The Foundations of Mathematics di F.P. Ramsey curato da R.B. Braithwaite

3 Mag

copertina 1

 

 

 

Propongo la traduzione di questi appunti editi e curati da Braithwaite per l’importanza che rivestono nella storia dell’ingegneria della conoscenza e per l’indubbio interesse che può suscitare un pensatore di queste caratteristiche per la precisione e la lucidità delle valutazioni. Inoltre sarebbe ora che si riscoprisse la filosofia del “Realismo” che appare largamente condivisibile in termini scientifici ed in grado di sgomberare il campo della scienza dai falsi profeti della filosofia della scienza di origine tedesca che conducono a contraddizioni o false certezze se non a ideologie non democratiche.

In questa parte pubblichiamo:

L’indice

La prefazione di Moore

L’introduzione del curatore Braithwaite

La bibliografia di Ramsey come riportata nel testo

Le note al simbolismo predisposte da Braithwaite

Il capitolo I delle “published papers”

 

PREFAZIONE

 

L’autore dei documenti raccolti in questo volume mi sembra che coniughi brillantezza del tutto eccezionale, con grandissima solidità di giudizio in filosofia. Egli era uno straordinariamente chiaro pensatore: nessuno ha potuto evitare più facilmente di lui il tipo di confusione di pensiero di cui anche i migliori filosofi sono responsabili, e lui era capace di apprendere in modo chiaro, e osservando costantemente, le distinzioni più sottili. Ha avuto, inoltre, un potere eccezionale di trarre conclusioni da una serie complessa di fatti: poteva vedere ciò che segue da questi presi tutti insieme, o almeno quello che potrebbe seguire, nei casi in cui altri non potrebbero trarre una qualunque conclusione. E , con tutto questo, ha prodotto l’impressione di possedere anche il più sano buon senso: la sua sottigliezza e ingegno non lo portano, come sembra aver portato alcuni filosofi, a negare fatti evidenti. Aveva, inoltre, così mi sembrava, un eccellente senso delle proporzioni: poteva vedere di quali problemi fosse il più fondamentale, ed era questo in cui era molto interessato e che egli era molto ansioso di risolvere. Per tutte queste ragioni, e forse anche per altre altrettanto, ho quasi sempre sentito, riguardo a qualsiasi argomento di cui abbiamo discusso, che ha capito molto meglio di me, e dove (come era spesso il caso) non è riuscito a convincermi, io generalmente ho pensato che la probabilità era che aveva ragione lui ed io in errore, e che il mio mancato accordo con lui era dovuto alla mancanza di capacità mentale da parte mia .

Ramsey non era solo eccezionalmente in grado di pensare con chiarezza se stesso; aveva anche una capacità più rara di spiegare chiaramente agli altri ciò che pensava e perché lo pensava. Ci sono molti buoni esempi in questo volume della sua grande capacità di esposizione lucida . Ma a volte sento che non riesce a spiegare le cose chiaramente come avrebbe potuto fare, semplicemente perché non tiene conto che ogni spiegazione è necessaria: non si rende conto che ciò che a lui sembra perfettamente chiaro e semplice può agli altri, meno dotati, offrire molti enigmi. Devo confessare che io personalmente trovo spesso una difficoltà di comprendere del tutto chiaramente cosa intende, nei casi in cui non sembra di essere a conoscenza che qualche difficoltà di qualche tipo si potrebbe trovare. Senza dubbio, in molti di questi casi, alcuni lettori lo capiranno senza difficoltà; ma ho il sospetto che molti saranno nella mia situazione. Nelle ultime due sezioni del volume (le note del 1928 e 1929), dove stava scrivendo soprattutto per se stesso e non dettagliatamente e non spiegando come avrebbe fatto se stesse scrivendo per la pubblicazione, la difficoltà di seguirlo con adeguata comprensione è naturalmente particolarmente grande. Ma anche dove non lo potete capire completamente spesso è possibile capirlo abbastanza da trovarlo di straordinario interesse; e sono convinto che valga la pena di cercare di capirlo. Non c’è dubbio che a volte può fare semplici errori; ma in generale penso che lui sapeva molto bene di cosa si trattava, e, anche se si era sbagliato, aveva ottime ragioni per le opinioni a cui era giunto. Si tratta di una grande disgrazia che la sua morte prematura gli impedì di esporre queste opinioni, e le ragioni di queste, chiaramente come lui, e forse solo lui, le avrebbe espresse.

G. E. MOORE.

Dicembre 1930.

INTRODUZIONE DEL REDATTORE

FRANK PLUMPTON RAMSEY nacque il 22 Febbraio 1903 , e morì il 19 gennaio 1930. Il figlio del presidente del Magdalen, ha trascorso quasi tutta la sua vita a Cambridge , dove è stato successivamente Studente del Trinity, Fellow del King e Docente di Matematica presso l’Università. La sua morte al culmine delle sue capacità priva Cambridge di una delle sue glorie intellettuali e la filosofia contemporanea di uno dei suoi pensatori più profondi .

Benché l’insegnamento della matematica fosse la professione di Ramsey, la filosofia era la sua vocazione. Educato alla logica dei Principia Mathematica, egli fu tra i primi a vedere l’importanza del lavoro del Dott. Wittgenstein (nella traduzione a cui ha dato assistenza); e le sue pubblicazioni sono state basate in gran parte su questo. Ma i saggi precedentemente non stampati e gli appunti raccolti in questo volume lo mostrano muoversi verso una sorta di pragmatismo, e il trattato generale sulla logica su cui in diversi momenti si era impegnato era di avere trattato la verità e la conoscenza come fenomeni puramente naturali da essere spiegati psicologicamente senza ricorrere a relazioni tipicamente logiche. La filosofia di Ramsey, però, era sempre empirica e sperimentale – la sua calma nel distruggere idee appena nate spesso stupì i suoi amici – e le carte che in questo volume sono pubblicate importanti in sé stesse e come promettenti a condurre ad operare in analoghe direzioni e non come l’esposizione di un coerente e completo sistema filosofico .

La sottigliezza e la fertilità del lavoro filosofico di Ramsey come mostrate qui non hanno bisogno di pubblicità; ma dal momento che i suoi due articoli di economia matematica non sono inclusi, ho ottenuto il permesso di J.M. Keynes ‘ di citare la sua comunicazione in The Economic Journal di marzo 1930 : –

” La morte all’età di 26 anni di Frank Ramsey è una pesante perdita – anche se i suoi interessi primari sono stati nella Filosofia e nella Logica Matematica – per la teoria pura della scienza economica.

Dalla tenera età, circa 16 anni credo, la sua mente precoce era intensamente interessata a problemi economici.

Gli economisti che vivono a Cambridge si erano abituati dai suoi tempi universitari a provare le loro teorie sull’acuto filo delle sue facoltà critiche e logiche. Se egli avesse seguito la via più facile di mera inclinazione, io non sono sicuro che non avrebbe scambiato gli esercizi tormentosi dei fondamenti del pensiero e della psicologia, in cui la mente cerca di acchiappare la propria coda, per le deliziose vie del nostro ramo più gradevole delle scienze morali, in cui teoria e realtà, immaginazione intuitiva e giudizio pratico, si fondono in un modo soddisfacente per l’intelletto umano .

