THE RULE OF SUCCESSION, INDUCTION, AND UNKNOWN PROBABILITIES

20 Dic

Conferenza stampaPropongo la traduzione di un  breve appunto di Frank Ramsey sul calcolo delle probabilità. La nota è stata pubblicata dalla prof.ssa Maria Carla Galavotti in Notes on Philosophy, Probability and Mathematics ed. Bibliopolis. Al termine riporto il testo in lingua originale.

LA REGOLA DI SUCCESSIONI, INDUZIONE , e probabilità SCONOSCIUTE 1

Maggio 1924

Non troppo serio

1 Una trascrizione di questa nota è contenuta nel N.E. Sahlin , «On Higher Order Beliefs», per apparire in J. Dubuce (a cura di), Teoria della probabilità, Atti della Reunion sur la philosophie des probabilités, CNRS, Parigi, maggio 1990, Kluwer.

Immaginate una mente che considera una proposizione φa, e che non sia in possesso di alcuna informazione rilevante riguardante la verità di questa.

(p è rilevante per q se c’è una proposizione elementare che si presenti come argomento in entrambe non tautologicamente. )

Quindi il suo atteggiamento dovrebbe dipendere dalla probabilità a priori di φa. Per questo, però, la mente sarebbe insensibile a causa di una carenza di comprensione logica. Non può conoscere la forma di una φ, né quindi la sua probabilità.

In questo caso può essere guidata da proposizioni della forma φ x , che sa essere vere o false; perché queste saranno più o meno spesso vere a seconda che φ x sia in una forma più o meno probabile.

Così essendo la probabilità di φa sconosciuta i valori probabili possono essere trovati col metodo di Laplace.

Ma questa espressione è imprecisa; ” la probabilità a priori di φa è α ” non è una proposizione e quindi non ha probabilità. Ma se sostituiamo a “φ a” una descrizione di essa otteniamo una proposizione significativa. “La probabilità della proposizione in questione è α”. E questa ha una probabilità che dipende da ciò che sappiamo circa la proposizione in questione. Sappiamo infatti che proposizione è, ma questo non va bene per noi perché non possiamo vedere la sua probabilità per la mancanza di intuito; ci si riduce a stimare la sua probabilità dalle cose che sappiamo su di essa; ad esempio che è il valore di una funzione di cui conosciamo tanti valori che siano veri e così tanti valori che siano falsi.

La situazione è analoga alla proposizione matematica (che supponiamo per il momento che sia una tautologia; in ogni caso una tautologia equivalente può essere facilmente derivata da essa) di cui non abbiamo alcuna prova, ma solo testimonianze a suo favore da induzione o dall’autorità, ad esempio il Teorema di Goldbach, l’ultimo teorema di Fermat. Qui la proposizione ha probabilità 1 (o 0 se è sbagliata) rispetto a qualsiasi testimonianza; ma questo non lo possiamo vedere. Così il nostro atteggiamento verso di essa deve essere determinato non dalla comprensione di esso, ma da quello che sappiamo su di essa;  alla proposizione ” la proposizione che afferma l’ultima asserzione di Fermat è vera”, possiamo attribuire una grande probabilità in virtù della nostra conoscenza di Fermat, e questa probabilità deve determinare la nostra condotta per quanto riguarda il suo teorema, la cui probabilità proprio non possiamo determinare.

Per riassumere, conoscendo φ b , φ c , ecc. quale atteggiamento dovremmo adottare per φ a, quando non possiamo sapere la sua probabilità intrinseca ? Dobbiamo fare alcune ipotesi come la probabilità iniziale di diversi valori della sua probabilità. Laplace suppone tutti i valori ugualmente probabili, per la quale supposizione non vi è alcuna giustificazione ovvia. Se supponiamo la proposizione in questione equiprobabile lo sarà ogni funzione vera di n proposizioni elementari; le probabilità di queste di avere probabilità 0, 1/m, 2/m … sono nelle proporzioni (m = 2n), del coefficienti binomiali 1 , mC1 , mC1 … dal momento che questi sono i risultati di funzioni vere aventi le rispettive probabilità. Ciò rende le probabilità nell’intorno di 1/2 molto più probabili di quelle vicino 1 o 0, e siamo in grado di dimostrare con un argomento esattamente analogo al teorema di Bernoulli che per n che cresce la probabilità diventa sempre più probabile che si trovi in un certo intorno di 1/2.

