Ma ‘ φ1 ‘ è l’abbreviazione di un’espressione che non contiene ‘a’ , ‘b’ , … , ma contiene solo una variabile apparente, di cui questi possono essere valori. Evidentemente ‘ φ1 ‘ significa ciò che significa in un certo modo diverso e più complicato da quello in cui ‘ φ ! ‘ significa. Naturalmente , proprio come elementare non è realmente una caratteristica della proposizione, questa in realtà non è una caratteristica della funzione; vale a dire , φ1Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 e φ ! Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 può essere la stessa funzione, perché φ1x è sempre la stessa proposizione come φ ! x . Allora ‘ φ1 ‘ , φ ! ‘ avranno lo stesso significato , ma lo significheranno, come abbiamo visto sopra, nel senso del tutto differente nel significato. Analogamente ‘ φ2 ‘ che coinvolge una variabile apparente funzionale avrà un significato in un modo differente e ancora più complicato.1

1 Qui il campo della variabile apparente ‘ φ2 ‘ è l’insieme delle funzioni predicative, non come in Principia Mathematica l’insieme delle funzioni elementari.

Perciò nella contraddizione che abbiamo discusso, se ‘ R ‘, il simbolo della relazione del significato tra ‘ φ ‘ e φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , deve avere un qualsiasi significato preciso, ‘ φ ‘ può essere solo un simbolo di un significato di un certo tipo che significa in un certo modo; supponiamo di limitare ‘ φ ‘ ad essere una funzione elementare assumendo che R sia la relazione tra ‘ φ ! ‘ e φ ! Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 .

Allora ‘ Fx ‘ o ‘ ( ∃ φ ) : xR ( φz circonflesso ) . ~ φx ‘ non è elementare , ma è un ‘ φ2‘ .

Quindi  ‘F’ significa non nel senso di significato indicato con ‘ R ‘ appropriato con ‘ φ !’ , ma in quello appropriato con un ‘ φ2 , così che abbiamo ~ : ‘ F’ R(FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) che,come abbiamo spiegato sopra, risolve la contraddizione per questo caso.

Il punto fondamentale da capire è che la ragione per cui

( ∃ φ ) : ‘ F’R ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 )

può essere vero solo se ‘ F ‘ è una funzione elementare, non è che l’insieme di φ è quello delle funzioni elementari, ma che un simbolo non può avere R per funzione a meno che esso (il  simbolo) sia elementare. La limitazione non deriva da ‘ ∃ φ , ‘ , ma da ‘ R ‘. Le distinzioni di ‘ φ ! ‘ , ‘ φ1, e ‘ φ2 si applicano ai simboli e al modo in cui assumono il significato, ma non a ciò che significano. Pertanto ho sempre (in questa sezione) incluso ‘ φ ! ‘ , ‘ Φ1 ‘ e ‘ φ2 ‘ tra virgolette.

Ma si potrebbe obiettare che questa è una soluzione incompleta; perché presuppone che assumiamo per R la somma delle appropriate relazioni tra, ‘ φ1 , ‘ φ2 e ‘ φ ! ‘ . Allora ‘ F “, dal momento che contiene ancora solo ∃φ, 1 è ancora un ‘ φ2 , e dobbiamo avere in questo caso ‘ F’R ( FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ), che distruggerebbe la nostra soluzione .

1 L’insieme di φ in ∃ φ è quello delle funzioni predicative, includendo tutte le ‘φ1‘, ‘ φ2’ , ecc. , così  non viene alterato cambiando R.

Ma non è così perché la complessità supplementare coinvolta nella nuova R determina che ‘ F ‘ non è un ‘ φ2 ‘, ma un simbolo ancora più complicato. Perché questa nuova R , per la quale ‘ φ2‘R ( φ2Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59), dal momento che’ φ2x ‘ è in qualche forma come (∃ φ ) . f ( φz circonflesso , x ) , in  ( ∃ φ ) . ‘ F’R ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) è coinvolta almeno in una funzione variabile f ( φz circonflesso , x ) di funzioni di particolari, per questo è coinvolta nella nozione della variabile ‘ φ2 ‘ , che è coinvolta nella variabile φ in congiunzione con R. Perché  se qualcosa ha R come funzione predicativa φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59,  φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 deve essere esprimibile sia come una ‘ φ ! ‘ o ‘ φ1 ‘ o ‘ φ2 ‘.

Quindi ( ∃ φ ) . ‘ F’R ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) coinvolge non soltanto la variabile φ(funzione predicativa di un particolare) ma anche una variabile f non evidente (funzione di una funzione di un particolare e di un particolare). Quindi ‘ Fx ‘ o ‘ ( ∃ φ ) : xR ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) . ~ φx ‘non è un ‘ φ2 ‘ , ma quella che possiamo chiamare una ‘ φ3 ‘ , cioè una funzione di particolari che coinvolge una funzione variabile di funzioni di particolari. (Questo, naturalmente , non è la stessa cosa di una ‘ φ3 ‘ nel senso dei Principia Mathematica, 2a edizione ). Quindi ‘ F ha un significato in un modo più complicato tuttavia non incluso in R; e non abbiamo ‘ F ‘ R ( FSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ) , così che la contraddizione scompare.

Quello che appare chiaramente dalle contraddizioni è che non possiamo avere una relazione che include ogni relazione di significato per le funzioni proposizionali. Qualunque cosa noi assumiamo qui c’è tuttavia un modo di costruire un simbolo per dare un significato in modo non incluso nella nostra relazione. I significati di significato formano una totalità illegittima.