” Quando discese dalle sue altezze di pietra abituali, egli viveva ancora senza fatica in una atmosfera più rarefatta rispetto a quella che la maggior parte degli economisti si preoccupano di respirare, e ha gestito l’apparato tecnico della nostra scienza con la semplice grazia di uno abituato a qualcosa di molto più difficile. Ma ha lasciato dietro di sé in stampa (a parte i suoi articoli di filosofia) solo due testimonianze delle sue capacità – i suoi articoli pubblicati  in The Economic Journal in ‘ Un contributo alla teoria della tassazione ‘ marzo 1927 , e in ‘ Una teoria matematica del risparmio ‘ nel dicembre 1928. L’ultimo di questi è, credo , uno dei contributi più notevoli per l’economia matematica mai realizzati, sia per quanto riguarda l’ importanza intrinseca e la difficoltà del suo soggetto, la capacità e l’eleganza dei metodi tecnici utilizzati, e la chiara purezza di illuminazione con cui la mente dello scrittore è sentita dal lettore giocare su questo soggetto. L’articolo è una lettura terribilmente difficile per un economista, ma non è difficile apprezzare come le qualità scientifiche ed estetiche siano combinati in insieme.

“La perdita di Ramsey è, quindi, per suoi amici , per i quali le sue qualità personali unite più armoniosamente con le sue capacità intellettuali,  richiederà un lungo periodo di tempo per dimenticarla.

La sua ingombrante cornice Johnsoniana, la sua spontanea risata gorgogliante, la semplicità dei suoi sentimenti e reazioni, a metà allarmante talvolta e, occasionalmente, quasi crudele nella loro immediatezza e letteralità, la sua onestà mentale e del cuore, la sua modestia, e la sorprendente, facile efficienza della sua macchina intellettuale che si trovava dietro le sue ampie tempie, il volto sorridente, sono state acquisite da noi al culmine della loro eccellenza e prima che il frutto del suo lavoro e della sua vita potesse essere raccolto.”

I saggi raccolti in questo volume si estendono nel tempo dal 1923 al 1929 e presentano lo sviluppo del pensiero di Ramsey dall’età di 20 anni fino alla sua morte. I documenti sulla logica matematica sono posti all’inizio. I, sui fondamenti della matematica, è un tentativo di ricostruire il sistema dei Principia Mathematica in modo che le sue imperfezioni possano essere evitate ma le sue eccellenze mantenute. Con quello che lui chiama una teoria “oggettiva” delle funzioni predicative, Ramsey mostra come le note contraddizioni (sto mentendo, ecc.) possono essere rimosse con l’uso di una Teoria dei Tipi che è più semplice di quella proposto da Bertrand Russell e che rende non necessario assumere un Assioma di Riducibilità al fine di salvare i numeri irrazionali. Inoltre, una “completa estensionalizzazione”, della matematica risolve le difficoltà connesse con l’identità e con l’Assioma Moltiplicativo. Le opere di Ramsey sono quindi nella grande tradizione di Frege , Peano , Whitehead e Russell; e in un certo senso si può dire che completano il loro lavoro sui fondamenti logici della matematica .

In II – un articolo semi-pubblico letto difronte alla  British Association nel 1926 – questo modo di trattare la ” logica ” della matematica è difeso contro il formalismo di Hilbert e l’intuizionismo di Brouwer. La fine di questo documento mostra che Ramsey non era completamente soddisfatto della sua teoria, soprattutto per quanto riguarda l’Assioma dell’Infinito; e nel 1929 si era convertito ad una visione finitista che rifiuta l’ esistenza di un qualsiasi insieme infinito reale e allusioni a questo sono fatte in alcune delle note successive. Il profondo disaccordo di Ramsey con la dottrina di Hilbert della matematica come un gioco con segni privi di significato non gli impedì di dare una buona dose di attenzione al principale dei problemi dei formalisti – che è di trovare un procedimento generale per determinare la coerenza di una formula logica (l’ Entscheidungsproblem) – e III è la soluzione del problema per un insieme di casi particolarmente interessante.

Una percentuale relativamente piccola di lavoro puramente filosofico di Ramsey è stato pubblicato in precedenza. IV si compone di un articolo che nega che ci sia una qualsiasi distinzione definitiva tra particolari e universali , e VI – “Fatti e Proposizioni ” – è l’analisi logica della convinzione. La recensione di Ramsey del libro di Wittgenstein è stampato come appendice.

Questa recensione è stato il primo importante documento filosofico di Ramsey e contiene questioni di grande interesse: ma è stato scritto prima che Ramsey discutesse il libro con il suo autore, e ha ammesso che in molti punti aveva frainteso; così che l’articolo non deve essere preso né come esposizione né come critica dei punti di vista del Tractatus logico-philosophicus stesso.

Tutti i documenti inediti che vengono stampati qui si occupano di temi filosofici. VII è un lungo saggio su Verità e Probabilità scritto alla fine del 1926  gran parte del quale è stato letto al Moral Science Club a Cambridge. Elabora una teoria completamente soggettiva della probabilità e una visione completamente pragmatica dell’induzione.

Ramsey pensava di pubblicare questo saggio separatamente, e si trova in uno stato molto più completo degli altri articoli inediti. Il suo capitolo finale – sulla probabilità nella scienza -non è mai stata scritto. Ho completato il saggio con alcune note su argomenti rilevanti scritte nella primavera del 1928 (VIII). L’ ultima sezione del libro (IX) è costituita da una serie di articoli scritti nell’estate del 1929.

Il primo di questi è un molto serio tentativo di fornire una teoria di teorie e del suo uso nel ragionamento. Seguono una teoria estremamente sottile sulla natura delle proposizioni causali, ulteriori osservazioni sulla probabilità e sulla conoscenza, e una nota sull’essenza della filosofia. Questi saggi, sebbene siano frammentari e abbozzati, mi sembrano visualizzare l’intelligenza di Ramsey nelle sue maggiori capacità.

Il breve articolo stampato come Epilogo è stato letto ad una discussione della società di Cambridge nel 1925: Ramsey non ha cambiato l’atteggiamento verso la vita che egli ha così felicemente e caratteristicamente espresso in questo.

E ‘ di interesse constatare che documenti importanti di Ramsey sono stati omessi da questo volume. Questi sono (1) i due articoli di economia, (2) la maggior parte di un contributo ad un simposio in cui si è occupato principalmente di criticare i precedenti relatori (ma ho ristampato il resto come V), (3) le note per il suo corso annuale di lezioni a Cambridge sui fondamenti della matematica, (4) alcune note su proposizioni generali, la causalità, e la conoscenza scritti nella primavera del 1928 e sostituiti da quelli sugli stessi soggetti dell’estate del 1929 (allusione è fatta in questi a una sua precedente teoria causale), (5) frammenti del 1929 in occasione della sua conversione al finitismo matematico, ulteriori tentativi ad Entscheidungsproblem e frammenti sulle teorie e (6) la bozza dei primi quattro capitoli di un trattato generale sulla logica. Questo lavoro aveva occupato Ramsey intermittentemente durante il 1927 e il 1928, ma era profondamente insoddisfatto di esso, e il materiale preliminare che rimane è piuttosto inadatto per la pubblicazione.

