Principia Mathematica – Cap. 2 di The Foundation of Mathematics di Frank P. Ramsey

14 Mag

Pacioli_1Riporto di seguito la traduzione del secondo capitolo della prima parte delle opere di F.P. Ramsey,  come pubblicate in The Foundation of Mathematics a cura di R.B. Braithwaite nella sezione I capitolo II, con il titolo Principia Mathematica.

 

II . Principia Mathematica

Nel precedente capitolo ho cercato di spiegare le difficoltà che affronterebbe la teoria che le proposizioni della matematica sono tautologie; in questo dobbiamo discutere la tentata soluzione di queste difficoltà fornite in Principia Mathematica. Cercherò di dimostrare che questa soluzione ha tre importanti difetti, e il resto di questo saggio sarà dedicato ad esporre una teoria modificata dalla quale sono stati rimossi questi difetti.

La teoria dei Principia Mathematica è che ogni classe o aggregato (io uso le parole come sinonimi) è definito da una funzione proposizionale – cioè, consiste dei valori di x per cui ‘ φx ‘ è vera, dove ‘φx ‘ è un simbolo che esprime una proposizione se qualche simbolo di tipo adeguato venga sostituito ad ‘ x ‘. Ciò equivale a dire che ogni classe ha una proprietà definita. Prendiamo la classe costituita da a e b; perché, ci si può chiedere, ci deve essere una funzione φx ^ tale che ‘ φa ‘, ‘φb’ sono vere , ma tutti gli altri ‘ φx falsi ? A questo viene risposto dando come funzione ‘ x = a . v . x = b ‘. Trascuriamo al momento le difficoltà connesse con l’identità, e accettiamo questa risposta; essa ci mostra che ogni classe finita è definita da una funzione proposizionale costruita per mezzo di un’identità; ma per quanto riguarda le classi infinite ci lascia esattamente dove eravamo prima, cioè, senza alcun motivo di supporre che esse siano tutte definite da funzioni proposizionali,  perché è impossibile scrivere una serie infinita di identità. A questo si potrebbe rispondere che una classe ci può essere data soltanto o per enumerazione dei suoi membri, nel qual caso deve essere finita, o dando una funzione proposizionale che la definisce. In modo che non possiamo essere in alcun modo interessati da classi o aggregati infiniti, se tali esistano, che non sono definiti da funzioni proposizionali. 1 Ma questo argomento contiene un errore comune, perché presuppone che, perché non possiamo considerare un oggetto individualmente, non possiamo avere alcun interesse su questo. Quindi, anche se una classe indefinibile infinita non può essere citata per sé, è comunque coinvolta in qualsiasi formulazione che inizia ‘Tutte le classi’ o ‘C’è una classe tale che’, e se si escludono le classi indefinibili il significato di tutte queste formulazioni sarebbe fondamentalmente alterato.

1 Per brevità chiamerò «classi indefinibili ‘ tali classi .

E’ una questione empirica se esistono classi indefinibili o meno; entrambe le possibilità sono perfettamente ammissibili. Ma anche se, in realtà , tutte le classi sono definibili, non possiamo nella nostra logica identificare le classi con le classi definibili senza distruggere l’apriorità e la necessità che è l’essenza della logica. Ma nel caso qualcuno pensi ancora che per classi intendiamo classi definibili, e da ‘ C’è una classe ‘ , ‘ C’è una classe definibile ‘, consideri la seguente spiegazione. Questa spiegazione non riguarda esattamente questo problema, ma il problema corrispondente per due variabili – l’esistenza di relazioni in estensione non definibili per funzioni proposizionali di due variabili. Ma questo problema è chiaramente così simile all’altro che le risposte ad entrambi devono essere le stesse.