Con il processo iniziato qui sopra si ottiene una gerarchia di proposizioni e una gerarchia di funzioni di particolari. Entrambe sono basate sulla gerarchia fondamentale di particolari, funzioni di particolari, funzioni di funzioni di particolari, ecc. Chiameremo una funzione di particolari una funzione di tipo 1; chiameremo una funzione di funzioni di particolari, una funzione di tipo 2, e così via.

Ora costruiamo la gerarchia delle proposizioni come segue :

Proposizioni di ordine 0 (elementari), che non contengono variabili apparenti.

Proposizioni di ordine 1, contenenti una variabile apparente particolare.

Proposizioni di ordine 2, contenenti una variabile apparente variabile i cui valori sono funzioni di tipo 1.

Proposizioni di ordine n, contenenti una variabile apparente i cui valori sono funzioni di tipo n – 1.

Da questa gerarchia si deduce un’altra gerarchia di funzioni, indipendentemente dai loro tipi, secondo l’ordine dei loro valori.

Così funzioni di ordine 0 ( matrici ) non contengono nessuna variabile apparente ;

Così funzioni di ordine 1, contengono una variabile particolare apparente ;

e così via; cioè i valori di una funzione di ordine n sono proposizioni di ordine n. Per questa classificazione i tipi delle funzioni sono senza importanza.

Dobbiamo sottolineare la fondamentale distinzione tra ordine e tipo. Il tipo di una funzione è una caratteristica reale di esso che dipende dagli argomenti che assume; ma l’ordine di una proposizione o di una funzione non è una caratteristica reale, ma quello che Peano chiamava pseudo – funzione. L’ordine di una proposizione è come il numeratore di una frazione. Proprio come da ‘ x = y’ , non possiamo dedurre che il numeratore di x è uguale al numeratore di y, dal fatto che ‘ p ‘ e ‘ q ‘ sono casi della stessa proposizione non possiamo dedurre che l’ordine di’ p ‘ sia uguale a quello di ‘ q ‘. Ciò è stato dimostrato sopra (p. 34) per il caso particolare di proposizioni elementari e non elementari (Ordini 0 e > 0 ), e resta valido ovviamente in generale. L’ordine è solo una caratteristica di un particolare simbolo che è un caso della proposizione o  della funzione.

Mostreremo brevemente come questa teoria risolve le restanti contraddizioni del gruppo B.1

1 Può essere bene ripetere che per le contraddizioni del gruppo A la mia teoria salvaguarda le soluzioni fornite in Principia Mathematica .

( a) ‘ sto mentendo ‘ .

Questo dovremmo analizzarlo come ‘ ( ∃ “p ” , p ): Sto dicendo “p” . ” p” significa p . ~ p ‘. Qui per ottenere un significato definito per significato 1 è necessario limitare in qualche modo l’ordine di ‘p’. Supponiamo ‘ p ‘ essere dell’ordine ennesimo o minore. Allora indicando col simbolo φn  una funzione del tipo n, ‘p’ può essere ( ∃ φn ) . φn + 1n ) .

Quindi ∃ ’ p ‘ implica ∃ φn + 1 , e ‘Io sto mentendo ‘ nel senso di ‘ io sto asserendo una proposizione falsa di ordine n ‘ è almeno di ordine n + 1 e non contraddice sé stessa.

( b) ( 1 ) Il minimo intero non nominabile in meno di diciannove sillabe .

( 2 ) Il minimo ordinale indefinibile.

( 3 ) Il paradosso di Richard.

Tutti questi derivano dalla ambiguità evidente di ‘ nominare ‘ e ‘ definire ‘. Il nome o la definizione è in ogni caso un simbolo funzionale, che è solo un nome o una definizione per significare qualcosa. Il senso per cui significa deve essere dato in modo preciso fissandone l’ordine; il nome o la definizione che coinvolga tutti questi nomi e definizioni saranno di ordine superiore, e questo rimuove la contraddizione. Le mie soluzioni di queste contraddizioni sono ovviamente molto simili a quelle di Whitehead e Russell, la differenza tra queste si verifica solo nelle nostre diverse concezioni dell’ordine delle proposizioni e delle funzioni. Per me proposizioni in sé non hanno ordini; ma sono solo diverse funzioni verità delle proposizioni atomiche – una totalità definita, che dipende da quali proposizioni atomiche ci sono.

1 Quando dico ” ‘p’ significa p” , non intendo che ci sia un singolo oggetto p che significa ‘ p ‘. Il significato di ‘ p ‘ è quello che una di un certo insieme di possibilità si verifichi, e questo significato risulta dalle relazioni di significato dei distinti segni in ‘ p ‘  con gli oggetti reali che li riguardano. Sono queste relazioni di significato che variano con l’ordine di ‘ p ‘. E l’ordine di ‘ p ‘ è limitato non perché p in (∃ p ) è limitato, ma a causa del ‘significato ‘che varia in significato con l’ordine di ‘ p ‘ .

Ordini e totalità illegittime risultano solo con i simboli che usiamo per fornire un simbolo di fatti in modi variamente complicati.

Per riassumere : in questo capitolo ho definito una serie di funzioni predicative che sfuggono alla  contraddizione e ci permettono di fare a meno dell’Assioma di Riducibilità. E ho dato una soluzione delle contraddizioni del gruppo B, che poggia e spiega il fatto che tutte contengono qualche elemento epistemico.

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