Sono profondamente grato alla signora Lettice Ramsey per il privilegio di correzione di questo libro così come per l’assistenza in ogni fase della sua produzione. Il signor Alister Watson anche che mi ha aiutato molto abilmente nella prova di lettura. I Signori G.H. Hardy, J.M. Keynes, G.E. Moore, M.H.A. Newman , e L. Wittgenstein (con altri di amici di Ramsey ) mi hanno dato preziosi consigli per la scelta degli articoli, anche se io solo sono responsabile per la scelta finale. Le autorità della London Mathematical Society, The Mathematical Association, The Mind Association, e l’Aristotelian Society hanno gentilmente dato il permesso che i documenti precedentemente pubblicati fossero ristampati. In questi e nei documenti pubblicati per la prima volta, ho fatto occasionalmente lievi alterazioni verbali e simboliche per aiutare il lettore. Ma non ho tentato di modificare in qualsiasi misura l’informalità di molte delle note. Né (oltre ad aggiungere una nota sul simbolismo e alcuni riferimenti) ho cercato di alleviare le difficoltà del soggetto. Questo libro è presentato nella speranza che possa stimolare altri a pensare alle cose più difficili del mondo, con po’ di quella semplicità d’animo che ha caratterizzato Frank Ramsey .

R. B. BRAITHWAITE .

CAMBRIDGE .

Giugno e dicembre 1930.

BibliografiaBibliografia 1

 

Note al simbolismo

Note al simbolismo 1

I

I FONDAMENTI DELLA MATEMATICA

PREFAZIONE

PREFAZIONE

Lo scopo di questo lavoro è quello di dare una relazione soddisfacente dei Fondamenti della Matematica secondo il metodo generale di Frege , Whitehead e Russell. Seguendo queste autorità, ritengo che la matematica sia parte della logica, e quindi appartengo a quella che può essere chiamata la scuola logica in opposizione alle scuole formaliste e intuizioniste. Ho quindi assunto i Principia Mathematica come base per la discussione e la modifica; e credo di aver io stesso scoperto come, utilizzando il lavoro di Wittgenstein, può essere reso libero dalle forti obiezioni che hanno causato il suo rifiuto da parte della maggioranza delle autorità tedesche, che hanno abbandonato del tutto la sua linea di approccio.

CONTENUTI

( 1 ) INTRODUZIONE

( 2 ) PRINCIPIA MATEMATICA

( 3 ) FUNZIONI PREDICATIVE

( 4 ) FUNZIONI IN ESTENSIONE

( 5 ) GLI ASSIOMI

 

1 . INTRODUZIONE

In questo capitolo ci occuperemo della natura generale della matematica pura, 1 e come si distingue da altre scienze. Qui ci sono davvero due categorie distinte di cose di cui deve essere dato conto – le idee o i concetti della matematica, e le proposizioni della matematica. Questa distinzione non è né artificiale né inutile, perché la grande maggioranza degli scrittori sull’argomento hanno concentrato la loro attenzione sulla spiegazione dell’una o dell’altra di queste categorie, ed erroneamente supposto che una spiegazione soddisfacente dell’altra seguirebbe immediatamente dalla prima.

1 Nel futuro ‘Matematica’ significherà sempre ‘ matematica pura ‘.

Così la scuola formalista, della quale il rappresentante più eminente è ora Hilbert, si è concentrata sulle proposizioni della matematica , come ‘2 + 2 = 4’ . Hanno asserito che queste siano formule prive di significato da manipolare secondo certe regole arbitrarie, e sostengono che la conoscenza matematica consiste nel sapere quali formule possono essere derivate da quali altre coerentemente con le regole. Tali essendo le proposizioni della matematica, la loro valutazione  dei loro concetti, per esempio il numero 2, ne segue immediatamente.

‘2 ‘ è un segno privo di significato che si verifica in queste formule senza significato. Ma , qualsiasi cosa si possa pensare di questo come una valutazione di proposizioni matematiche, questo è ovviamente come teoria dei concetti matematici senza speranza; perché questi si verificano non solo in proposizioni matematiche, ma anche in quelle della vita quotidiana. Così ‘2 ‘ si verifica non solo in ‘2 + 2 = 4 ‘, ma anche in ‘ è a 2 miglia dalla stazione ‘, che non è una formula senza significato, ma una proposizione significativa, in cui ‘ 2 ‘ non può essere concepito come un segno senza significato. Né ci può essere alcun dubbio che ‘2 ‘ venga usato nello stesso senso nei due casi, perché possiamo usare ‘2 + 2 = 4’ per dedurre da ‘ Si trova a due miglia dalla stazione ferroviaria e a due miglia da Gogs ‘ che ‘ è a quattro miglia da Gogs passando dalla stazione ‘ , in modo che questi significati ordinari di due e di quattro sono chiaramente coinvolti nel ‘2 + 2 + 4 ‘. Così la senza speranza inadeguata teoria formalista è , in qualche misura , il risultato di considerare solo le proposizioni della matematica e trascurare l’analisi dei suoi concetti, sui quali una luce supplementare può essere generata dal loro verificarsi al di fuori della matematica nelle proposizioni della vita quotidiana.

Oltre al formalismo, ci sono due principali atteggiamenti generali sui fondamenti della matematica: quella degli intuizionisti o finitisti, come Brouwer e Weyl nei suoi recenti lavori , e quella dei logici – Frege , Whitehead e Russell. Le teorie degli intuizionisti certamente implicano di rinunciare a molti dei metodi più fecondi di analisi moderni, senza nessun motivo, come sembra a me, tranne che certi metodi non riescano a conformarsi ai loro personali pregiudizi​​. Essi, quindi, non pretendono di dare un fondamento alla matematica come la conosciamo, ma solo per un insieme più ristretto di verità che non è stato ancora chiaramente definito. Restano i logici il cui lavoro è culminato in Principia Mathematica. Le teorie messe in evidenza qui  sono generalmente respinte per ragioni particolari, in particolare le difficoltà apparentemente insormontabili legate all’Assioma di Riducibilità. Ma questi difetti nel dettaglio mi sembrano essere i risultati di un difetto importante in linea di principio, sottolineato per primo da Wittgenstein.

La scuola logica si è concentrata sull’analisi dei concetti matematici, che ha dimostrato di essere definibile in termini di un numero molto limitato di concetti logici fondamentali; e , avendo costruito questa relazione sui concetti della matematica hanno subito dedotto una considerazione sulle proposizioni matematiche – vale a dire, che erano quelle proposizioni vere in cui si presentano solo concetti matematici o logici. Così Russell, in The Principles of Mathematics, definisce la matematica pura come ‘ la classe di tutte le proposizioni della forma “p implica q” , dove p e q sono proposizioni contenenti una o più variabili, le stesse nelle due proposizioni, e né p né q non contiene qualsiasi costante eccetto costanti logiche. 1

1 Russell , The Principles of Mathematics (1903), p. 3

Questa riduzione della matematica alla logica simbolica è stata giustamente descritta da Russell come una delle più grandi scoperte del nostro tempo 1;  ma non era la fine della questione, come egli sembrava supporre, perché era ancora lontano da una concezione adeguata della natura della logica simbolica, a cui la matematica era stata ridotta. Non mi riferisco alla sua semplice teoria che le costanti logiche siano nomi di oggetti reali (che, da allora, ha abbandonato), ma alla sua convinzione che solo debba essere una proposizione di logica o matematica 3 qualsiasi proposizione che possa essere espressa usando termini logici. 2 Penso che la questione si possa rendere chiara descrivendo la classe di proposizioni in questione come le proposizioni completamente generali, evidenziando il fatto che non sono su eventuali oggetti o relazioni particolari, ma su alcuni o tutti gli oggetti e tutte le relazioni. E ‘ davvero evidente che non tutte queste proposizioni sono proposizioni della matematica o della logica simbolica.