Quindi l’ipotesi di Laplace è del tutto inadatta ad essere applicata alle proposizioni indiscriminatamente; ma il caso è diverso con le proposizioni che possono verificarsi a noi o alle menti con la stesso apparato logico (generalità ecc.) come il nostro. Perché, se il numero di argomenti veri è grande o infinito la proposizione è probabilmente una generalizzazione o un suo opposto la cui probabilità iniziale si trova nell’intorno di  0 o 1; e quindi abbiamo una forte tendenza nella direzione opposta a quella scoperta sopra. Se le due tendenze si bilanciano l’ “Uguale Distribuzione di Ignoranza” di Laplace è giustificata e così è la sua Regola delle Successioni.

Ciò può naturalmente essere estesa al caso generale  quando non c’è la probabilità di φa a priori ma c’è quella di φa  dato ψa che non è noto.

(Meglio farlo in questo caso all’inizio).

φ ( x ) è costante per tutte le x (a meno φ, ψ contengano ad esempio a) , ma non

ψ ( x )                   forse se ad x viene sostituita una descrizione.

Questo è il testo in lingua originale:

THE RULE OF SUCCESSION, INDUCTION, AND UNKNOWN PROBABILITIES 1

May 1924

Not too serious

1 A transcription of this note is contained in N.E. Sahlin, «On Higher Order Beliefs», to appear in J. Dubuce (ed.), Theory of probability, Proceedings of the Reunion sur la philosophie des probabilités, CNRS, Paris, May 1990, Kluwer.

Imagine a mind considering a proposition φ a, and possessing no information relevant to its truth.

(p is relevant to q if there is an elementary proposition occurring as argument in both non-tautologically.)

Then its attitude should depend on the a priori probability of φ a. To this, however, the mind may be insensitive through deficiency of logical insight. It may not know the form of φ a, nor therefore its probability.

In this case it may be guided by propositions of the form φ x which it knows to be true or false; for these will be more or less often true according as φ x is of a more or less probable form.

Thus the probability of φ a being unknown probable values can be found for it in the Laplacian manner.

But this expression is a loose one; “the a priori probability of φ a is α” is not a proposition and so has no probability. But if we substitute for “φ a” a description of it we do get a significant proposition. “The probability of the proposition in question is α”. And this has a probability depending on what we know about the proposition in question. We know in fact what proposition it is, but this is no good to us for we cannot see its probability from lack of insight; we are reduced to estimating its probability from the things we know about it; e.g. that it is the value of a function of which we know so many values to be true and so many to be false.

The situation is analogous to a mathematical proposition (which we suppose for the moment to be a tautology: anyhow an equivalent tautology can easily be derived from it) of which we have no proof, but only evidence in its favour from induction or authority, e.g. Goldbach’s theorem, Fermat’s last theorem. Here the proposition has probability 1 (or 0 if it is wrong) relative to any evidence; but this we cannot see. So our attitude towards it must be determined not by understanding of it but by what we know about it; to the proposition “the proposition last asserted by Fermat is true” we may attach considerable probability in virtue of our knowledge of Fermat, and this probability must determine our conduct with regard to his theorem, whose own probability we cannot determine.

To resume, knowing φ b, φ c etc. what attitude ought we to adopt to φ a, when we cannot see its intrinsic probability((?)) We have to make some hypothesis as to the initial likelihood of different values of its probability. Laplace supposed all values equally likely, for which there is no obvious justification. If we suppose the proposition in question equally” likely to be any truth-function of n elementary propositions; the probabilities of its having probability 0, 1/m, 2/m… are in the proportions (m = 2n) of the binomial coefficients 1, mC1, mC1… since these are the numbers of truth functions having the respective probabilities. This makes probabilities near 1/2 much more likely than those near 1 or 0, and we can show by an argument exactly analogous to Bernoulli’s theorem that as n increases the probability becomes more and more likely to lie in any given neighbourhood of 1/2.

Hence Laplace’s hypothesis is entirely unsuitable to be applied to propositions indiscriminately; but the case is otherwise with propositions likely to occur to us or to minds with the same logical apparatus (generality etc.) as us. For if the number of its truth-arguments is large or infinite the proposition is probably a generalization or its contradictory whose initial probability lies near 0 or 1; and so we have a strong tendency in the opposite direction to that discovered above. If the two tendencies balance Laplace’s “Equal Distribution of Ignorance” is justified and so is his Rule of Succession.

This can of course be extended to the general case, when it is not the probability of φ a a priori but of φ a given ψ a that is unknown.

(Better do for this case originally).

φ (x) is constant for all or (unless φ, ψ contain say a), but not

ψ (x)                   perhaps if for x a description is substituted.

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