Si consideri la proposizione ‘Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( φx ) sm Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( ψx ) ‘ ( cioè la classe definita da φ Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ha lo stesso cardinale di quella definita dalla ψ Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ); questo è definito per indicare che vi è una relazione biunivoca in estensione il cui dominio è Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( φx ) e il cui dominio inverso è Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( ψx ) . Ora, se per relazione in estensione intendiamo una relazione in estensione definibile, ciò significa che due classi hanno lo stesso cardinale solo quando vi è una relazione reale o funzione f ( x , y ) che determinano una correlazione tra loro termine per termine. Invece evidentemente quello che intendeva Cantor, che per primo ha dato questa definizione, era semplicemente che le due classi erano tali da poter essere correlate, non che ci deve essere una funzione proposizionale che effettivamente le mettesse in correlazione.1 Così le classi di angeli maschio e femmina possono essere infinite e in numero uguale, in modo che sarebbe possibile accoppiarle completamente tra maschio e femmina, senza che vi sia alcuna relazione reale come il matrimonio che le metta in correlazione. La possibilità di classi indefinibili e relazioni in estensione è una parte essenziale del modo di essere estensionale della matematica moderna, che ho sottolineato nel capitolo I, e che è stata trascurato nei Principia Mathematica ed è il primo dei tre grandi difetti di quest’opera. L’errore si verifica non avendo una proposizione primitiva che afferma che tutte le classi sono definibili, ma dando una definizione di classe che si applica solo alle classi definibili, in modo che tutte le proposizioni matematiche su alcune o su tutte le classi vengono fraintesi.

1 Cf . W. E. Johnson , Logic Part II (1922), p. 159.

Questa errata interpretazione non è solo discutibile nella sua formulazione nel modo generale, ma è particolarmente perniciosa in relazione con l’Assioma Moltiplicativo, che è una tautologia se correttamente interpretato, ma quando frainteso dopo la modalità dei Principia Mathematica diventa una proposizione empirica significativa, che non vi è alcuna ragione di supporre vera. Questo sarà mostrato nel capitolo V.

Il secondo difetto dei Principia Mathematica rappresenta un fallimento per non superare, come il primo, le difficoltà sollevate dall’estensionalità della matematica, ma quelle sollevate dalle contraddizioni discusse alla fine del capitolo I. Si è proposto di togliere queste contraddizioni da quella che è chiamata la Teoria dei Tipi, che consiste in realtà di due parti distinte dirette rispettivamente contro i due gruppi di contraddizioni. Queste due parti sono state unificate dall’essere entrambe dedotte in modo piuttosto sciatto dal ‘ principio del circolo vizioso ‘, ma mi sembra essenziale considerarle separatamente.

Le contraddizioni del gruppo A sono rimosse sottolineando che una funzione proposizionale significativa non può prendere se stessa come argomento, e dividendo le funzioni e le classi in una gerarchia di tipi in base ai loro possibili argomenti. Pertanto, l’affermazione che una classe è un membro di se stesso non è né vero né falso, ma privo di significato . Questa parte della teoria dei tipi mi sembra indiscutibilmente corretta, e io non la discuto ulteriormente.

La prima parte della teoria, poi, distingue i tipi di funzioni proposizionali in base ai loro argomenti; così ci sono funzioni di particolari, funzioni di funzioni di particolari, e così via . La seconda parte pensata per soddisfare il secondo gruppo di contraddizioni richiede ulteriori distinzioni tra le diverse funzioni che assumono gli stessi argomenti, per esempio tra le diverse funzioni di particolari. La seguente spiegazione di queste distinzioni si basa sulla Introduzione alla seconda edizione dei Principia Mathematica.

Cominciamo con proposizioni atomiche, che sono state illustrate nel capitolo I. Da queste mediante la barra (p / q = non entrambe p e q sono vere) possiamo costruire qualsiasi funzione verità di un numero finito di proposizioni atomiche come argomenti. L’assemblaggio delle proposizioni così ottenute è chiamato proposizioni elementari. Sostituendo una variabile con il nome di un particolare in una o più delle sue occorrenze in una proposizione elementare si ottiene una funzione elementare di particolari. Una funzione elementare di particolari, ‘ φ Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , ‘ è quindi una i cui valori sono proposizioni elementari, cioè, funzioni verità di un numero finito di proposizioni atomiche. Tali funzioni sono state chiamate, nella prima edizione dei Principia Mathematica, funzioni predicative. Parleremo di queste con un loro nuovo nome, e nel prossimo capitolo useremo ‘ la funzione predicativa ‘ in un nuovo e originale significato, che mi sembra più appropriato. In generale, una funzione elementare o matrice di una o più variabili, siano esse particolari o meno, è una i cui valori sono proposizioni elementari. Le matrici sono denotate da un punto esclamativo dopo il simbolo funzionale . Così ‘ F ! ( fi circonflesso ! z circonflesso , psi circonflesso !z circonflesso , Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y circonflesso) ‘ è una matrice con due particolari e due funzioni elementari di particolari come argomenti .