Prendete per esempio ‘ due cose qualunque differiscono in almeno trenta modi ‘ , questa è una proposizione assolutamente generale, essa potrebbe essere espressa come una implicazione che coinvolge solo costanti logiche e variabili, e potrebbe anche essere vera. Ma nessuno potrebbe considerarla come una verità matematica o logica; è completamente diversa da una certa proposizione come ‘due oggetti qualsiasi insieme con qualche altri due oggetti fanno quattro, ‘ che è una verità logica e non solo una verità empirica. Secondo la nostra filosofia  noi le consideriamo diversamente chiamando l’una contingente, l’altra una proposizione necessaria, oppure l’una una vera e propria proposizione, l’altra una pura tautologia; ma dobbiamo tutti essere d’accordo che ci sia qualche differenza sostanziale tra le due, e che una definizione delle proposizioni matematiche deve comprendere non solo le generalità assolute, ma pure qualche ulteriore proprietà. Questo è sottolineato, con riferimento a Wittgenstein, nell’Introduzione alla Introduction to Mathematical Philosophy 4 di Russell; ma non vi è alcuna traccia di esso in Principia Mathematica , né Russell sembra aver capito la sua enorme importanza, per esempio, nella considerazione delle proposizioni primitive.

1 Loc . cit . , p . 5.

2 ovvero  variabili e costanti logiche.

3 trascuro qui , come altrove , la condizione arbitraria e banale che la proposizione deve essere della forma ‘ p implica q ‘.

4 p . 205 .

Nel passaggio riferito nell’ Introduction to Mathematical Philosophy, Russell distingue tra proposizioni che possono essere enunciate in termini logici da quelle che logica può affermare essere vere, e dà come ulteriore caratteristica di queste ultime che sono tautologiche con un significato che non può definire. È ovvio che una definizione di questa caratteristica è essenziale per stabilire chiaramente il nostro soggetto, dal momento che il concetto da definire è uno dei lati essenziali delle proposizioni matematiche – il loro contenuto e la loro forma. Il loro contenuto deve essere completamente generale e la loro forma tautologica .

I formalisti  hanno trascurato del tutto il contenuto e rendono la matematica priva di significato matematico, i logici trascurato la forma e realizzano una matematica che consiste di qualsiasi vere generalizzazioni; solo tenendo conto di entrambi gli elementi e considerandola come composta di generalizzazioni tautologiche possiamo avere una teoria adeguata .

Ora dobbiamo spiegare una definizione di tautologia che è stata data da Wittgenstein nel suo Tractatus Logico-Philosophicus e costituisce uno dei più importanti dei suoi contributi alla materia. Nel fare questo non possiamo evitare qualche spiegazione della sua teoria sulle proposizioni in generale.

Dobbiamo iniziare con la nozione di un proposizione atomica 1; questa è quella che non può essere analizzata in termini di altre proposizioni e potrebbe consistere di soli nomi senza costanti logiche. Ad esempio, unendo ‘φ ‘ , il nome di una qualità, ad ‘a’ , il nome di un particolare, e scrivendo, ‘ φa’, abbiamo una proposizione atomica, che afferma che il particolare ha una certa qualità. Quindi, se trascuriamo il fatto che ‘ Socrate ‘ e ‘ saggio ‘ sono simboli incompleti e li consideriamo come nomi, ‘Socrate è saggio’ è una proposizione atomica; ma ‘Tutti gli uomini sono saggi’, ‘Socrate non è saggio’, non sono proposizioni atomiche.

1 Wittgenstein chiama queste ‘proposizioni elementari’, le ho chiamate ‘ atomiche ‘, per seguire Russell che usa ‘ elementare ‘ con un significato diverso .

Supponiamo adesso di avere, ad esempio, n proposizioni atomiche p , q , r, … Per quanto riguarda la loro verità o falsità vi sono al massimo 2n possibilità mutuamente esclusive, che potremmo organizzare in una tabella come questa (T significa verità, e F falsità, e abbiamo preso n = 2 per brevità) .

tabella 1 pag6

Queste 2n possibilità si chiameranno le possibilità di verità delle n proposizioni atomiche. Si potrebbe desiderare di scegliere qualsiasi sottoinsieme di esse, e affermare che esiste una possibilità fuori di questo sottoinsieme, che è, di fatto , realizzata – che è , l’esprimere il nostro accordo con alcune delle possibilità e il nostro dissenso con il resto. Possiamo farlo impostando i segni T e F a fronte delle possibilità con cui siamo d’accordo o in disaccordo, rispettivamente. In questo modo si ottiene una proposizione.

Così  (ad esempio)

tabella 2 pag6

è la proposizione ‘ Né p né q sono vere ‘ , o ‘ p è incompatibile con q’, perché abbiamo ammesso tutte le possibilità tranne la prima che abbiamo non ammessa.

Allo stesso modo

tabella 1 pag7

è la proposizione ‘ se p , allora q ‘.

Una proposizione che esprime accordo e disaccordo con la verità possibili di p , q , … (che è necessario non siano atomiche) viene chiamato una funzione verità degli argomenti p , q , … O, più precisamente, P si dice che sia la stessa funzione verità di p , q … come R è di r, s, … se P esprime accordo con le possibili verità di p, q,  che corrispondono per sostituzione a p con r, q con s, ….. alle possibili verità di r, s, … con cui R esprime accordo . Così ‘ p e q ‘ è la stessa funzione  verità di p , q come ‘ r e s è di r, s essendo in ciascun caso l’unica possibilità consentita che entrambi gli argomenti siano veri. Wittgenstein ha percepito che , se accettiamo questo sistema di funzioni verità che esprimono accordo e disaccordo con le possibilità di verità, non c’è motivo per cui gli argomenti di una funzione verità non dovrebbero essere in numero infinito.1 Dal momento che nessuno scrittore precedente ha ritenuto le funzioni verità capaci di più di un numero finito di argomenti, questa è la più importante innovazione.

1 Così la somma logica di un insieme di proposizioni è la proposizione in cui almeno una dell’insieme è vera, ed è irrilevante che l’insieme sia finito o infinito. D’altra parte, una somma algebrica infinita non è per niente affatto una somma, ma un limite, e quindi non può essere trattata come una somma tranne che sottoponendola ad alcune restrizioni.

Naturalmente se gli argomenti sono infiniti in numero non tutti possono essere enumerati e scritti  separatamente; ma non vi è alcuna necessità per noi di enumerarli se possiamo determinarli in qualsiasi altro modo, come potremmo utilizzando le funzioni proposizionali.

Una funzione proposizionale è un’espressione della forma ‘Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00 ‘ , che è tale che essa esprime una proposizione quando un qualche simbolo (di un certo appropriato tipo logico che dipende da f) è sostituito da ‘Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ‘ . Così ‘Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 è un uomo ‘ è una funzione proposizionale.  Possiamo usare le funzioni proposizionali per raccogliere insieme la gamma di proposizioni che rappresentano tutti i valori della funzione per tutti i possibili valori di x. Così ‘  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    è un uomo ‘ raccoglie insieme tutte le proposizioni’ a è un uomo ‘ , ‘ b è un uomo ‘ , ecc. Avendo ora per mezzo di una funzione proposizionale definito un insieme di proposizioni, possiamo, utilizzando una notazione appropriata affermare la somma logica o il prodotto logico di questo insieme. Così , scrivendo ‘ ( x ) . fx ‘ asseriamo il prodotto logico di tutte le proposizioni della forma ‘ fx’; scrivendo ‘ (∃ x ) . fx ‘ asseriamo la loro somma logica. Così ‘ ( x ) . x è un uomo ‘ significherebbe ‘ ogni oggetto è un uomo ‘; ‘ ( ∃ x ) . x è un uomo‘, ‘ Qui c’è qualcosa  che è un uomo ‘ . Nel primo caso noi ammettiamo solo la possibilità che tutte le proposizioni della forma ‘x è un uomo ‘ siano vere; nel secondo si esclude solo la possibilità che tutte le proposizioni della forma ‘ x è un uomo ‘ siano false.

