WEIGHT OR THE VALUE OF KNOWLEDGE

20 Dic

Nuove tasse per salvare le banchePropongo la traduzione di un  breve appunto di Frank Ramsey sul valore dell’utilità della conoscenza nel calcolo probabilistico. La nota è stata pubblicata dalla prof.ssa Maria Carla Galavotti in Notes on Philosophy, Probability and Mathematics ed. Bibliopolis. Al termine riporto il testo in lingua originale.

L’IMPORTANZA O IL VALORE DELLA CONOSCENZA 1

1 Questa nota è stata pubblicata con un «Preambolo» da N. E. Sahlin in British Journal for Philosophy Science 41 (1990), pp. 1-4

Lemma. Supponiamo che a sia una proposizione non nota. φ (p) è il vantaggio atteso in relazione ad a che io attendo con probabilità p.

Allora

Schermata 2013-12-04 alle 15.59.55

[Dimostrazione] Supponiamo che x1, x2 siano variabili che io posso modificare con la mia azione.

Mi è utile se

Schermata 2013-12-04 alle 16.00.07

Se io attendo a con la probabilità p agisco per massimizzarla

pf1 + (1 + p) f2 per un fissato dato p

Ovvero io pongo

Schermata 2013-12-04 alle 16.00.34

Schermata 2013-12-04 alle 16.00.47

Il mio vantaggio atteso sarà  

φ(p) = pf1 + (1 – p)f2 con x definiti dalla (1)

Traduzione Schermata 2013-12-04 alle 16.08.09

Ora differenziando la (1) w.r.t p.

Traduzione Schermata 2013-12-04 alle 16.08.20

Valore della conoscenza 

Supponiamo che io conosca h ed attenda a con la probabilità p.

Il vantaggio atteso = φ (p).

Quanto è utile trovare K? 

Dove Pongo K/h = λ e posto μ = 1- λ

Schermata 2013-12-04 alle 16.13.30

Il vantaggio atteso se trovo K

= λφ (r) + μφ (s)

il vantaggio = PQ  deve essere positivo (a meno che p = r = s, K trascurabile)

Schermata 2013-12-04 alle 16.16.05

L’espressione del vantaggio

Traduzione Schermata 2013-12-04 alle 16.17.26

L’incremento quantitativo determina

Schermata 2013-12-04 alle 16.17.42

Questo è il testo in lingua originale:

WEIGHT OR THE VALUE OF KNOWLEDGE 1

1 This note has been published with a «Preamble» by N.E. Sahlin in British Journal for Philosophy Science 41(1990), pp. 1-4.

Lemma. Suppose a is an unknown proposition. φ(p) is expectation of advantage in regard to a if I expect it with probability p.

Then 

Schermata 2013-12-04 alle 15.59.55

[Proof] Suppose x1, x2,  are variables I can alter by my action.

Good to me if

Schermata 2013-12-04 alle 16.00.07

If I expect a with probability p I act so as to maximize

pf1 + (1 — p)f2 for fixed given p

i.e. I make

Schermata 2013-12-04 alle 16.00.34

and  pd2f1 + (1-p) d2f2 < 0                          (2)

My expectation of advantage

  φ (p) = p f1 + (1-p) f2  with x’s determined by (1)

Schermata 2013-12-04 alle 16.08.09

Now differentiating (1) w.r.t. p.

Schermata 2013-12-04 alle 16.08.20

Value of Knowledge

Suppose now I know h and expect a with probability p.

Expectation of advantage = φ (p).

How much is it worthwhile to find out K?

where say  K/h = λ say  μ= 1- λ

Schermata 2013-12-04 alle 16.13.30

Expectation of advantage if I find out K

= λφ (r) + μφ (s).

gain = PQ must be positive (unless p = r = s, K irrelevant)

Schermata 2013-12-04 alle 16.16.05

expression for gain

Schermata 2013-12-04 alle 16.17.26

Increase in weight say

Schermata 2013-12-04 alle 16.17.42

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