Da una funzione elementare ‘ φ ! Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ‘ si ottengono, come nel Capitolo I , le proposizioni ‘ ( x ) . φ ! x ‘ e ( ∃x ) . φ ! x’ che rispettivamente affermano la verità di tutti e di almeno uno dei valori di ‘φ ! x’. Analogamente da una funzione elementare di due particolari φ ! (Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ,y circonflesso ) otteniamo funzioni di un particolare come ( y) . Φ ! (Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y ) , (∃ y ) . φ ! ( Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 , y ) . I valori di queste funzioni sono proposizioni come ( y) φ ! (a, y) che non sono proposizioni elementari; quindi le funzioni stesse non sono funzioni elementari. Tali funzioni, i cui valori derivano dalla generalizzazione di una matrice i cui valori tutti sono particolari, sono chiamati funzioni di primo ordine, e scritte φ1Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59.

Supponiamo che a sia una costante. Allora ‘ φ ! a ‘ Indicherà per i vari valori di φ tutte le varie proposizioni elementari ” φ ” , di cui a è un costituente. Possiamo quindi formare le proposizioni (φ) . φ ! a, (∃ φ ) . ! φa che affermano rispettivamente la verità di tutte, e di almeno una dell’assemblaggio di proposizioni di cui sopra. Più in generale possiamo affermare scrivendo ( φ ) . F ! ( !  φz circonflesso ) , ( ∃φ ) . F ! ( φ ! z circonflesso ). Tali proposizioni non sono evidentemente elementari, in modo che una funzione come ( φ ) . F ! ( φ ! z circonflesso , x ) non è una funzione elementare di x. Tale funzione che coinvolge la totalità delle funzioni elementari si dice del secondo ordine e scritta φ2x . Con l’adozione della nuova variabile φ2 ” otterremo altre nuove funzioni

( φ2 ) . f ! ( φ2 z circonflesso , x ) , ( ∃ φ2 ) . f ! ( φ2z circonflesso , x ) ,

che ancora non sono tra valori perfi circonflesso2  x (dove φ2 è l’argomento), perché la totalità dei valori di φ2 z circonflesso , che ora è coinvolto , è diversa dalla totalità dei valori di φ ! z circonflesso , che precedentemente era coinvolta. Per quanto possiamo allargare il significato di φ, una funzione di x in cui si verifica φ come variabile apparente ha un significato corrispondentemente allargato, in modo tale che, comunque φ può essere definita , ( φ ) . f ! ( φz circonflesso , x ) e (∃ φ ) . f ! ( φz circonflesso , x ) non possono mai essere valori di φx. Il tentare di renderli così è come cercare di prendere la propria ombra. È impossibile ottenere una variabile che abbraccia fra i suoi valori tutte le possibili funzioni di particolari. ” 1

1 Principia Mathematica, 1, 2a ed ., (1925), p. XXXIV.

Per il modo in cui viene utilizzata la distinzione di funzioni in ordini di cui non è possibile usarne la totalità al fine di sfuggire alle contraddizioni del gruppo B, che sono evidenziate come derivanti dalle ambiguità del linguaggio che non ammette questa distinzione, si può fare riferimento ai Principia Mathematica.1 Qui può essere sufficiente applicare il metodo a una contraddizione non data in quell’opera che è particolarmente priva di elementi poco significativi: voglio dire la contraddizione di Weyl riguardante ” eterologo ‘, 2 che deve ora essere spiegata. Alcuni aggettivi hanno significati che sono predicati della parola stessa aggettivo, così la parola ‘ breve ‘ è breve , ma la parola ‘ lungo ‘ non è lunga . Chiamiamo gli aggettivi i cui significati sono predicati di essi, come ‘ corto ‘ , autologici , gli altri eterologici . Ora è eterologico ‘ eterologico ‘ ? Se lo è, il suo significato non è un predicato di esso, cioè , non è eterologico . Ma se non è eterologico , il suo significato è un predicato di esso, e quindi è eterologico. Quindi abbiamo una assoluta contraddizione.