Così proposizioni generali contenenti ‘ tutti ‘ e ‘ qualche ‘ si è trovato essere funzioni verità, per quegli argomenti che non vengono enumerati, ma forniti in un altro modo. Ma dobbiamo guardarci qui da un potenziale errore. Prendete una certa proposizione come ‘ Tutti gli uomini sono mortali ‘; questo non è come si potrebbe a prima vista supporre il prodotto logico delle proposizioni ‘x è mortale ‘ per certi valori di x che sono gli uomini. Tale interpretazione può essere facilmente dimostrato essere errata ( v., ad esempio, Principia Mathematica, 1 , 1st edizione p. 47 , 2a ed., p. 45 ). ‘ Tutti gli uomini sono mortali ‘ deve essere interpretato nel significato ‘ ( x ) . se x è un uomo , x è mortale ‘  cioè è il prodotto logico di tutti i valori della funzione ‘ se x è un uomo , x è mortale ‘.

Wittgenstein sostiene che tutte le proposizioni sono, nel senso definito, funzioni verità di proposizioni elementari. Questo è difficile da dimostrare , ma per suo proprio merito estremamente plausibile; ciò esprime il concetto che, quando affermiamo qualcosa, stiamo dicendo che esiste una possibilità massima da un certo gruppo di possibilità che si è realizzata, non una delle residue possibilità. Inoltre si applica a tutte le proposizioni che possono essere espresse nel simbolismo dei Principia Mathematica; dal momento che queste vengono costruite da proposizioni atomiche utilizzando in primo luogo congiunzioni come ‘ se ‘ , ‘e’ , ‘o’ , e secondariamente vari tipi di generalizzazioni (variabili apparenti). Ed entrambi questi metodi di costruzione sono stati indicati come metodi che creano funzioni verità.1

1 La forma ‘A crede p ‘ sarà forse suggerita come dubbia. Questo chiaramente non è una funzione verità di ‘ p ‘ , ma può tuttavia essere una di altre proposizioni atomiche.

Da questa indicazione vediamo quando due simboli proposizionali sono da considerare come casi della stessa proposizione – vale a dire , quando esprimono accordo e disaccordo con gli stessi insiemi di possibilità di verità di proposizioni atomiche.

Così nel simbolismo dei Principia Mathematica

‘ p ⊃ :q ∼ p . ⊃. q ‘, ‘ q v: p . ~ p ‘

sono entrambi modi più complicati di scrivere ‘ q ‘ .

Dato un qualsiasi insieme di n proposizioni atomiche come argomenti , vi sono 2n corrispondenti possibilità di verità, e quindi 2 al quadrato elevato a n sottoclassi della loro possibilità di verità, e così 2 al quadrato elevato a n funzioni di verità di n argomenti, uno che esprime accordo con ogni sotto – classe e disaccordo con le restanti. Ma tra questi 2 al quadrato elevato a n ci sono due casi estremi di grande importanza: quello in cui esprimiamo accordo con tutte le possibilità di verità, l’altra in cui esprimiamo accordo con nessuna di esse. Una proposizione del primo tipo è chiamato tautologia, del secondo contraddizione . Tautologie e contraddizioni non sono proposizioni vere, ma casi degeneri. Possiamo, forse, chiarire questo più facilmente prendendo il caso più semplice, quando c’è un solo argomento . La tautologia è

figura 1 pag 10

Questo non afferma davvero assolutamente nulla; non ti lascia più saggio di quello che ti ha trovato. Tu non sai niente circa il tempo , se tu sai che piove o non piove.

La contraddizione è

figura 2 pag10

i.e ‘ p non è né vero né falso ‘.

Questo è chiaramente autocontraddittorio e non rappresenta un possibile stato di cose la cui esistenza potrebbe essere affermata.

Tautologie e le contraddizioni possono essere di tutti i gradi di complessità; per dare altri esempi ‘(x) . φx : ⊃ : φa ‘ è una tautologia , ‘ ~ ( ∃x ) φx : φa ‘ una contraddizione.Evidentemente negando una contraddizione otteniamo una tautologia, e negando una tautologia otteniamo una contraddizione. E ‘ importante vedere che le tautologie non sono semplicemente proposizioni vere, anche se per molti scopi  possono essere trattate come proposizioni vere. Una reale proposizione asserisce qualcosa sulla realtà, ed è vera se la realtà è come è asserito essere. Ma una tautologia è un simbolo costruito in modo da non dire assolutamente nulla sulla realtà, ma per esprimere la totale ignoranza con il concordare con ogni possibilità.

1 Wittgenstein , Tractatus Logico-Philosophicus , 4.461 : La proposizione mostra ciò che dice; la tautologia e la contraddizione, che dicono nulla. La tautologia non ha condizioni di verità, perché è incondizionatamente vera; e la contraddizione è sotto nessuna condizione vera. Tautologia e contraddizione sono prive di senso. (Come il punto onde due frecce divergono in direzione opposta). (Ad esempio non so nulla sul tempo se so che piove o non piove). L.W. Tractatus Einaudi Paperbacks trad. Amedeo G. Conte.

L’assimilazione di tautologie e contraddizioni a proposizioni vere e false rispettivamente risulta dal fatto che tautologie e contraddizioni possono essere presi come argomenti di funzioni verità, proprio come le proposizioni ordinarie, e perché determinando la verità o falsità delle funzioni verità, le tautologie e le  contraddizioni fra i loro argomenti devono essere annoverati veri e falsi rispettivamente. Così, se ‘ t ‘ fosse una tautologia , ‘c’ una contraddizione , ‘ t e p ‘, ‘Se t , allora p’ , ‘c o p ‘ sarebbero la stessa cosa di ‘p’, e ‘ t o p ‘ , ‘ se c, allora p ‘ sarebbero tautologie.

Abbiamo qui, grazie a Wittgenstein , a cui è dovuta l’intera analisi, un significato chiaramente definito di tautologia; ma è questo, ci si può chiedere , il significato in cui abbiamo trovato che la tautologia sia una caratteristica essenziale delle proposizioni della matematica e della logica simbolica ? La questione deve essere decisa dal confronto. Le proposizioni della logica  e le tautologie della matematica hanno il significato dato da Wittgenstein ?

Cominciamo considerando non le proposizioni della matematica, ma quelle dei Principia Mathematica.1 Queste sono ottenute dal processo di deduzione da certe proposizioni primitive, che ricadono in due gruppi – quelle espresse in simboli e quelle espresse in parole. Quelli espresse in parole sono quasi tutte nonsensi secondo la Teoria dei Tipi , e dovrebbero essere sostituite da convenzioni simboliche. Le vere proposizioni primitive, quelle espresse in simboli, sono, con una sola eccezione, tautologie nel senso di Wittgenstein. Così, come il processo di deduzione è tale che da tautologie seguono solo tautologie, se non fosse per un unico difetto l’intera struttura sarebbe composta da tautologie. Il difetto è ovviamente l’Assioma dia Riducibilità, che è , come si vedrà in seguito, 2 una vera e propria proposizione, la cui verità o falsità è una bruta questione di fatto, non di logica.

1 Questa distinzione è fatta solo perché Principia Mathematica potrebbe essere una errata interpretazione della matematica; nei principi penso che sia una cosa corretta.

2 Cfr. capitolo V.

Si tratta, quindi, non di una tautologia in un qualsiasi senso, e la sua introduzione in matematica è imperdonabile. Ma supponiamo che si potesse farne a meno, e i Principia Mathematica fossero modificati di conseguenza, questi sarebbero composti interamente di tautologie con il significato di Wittgenstein. E quindi, se Principia Mathematica è correttamente come fondamento e interpretazione della matematica, è secondo il significato di tautologia di Wittgenstein che la matematica è tautologica.

Ma l’adeguatezza dei Principia Mathematica è una questione di dettaglio; e, dal momento che abbiamo visto che contiene un gravissimo difetto, non si può più essere sicuri che la matematica sia quel genere di cose che Whitehead e Russell suppongono che sia, o quindi che consista di tautologie nel senso di Wittgenstein. Una cosa è però chiara: che la matematica non consiste di vere proposizioni o asserzioni di fatto che siano basate su prove induttive, come è stato proposto di basare l’Assioma della Riducibilità, ma è in un certo senso necessaria o tautologica. Nella vita reale, come dice Wittgenstein , ” non vi è mai una proposizione matematica di cui abbiamo bisogno, ma usiamo proposizioni matematiche solo per dedurre da proposizioni che non appartengono alla matematica ad altre che ugualmente non appartengono alla matematica”.1 Così usiamo ‘2 x 2 = 4 ‘ per dedurre da ‘ ho due penny in ciascuna delle mie due tasche ‘a ‘ Io ho quattro penny in totale nelle mie tasche ‘ . ‘2 X 2 = 4 ‘ non è di per sé una vera proposizione a favore della quale può essere necessaria una prova induttiva, ma una tautologia che può essere vista come tautologica da chiunque possa comprenderne appieno il significato. Quando si procede ulteriormente nella matematica le proposizioni diventano così complicate che non possiamo riscontrare subito che sono tautologiche, e dobbiamo assicurarci di questo deducendole da più evidenti tautologie. Le proposizioni primitive su cui ripiegare alla fine, devono essere tali che nessuna prova andrebbe richiesta per esse , dal momento che sono evidenti tautologie come ‘ se p , allora p ‘.

1 Wittgenstein , op . cit . , 6.211. Nella vita, invero, non è mai la proposizione matematica a servirci: la proposizione matematica l’usiamo solo per concludere da proposizion, che non appartengono alla matematica, ad altre, che parimenti non appartengono ad essa. (Nella filosofia la domanda: «Ma per che scopo usiamo quella parola, quella proposizione?» conduce sempre a preziose intuizioni).  L. W. Tractatus Ed. Einaudi Paperbacks. Trad. Amedeo G. Conte.

Ma le tautologie di cui la matematica consiste possono forse risultare non essere del tipo di Wittgenstein, ma di qualche altro tipo. Il loro principale utilizzo è di facilitare l’inferenza logica; questo si ottiene nel modo più evidente con la costruzione di tautologie nel senso di Wittgenstein, perché se ‘ se p , allora q’ è una tautologia, possiamo logicamente dedurre ‘ q ‘da’ p ‘ , e viceversa, se ‘ q ‘ segue logicamente da ‘ p ‘, ‘ se p , allora q ‘ è un tautologia.1 Ma è possibile che ci siano altri tipi di formule che potrebbero essere utilizzate per facilitare l’inferenza; per esempio, quello che possiamo chiamare identità come ” a = b ‘, che significa che ‘ a ‘ , ‘ b ‘ possono essere sostituiti l’uno dall’altro in qualsiasi proposizione senza alterarla. Non voglio dire senza alterarne la verità o falsità, ma senza alterare quello che è la proposizione. ‘2 + 2 = 4 ‘ potrebbe benissimo essere una identità in questo senso, dal momento che ‘io ho 2 + 2 cappelli ‘e’ io ho 4 cappelli ‘ sono la stessa proposizione, in quanto sono d’accordo o in disaccordo con gli stessi insiemi di massima possibilità di verità.

1 Questo può forse essere reso più chiaro osservando che , se ‘ q ‘ segue logicamente da ‘ p’ , ‘p . ~q ‘ deve essere autocontraddittoria , quindi ‘ ~ ( p. ~ q) ‘ tautologica o ‘p ⊃ q ‘ tautologica.

Il nostro problema successivo è quello di decidere se la matematica consiste di tautologie ( nel significato preciso definito da Wittgenstein, a cui limiteremo in futuro la parola ‘ tautologia ‘ ) o di formule di qualche altro tipo. E’ abbastanza chiaro che la geometria, in cui noi consideriamo certi termini come ‘ punto ‘ , ‘ linea ‘ , con il significato di qualsiasi cosa che soddisfa determinati assiomi, in modo che gli unici termini costanti sono funzioni verità come ‘ o ‘ , ‘ alcuni ‘ , consistono di tautologie . E lo stesso sarebbe vero dell’analisi se consideriamo i numeri come qualsiasi cosa che soddisfa gli assiomi di Peano. Questo punto di vista sarebbe comunque certamente inadeguato, perché dal momento che i numeri da 100 in su nel soddisfare gli assiomi di Peano, non ci darebbero alcun modo di distinguere che ‘Questa equazione ha tre radici ‘ da ‘ Questa equazione ha centotre radici ‘ . Quindi i numeri devono essere definiti non come variabili ma come costanti, e la natura delle proposizioni dell’analisi diventa dubbia.

Credo che siano tautologie, ma la prova di questo dipende dal fornire un’analisi dettagliata di questo, e la confutazione di ogni altra teoria dipenderà dal trovare una difficoltà insuperabile nei dettagli della sua costruzione. In questo capitolo mi propongo di discutere la questione in modo generale, che dovrà inevitabilmente essere piuttosto vaga e insoddisfacente. Io dapprima cercherò di spiegare le grandi difficoltà che una teoria matematica come tautologie deve superare, e poi cercherò di spiegare perché il tipo alternativo di teoria suggerita da queste difficoltà sembra irrimediabilmente impraticabile. Quindi, nei seguenti capitoli tornerò alla teoria che la matematica consiste di tautologie, discuterò e in parte respingerò il metodo per superare le difficoltà dato nei Principia Mathematica, e costruirò un’alternativa e, a mio avviso, una soluzione soddisfacente.

Il nostro primo lavoro è, quindi, le difficoltà della teoria tautologica. Essi nascono da una caratteristica fondamentale di analisi moderna che dobbiamo ora sottolineare. Questa caratteristica può essere chiamato estensionalità, e le difficoltà possono essere spiegate come quelle che noi affrontiamo se cerchiamo di ridurre un calcolo estensionale ad un calcolo di funzioni verità. Qui, naturalmente , stiamo usando ‘ estensione’ nel suo senso logico , in cui l’ estensione di un predicato è una classe, quella di una relazione una classe di coppie ordinate; in modo che nel chiamare la matematica estensionale intendiamo che non si occupa di predicati, ma di classi, non con relazioni nel senso ordinario, ma di possibili correlazioni , o ” relazioni in estensione “, come le chiama Russell. Prendiamo come esempi di questo punto tre concetti matematici fondamentali – l’idea di un numero reale , l’idea di funzione ( di una variabile reale ), e l’idea di somiglianza di classi (nel senso di Cantor ) .