Secondo i principi di Principia Mathematica questa contraddizione verrebbe risolta nel modo seguente. Una parola aggettivo è il simbolo per una funzione proposizionale, ad esempio, ‘ φ ‘ per φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59. Sia R la relazione di significato tra ‘ φ e ‘ φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ‘. Allora ‘ w è eterologica ‘ è ‘ ( ∃ φ ) . wR (φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59) . ~ φw ‘. In questo , come abbiamo visto, la variabile apparente φ deve avere un intervallo definito di valori (ad esempio la gamma delle funzioni elementari ) , di cui Fx = : . (∃ Φ ) :  xR (φx^). ~ φx non può essere membro di sé stessa. In modo che ‘ eterologico ‘ o ‘ F ‘ non è di per sé un aggettivo nel senso in cui lo è ‘ φ ‘. Non abbiamo ( ∃ φ ) . ‘ F’R ( φSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ), perché il significato di’ F ‘ non è una funzione inclusa nell’insieme di ‘ φ ‘. Così che quando eterologico e autologico siano definite in modo non ambiguo, ‘ eterologico ‘ non è un aggettivo nel senso in esame, e non è né eterologico né autologico, e non vi è nessuna contraddizione.

1 Principia Mathematica, 1, 1a ed., (1910), p. 117.

2 Weyl, Das Kontinuum, p. 2.

Così questa teoria di una gerarchia di ordini di funzioni di particolari sfugge alle contraddizioni; ma ci getta in una altrettanto seria, perché rende non validi molti importanti argomenti matematici che sembrano contenere esattamente la stessa fallacia come le contraddizioni. Nella prima edizione dei Principia Mathematica è stato proposto di giustificare queste argomentazioni con un particolare assioma, l’Assioma di Riducibilità, che affermava che per ogni funzione non elementare c’è una equivalente funzione elementare. 1 Non c’è ragione per ritenere vero questo assioma; e, se fosse vero, questo sarebbe un caso favorevole e non una necessità logica, perché non è una tautologia. Questo verrà mostrato concretamente nel Capitolo V; ma per il momento dovrebbe essere sufficiente che esso non sembra essere una tautologia e che non vi è alcun motivo di ritenere che sia una tautologia. Una tale assioma non ha posto nella matematica, e tutto ciò che non può essere provato senza l’utilizzo di esso non può essere considerato del tutto come dimostrato.

Vale forse la pena, tra parentesi, notare un punto che a volte è omesso. Perché, ci si può chiedere, l’Assioma di Riducibilità non riproduce le contraddizioni che la distinzione tra funzioni elementari e le altre funzione eviterebbe ? Perché essa afferma che per qualsiasi funzione non elementare esiste una funzione elementare equivalente, e così apparirebbe di aver perso di nuovo ciò che era stato guadagnato facendo la distinzione. Questo non è, tuttavia, il caso, dovuto alla natura peculiare delle contraddizioni in questione; perché, come si è detto in precedenza, questa seconda serie di contraddizioni non sono puramente matematiche, ma coinvolgono tutte le idee di pensiero o di significato, in rapporto alle quali le funzioni equivalenti funzioni (nel senso di equivalente come spiegato sopra) non sono intercambiabili; per esempio, uno può indicare mediante o una certa parola o un certo simbolo, ma non l’altro, e uno può essere definibile, e non l’altro. 2

1 Due funzioni sono chiamate equivalenti quando gli stessi argomenti le rendono entrambe vere o entrambe false. (Umfangsgleich tedesco).