I numeri reali sono definiti come parte dei numeri razionali; qualsiasi parte di numeri razionali è un numero reale , e ci sono 2ℵ0 di questi. Non è necessario che la parte debba essere definita da qualche proprietà o predicato dei suoi membri in ogni ordinario significato di predicato. Un numero reale è dunque una estensione, e può anche essere un’estensione senza corrispondente intensione. Nello stesso modo una funzione di una variabile reale è una relazione in estensione, che non necessita di essere data da qualsiasi relazione reale o formula.

Il punto è forse più evidente nella definizione di Cantor di somiglianza. Due classi si dicono che sono simili (cioè hanno lo stesso numero cardinale ) quando esiste una relazione biunivoca il cui dominio è una classe e il dominio inverso quella dell’altra. Qui è essenziale che la relazione biunivoca deve essere solo una relazione in estensione; è ovvio che due classi possono essere simili, ossia possono essere correlate, senza che vi sia alcuna relazione effettivamente correlandole.

C’è una questione letterale che richiede una menzione qui; io non uso la parola ‘ classe ‘ per definire un principio di classificazione, come la parola suggerirebbe naturalmente, ma per ‘classe’ intendo qualsiasi insieme di oggetti dello stesso tipo logico. Tale insieme, mi pare, può o non può essere definibile mediante enumerazione o come l’estensione di un predicato. Se non è definibile così non possiamo non citarlo per sé stesso, ma solo occuparci di questo per implicazione in proposizioni su tutte le classi o su alcune classi. Lo stesso vale per le relazioni in estensione, per le quali non intendo solo le estensioni di effettive relazioni, ma intendo qualsiasi insieme di coppie ordinate. Che questa è la nozione che si verifica in matematica mi sembra assolutamente chiaro dall’ultimo degli esempi precedenti, la definizione di Cantor di similitudine, dove ovviamente non è necessario per la relazione biunivoca in estensione essere o finita o l’estensione di una effettiva relazione.

La matematica è quindi essenzialmente estensionale, e può essere chiamato un calcolo di estensioni, in quanto le sue proposizioni affermano relazioni tra estensioni. Questo, come abbiamo detto, è difficile ridurlo ad un calcolo di funzioni verità, a cui deve essere ridotto se la matematica è composta di tautologie; perché le tautologie sono funzioni verità di un certo tipo speciale, vale a dire quelle in accordo con tutte le possibilità di verità dei loro argomenti. Possiamo forse più facilmente spiegare la difficoltà con un esempio.

Prendiamo un’affermazione estensionale del tipo più semplice possibile: l’affermazione che una classe include un’altra. Finché le classi sono definite come le classi di cose aventi determinati predicati φ e ψ, non ci sono difficoltà. Che la classe di ψ comprenda la classe di φ significa semplicemente che tutto ciò che è φ è una ψ, che, come abbiamo visto sopra è una funzione verità. Ma abbiamo visto che la matematica ha (almeno apparentemente) a che fare anche con le classi che non sono date da predicati che le definiscono. (Tali classi non si presentano solo quando menzionate separatamente, ma anche in qualsiasi formula riguardante ‘ tutte le classi ‘, ‘ tutti i numeri reali “.) Prendiamo due di tali classi più semplici possibile – la classe ( a, b ​​, c) e la classe (a, b). Allora che la classe (a, b , c ) include la classe (a, b ) è, in senso lato, tautologico e, a parte la sua banalità sarebbe una proposizione matematica; ma non sembra essere una tautologia nel senso di Wittgenstein, cioè un certo tipo di funzione verità di proposizioni elementari. Il modo ovvio di cercare di renderla una funzione verità è quello di introdurre l’identità e scrivere ‘ (a, b ) è contenuta in (a, b , c ) ‘ come ‘ ( x ) : . x = a . v . x = b : ⊃: . x = a . v . x = b . v . x = c ‘ . Questo appare certamente come una funzione verità tautologica, i cui argomenti complessivi sono i valori di ‘ x = a ‘ , ‘ x = b ‘ , ‘ x = c ‘ , cioè proposizioni come ‘ a = a’, ‘ b = a ‘ , ‘ d = a ‘. Ma queste non sono per nulla proposizioni reali, in ‘ a = b ‘ o ‘a’ , ‘b’ sono nomi della stessa cosa, in questo caso la proposizione non direbbe nulla, o di cose diverse, nel qual caso è assurda. In nessuno dei due casi è l’affermazione di un fatto; ma sembra solo essere una vera affermazione per la confusione con il caso in cui ‘a’ o ‘ b ‘ non sono un nome, ma un descrizione.1 Quando ‘a’ , ‘ b ‘ sono entrambi nomi, l’unico significato che può essere assegnato a ‘ a = b ‘ è che esso indica che noi usiamo ‘a’ , ‘ b ‘, come i nomi della stessa cosa o, più in generale , come simboli equivalenti.

La precedente e altre considerazioni hanno portato Wittgenstein al punto di vista che la matematica non consiste di tautologie, ma di quello che lui chiamava ” equazioni “, per la quale preferirei sostituire ‘identità’. Vale a dire, le formule nella forma ‘ a ​​= b ‘ dove ‘ a’, ‘b’ sono simboli equivalenti. C’è una certa plausibilità in questo ragionamento, per esempio , di ‘2 + 2 = 4 ‘ . Poiché ho 2 + 2 cappelli ‘ , ‘ ho 4 cappelli ‘ sono la stessa proposizione, 2  mentre ‘2 + 2 ‘e ‘4’ sono simboli equivalenti. Così com’è posta questa è ovviamente una visione incredibilmente ristretta della matematica, e la limita alla semplice aritmetica; ma è interessante vedere se una teoria della matematica non poteva essere costruita attraverso le identità per la sua costituzione. Ho speso un sacco di tempo a sviluppare tale teoria, e ha scoperto che bisognava affrontare quella che mi sembrava una insuperabile difficoltà. Sarebbe fuori luogo qui dare una dettagliata indagine di questo vicolo cieco, ma cercherò di indicare in modo generale, le ostruzioni che bloccano la sua uscita.

Prima di tutto dobbiamo considerare di quale tipo saranno le preposizioni matematiche in una tale teoria. Supponiamo che il tipo più primitivo sia l’identita ‘ a = b ‘ , che diventa una vera e propria proposizione solo se viene assunto di essere non sugli oggetti che significano ‘ a’, ‘ b’, ma su questi simboli stessi; la matematica consiste quindi di proposizioni costruite su identità con un processo analogo a quello su cui sono costruite le proposizioni ordinarie di elementi atomici; vale a dire, le proposizioni matematiche sono (in questa teoria), in un certo senso, funzioni verità di identità. Forse questa è un’esagerazione, e la teoria potrebbe non asserire che tutte le proposizioni matematiche siano di questa forma, ma è chiaramente una delle forme importanti che supponiamo che si verifichino.

Così

‘ x2 – 3x + 2 = 0 : ⊃ x . x . = 2 . V x = 1 ‘

si direbbe che sia in questa forma, e corrisponderebbe a una proposizione verbale che era una funzione verità delle proposizioni verbali corrispondenti all’argomento ‘ x = 2 ‘ , ecc.

1 Per una analisi più completa delle identità vedere il prossimo capitolo .

2 Nel senso spiegato sopra. Essa non è chiaramente la stessa frase, ma è la stessa funzione verità di proposizioni atomiche e così affermano lo stesso fatto.