2 il dr. L. Chwistek sembra aver trascurato questo punto che, se una funzione è definibile, la funzione elementare equivalente non occorre che sia anche definibile nei termini di simboli dati. Nel suo articolo ” Uber die Antinomiem de Prinzipien der Mathematik ” in Math. Zeitschrift, 14, (1922), pp. 236-243, egli denota con S una relazione molti – uno fra i numeri naturali e le classi definite dalle funzioni definibili in termini di certi simboli. Essendo φz circonflesso una funzione non – elementare di questo tipo, egli conclude che ci deve essere un n tale che nSz circonflesso ( φz ) . Questo è, tuttavia, un errore, poiché nSz circonflesso ( φz ), significa per definizione (∃ ψ ) : ψ ! x ≣ x φx . nS (ψ ! z circonflesso )

e poiché ψ ! z circonflesso non è necessariamente definibile nei termini dei simboli dati, non c’è motivo per essere tale per ogni n.

D’altra parte , qualsiasi contraddizione puramente matematica che nasce dalla confusione di funzioni elementari e funzioni non elementari sarebbe ripristinata dall’Assioma di Riducibilità, a causa della natura estensionale della matematica, in cui le funzioni equivalenti sono intercambiabili. Ma una tale contraddizione non ha mostrato di verificarsi, in modo che l’ assioma di riducibilità non sembra essere auto – contraddittorio. Queste considerazioni mettono in evidenza chiaramente la particolarità di questo secondo gruppo di contraddizioni, e rendono ancora più probabile che abbiano una soluzione psicologica o epistemologica e non puramente logica o matematica; così che qui ci sarebbe qualcosa di sbagliato nella valutazione della questione proposta in Principia.

I principali metodi matematici che sembrano richiedere l’Assioma di Riducibilità sono l’induzione matematica e la sezione Dedekindiana, le basi essenziali dell’aritmetica e dell’analisi rispettivamente. Russell è riuscito a fare a meno dell’assioma nel primo caso, 1 ma non offre speranza di un simile simile successo nel secondo. La sezione dedicata a Dedekind è quindi lasciata come un metodo essenzialmente imperfetto, come è stato spesso sottolineato da Weyl, 2 e l’analisi ordinaria si sbriciola in polvere. Che queste siano le sue conseguenze è il secondo difetto nella teoria dei Principia Mathematica, e, a mio avviso, una prova assolutamente inconfutabile che c’è qualcosa di sbagliato. Per quanto possa né accettare l’ Assioma di Riducibilità, né rifiutare l’analisi ordinaria, non posso credere in una teoria che mi si presenta senza una terza possibilità .

1 Cfr. Principia Mathematica , I, 2a ed., (1925), Appendice B.

2 Cfr. H. Weyl, Das Kontinuum e ” Uber die neue Grudlagenkrise der Mathematik ” Math. Zeitschrift, 10 (1921), pp. 39-79.

Il terzo grave difetto in Principia Mathematica è il trattamento dell’identità. È opportuno precisare che ciò che si intende è l’identità numerica, identità nel senso di contare come uno, non come due elementi. Di questa  viene data la seguente definizione:

‘ x = y . = : (φ) : φ ! x. ⊃. φ ! y : Per definizione ‘1

Cioè, due oggetti sono identici se hanno tutte le loro proprietà elementari in comune.

In Principia questa definizione si  afferma dipendere dall’Assioma di Riducibilità, perché, a parte questo assioma, due oggetti potrebbero avere tutte le loro proprietà elementari in comune, ma anche discordare per quanto riguarda le funzioni di ordine superiore, nel qual caso non potrebbero essere considerati numericamente identici. 2 Anche se , come vedremo , la definizione deve essere respinta su altre basi, non credo che dipenda in questo modo dall’Assioma di Riducibilità. Perché anche respingendo l’Assioma di Riducibilità distrugge l’ evidente prova generale che due cose che concordano in relazione a tutte le funzioni elementari concordano anche nei confronti di tutte le altre funzioni, penso che questo anche seguirebbe e probabilmente sarebbe provato

in qualsiasi caso particolare.

1 13.01

2 Principia Mathematica, I, 1a ed. (1910), 177.

 

Per esempio, prendiamo le tipiche funzioni del secondo ordine

 

( φ ) . f ! ( φ ! z circonflesso , x ) , ( ∃ φ ) . f ! ( φ ! z circonflesso , x )

Quindi , se abbiamo ( φ ) : φ ! x . ≣ . φ ! y       ( x = y ) ,

ne consegue che ( φ ) : f ! ( φ ! z circonflesso , x ) . ≣ . f ! ( φ ! z circonflesso , y) , perché f ! ( φ ! z circonflesso, x ) è una funzione elementare di x. Da cui

( φ ) . f ! ( φ ! z circonflesso , x ) : ≣ : ( φ ) . f ! ( φ ! z circonflesso , y)

e

( ∃ φ ) . f ! ( φ ! z circonflesso , x ) : ≣ : ( ∃φ ) . f ! ( φ ! z circonflesso, y) .

 

Quindi rifiutando l’Assioma di Riducibilità non porta immediatamente al rigetto della definizione dell’identità .

La vera obiezione a questa definizione dell’identità è la stessa che ci ha spinto contro la definizione di classi come classi definibili: che è un errore di interpretazione in quanto non definisce il significato con cui viene effettivamente utilizzato il simbolo di identità. Questo può essere facilmente osservato nel seguente modo: la definizione risulta autocontraddittoria per due oggetti che hanno tutte le loro proprietà elementari in comune. Eppure questo è davvero veramente possibile, anche se, in effetti, non si verifica mai. Prendete due oggetti, a e b . Allora non vi è nulla di auto contraddittorio in a che ha un qualsiasi insieme autocoerente di proprietà elementari, né in b che ha questo insieme, né ovviamente in a e b che lo abbiano, né quindi in a e b che abbiano tutte le loro proprietà elementari in comune. Quindi, dal momento che questo è logicamente possibile, è essenziale disporre di un simbolismo che ci permette di considerare questa possibilità e non escluderla per definizione .

È inutile sollevare l’obiezione che non è possibile distinguere due cose che hanno tutte le loro proprietà in comune, dal momento che il dare loro nomi diversi implicherebbe che avrebbero le differenti proprietà di avere quei nomi. Infatti, anche se questo è perfettamente vero – vale a dire , non posso, per le ragioni esposte, conoscere qualsiasi due oggetti particolari indistinguibili – ma posso benissimo prendere in considerazione la possibilità, o anche sapere che ci sono due oggetti indistinguibili senza sapere che esistano. Per prendere in considerazione una situazione analoga: dal momento che ci sono più persone sulla terra rispetto ai capelli sulla testa di una persona qualsiasi, so che ci devono essere almeno due persone con lo stesso numero di capelli, ma non so di quali persone si tratti.

Questi argomenti sono rafforzati dalla scoperta di Wittgenstein che il segno di identità non è un  necessaria componente della notazione logica, ma può essere sostituito dalla convenzione che segni differenti debbano avere significati differenti. Questo può essere trovato nel Tractatus logico-philosophicus, p. 139; la convenzione è leggermente ambigua, ma può essere reso precisa, ed è altresì praticabile, anche se generalmente scomoda. Ma anche se non avesse nessun altro valore, fornisce una prova efficace che l’identità può essere sostituita da una convenzione simbolica, e non è quindi una vera funzione proposizionale, ma semplicemente un espediente logico.

Concludiamo, quindi, che il trattamento dell’identità in Principia Mathematica è un fraintendimento della matematica, e proprio come la definizione errata di classi è particolarmente sfortunata in connessione con l’Assioma Moltiplicativo, così la definizione errata di identità è particolarmente fuorviante per quanto riguarda l’Assioma dell’Infinito; perché le due proposizioni ‘ Ci sono un numero infinito di oggetti ‘ e ‘ Ci sono un numero infinito di oggetti diversi tra loro per quanto riguarda le funzioni elementari ‘ sono, come vedremo nel Capitolo V, estremamente differenti tra loro.

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