Così la proposizione di cui sopra sarebbe pari a ‘ Se ” x2 – 3x + 2 “significa 0 , ” x “significa 2 o 1 ‘ . La matematica sarebbe quindi, almeno in parte, l’attività di costruire formule che corrispondano in questo modo a proposizioni verbali. Tale teoria sarebbe difficile e forse impossibile da sviluppare nei dettagli, ma ci sono , credo , altre e più semplici ragioni per respingerla. Queste nascono non appena smettiamo di trattare la matematica come una struttura isolata, e prendiamo in  considerazione gli elementi matematici in proposizioni non matematiche. Per semplicità limitiamoci ai numeri cardinali, e noi stessi supponiamo di conoscere l’analisi della proposizione che la classe di φ è in numero n [ Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59  (φx ) ∊ n ]. Qui φ può essere un qualsiasi predicato ordinario che definisce una classe, ad esempio, la classe di φ può essere la classe degli inglesi. Ora prendete una certa proposizione come ‘ Il quadrato del numero di φ è superiore di due rispetto al cubo del numero di ψ ‘. Questa  proposizione non  possiamo, credo , aiutarci ad analizzarla in questa sorta di modo:

( ∃ m , n ) .Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59  ( φ x ) ∊ m .  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ( ψx ) ∊ n . m2 = n3 + 2 .

Si tratta di una proposizione empirica e non di una proposizione matematica, e riguarda φ e ψ, non i relativi simboli; perfino qui si presenta in questa la pseudo preposizione matematica m2 = n3 + 2 , a cui, secondo la teoria in discussione, si può attribuire solo senso assumendo che sia una relazione tra simboli, in tal modo rendendo l’ intera proposizione di essere in parte riguardante simboli. Inoltre, essendo una proposizione empirica, è una funzione verità di proposizioni elementari che esprimono accordo con quelle possibilità che danno i numeri di φ di e di ψ che soddisfano m2 = n3 + 2 . Così ‘ m2 = n3 + 2′ non è , come sembra essere , uno degli argomenti veri nella proposizione di cui sopra, ma piuttosto una parte della funzione verità come ‘ ~ ‘ o ‘ v ‘ o ‘∃, m . n , ‘ che determina quale funzione verità di proposizioni elementari è quella che stiamo affermando. La teoria dell’identità della matematica è del tutto inadeguata a spiegare un tale uso di m2 = n3 + 2.

D’altra parte, la teoria tautologia farebbe tutto ciò che viene richiesto, e secondo questa m2 = n3 + 2 sarebbe una tautologia per i valori di m ed n che la soddisfano, e una contraddizione per tutti gli   altri. Così

Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    ( φx ) ∊ m .  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59   ( ψx ) ∊ n . m2 = n3 + 2

sarebbe per il primo gruppo di valori di m , n equivalente semplicemente a

Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59   ( φx ) ∊ m .   Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59   ( ψx ) ∊ n,

semplicemente,  ‘ m2 = n3 + 2 ‘ essendo tautologica, e quindi superflua, e   per tutti gli altri valori sarebbe autocontraddittoria . Così che

‘ ( ∃ m , n ) .  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59   ( φ x ) ∊ m .  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    ( ψx ) ∊ n . m2 = n3 + 2 ‘

sarebbe la somma logica delle proposizioni

‘ Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59     (  φx ) ∊m . Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59  ( ψx ) ∊n ‘

per ogni m , n che soddisfano m2 = n3 + 2 , e contraddizione per tutti gli altri m , n; ed è quindi la proposizione richiesta, dal momento che in una somma logica le contraddizioni sono superflue. Quindi questa difficoltà, che sembra fatale per la teoria dell’identità, è sfuggita del tutto dalla teoria tautologica, per cui noi quindi siamo incoraggiati a proseguire e vedere se non possiamo trovare un modo per superare le difficoltà che abbiamo trovato confrontandoci con il tentativo di ridurre il calcolo estensionale ad un calcolo di funzioni verità. Tale soluzione viene tentata in Principia Mathematica, e verrà discussa nel prossimo capitolo; ma prima di procedere a questo si deve dire qualcosa sulle ben note contraddizioni della teoria degli aggregati da cui anche la nostra teoria dovrà rifuggire .

Non è sufficientemente osservato, e la questione è del tutto trascurata in Principia Mathematica, che queste contraddizioni ricadono fondamentalmente in due gruppi distinti, che chiameremo A e B. Quelli più conosciuti sono così suddivisi: –

A. ( 1 ) La classe di tutte le classi che non sono membri di se stesse.

( 2 ) La relazione tra due relazioni quando una non ha sé stessa nell’altra.

( 3 ) La contraddizione di Burali Forti del più grande ordinale .

B.      ( 4 ) ‘ sto mentendo . ‘

( 5 ) Il minimo intero non nominabile in meno che diciannove sillabe .

( 6 ) Il più piccolo ordinale indefinibile .

( 7 ) La contraddizione di Richard.

( 8 ) La contraddizione di Weyl circa ‘ eterologo ‘ 1

Il principio secondo il quale li ho divisi è di fondamentale importanza. Il gruppo A si compone di contraddizioni che, ove non vengano presi accorgimenti contro di esse, si verificherebbero in uno stesso sistema logico o nello stesso sistema matematico. Esse coinvolgono solo termini logici o matematici come classe e numero, e mostrano che ci deve essere qualcosa di sbagliato con la nostra logica o la nostra matematica. Ma le contraddizioni del gruppo B non sono puramente logiche, e non possono essere espresse solo in termini logici; perché tutte contengono qualche riferimento al pensiero, al  linguaggio, o al simbolismo, che non sono termini formali ma empirici.

1 Per i primi sette di questi vedasi Principia Mathematica, 1 (1910) , p . 63 . Per l’ottavo vedere Weyl, Das Kontinuum, p. 2.

Così esse possono essere dovute non a un difetto di logica o di matematica, ma ad idee errate in materia di pensiero e di linguaggio. Se è così, non sarebbero rilevanti per la matematica o la logica, se per ‘ logica ‘ si intende un sistema simbolico, anche se naturalmente sarebbero rilevanti per la logica nel senso dell’analisi del pensiero. 1 Questa punto di vista del secondo gruppo di contraddizioni non è originale. Ad esempio, Peano ha deciso che ” Exemplo de Richard non pertine ad Mathematica , sed ad linguistica “, 2 e dunque li ha respinti. Ma tale atteggiamento non è del tutto soddisfacente. Abbiamo contraddizioni che coinvolgono entrambe le idee matematiche e linguistiche; il matematico le respinge dicendo che l’errore deve trovarsi negli elementi linguistici, ma il linguista potrebbe altrettanto bene respingerle per il motivo opposto, e le contraddizioni non saranno mai risolte. L’unica soluzione che sia mai stata data, 3 quella dei Principia Mathematica, sicuramente attribuisce le contraddizioni a cattiva logica, e spetta agli avversari di questo punto di vista mostrare chiaramente l’errore in quello che Peano chiama linguistico, ma che io preferirei chiamare chiamare epistemologico, a cui queste contraddizioni sono dovute.

1 Questi due significati di ‘logica ‘ sono spesso confusi. In realtà dovrebbe essere chiaro che chi dice che la matematica è logica non intendendo per ‘logica ‘ affatto la stessa cosa di quelli che definiscono la logica come l’analisi e la critica del pensiero.

2 Rivista di Mat., 8 (1906), p. 157 .

3 Altre cosiddette soluzioni sono solo inadeguate scuse per non dare una soluzione.

Seguirà il cap II.

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