RULE OF SUCCESSION

19 Dic

messaggio_d_errorePropongo la traduzione di un  breve appunto di Frank Ramsey sul calcolo analitico delle probabilità. La nota è stata pubblicata dalla prof.ssa Maria Carla Galavotti in Notes on Philosophy, Probability and Mathematics ed. Bibliopolis. Al termine riporto il testo in lingua originale.

REGOLE DI SUCCESSIONE

Siano n oggetti che sono A quale è la probabilità che l’n+1esimo oggetto sia A.

Supponiamo la probabilità a priori di μ su n+1 di essere A sia φ (μ).

Tutte le permutazioni siano equiprobabili

La probabilità richiesta è

Schermata 2013-12-03 alle 21.38.53

Schermata 2013-12-03 alle 21.39.21

traduzione Schermata 2013-12-03 alle 21.39.35

2 Ciò deriva da: la probabilità di n oggetti (su n) di essere A è pari alla probabilità di n + 1 oggetti su n + 1 di essere  A, più la probabilità di n oggetti su n +1 di essere A 

Se la probabilità a priori di ciascuno di essere A è p 3

Schermata 2013-12-03 alle 21.39.47

3 n+1Cμ è la notazione di Ramsey per i coefficienti binomiali  Schermata 2013-12-03 alle 21.38.28

La probabilità richiesta è =

Schermata 2013-12-03 alle 21.45.06

verifica indipendente dai precedenti fatti.

Metodo alternativo

Supponiamo di scegliere n oggetti da un insieme infinito (o molto grande)

Supponiamo che φ (x) dx sia la probabilità a priori che una frazione x, x+dx di questa sia A

Schermata 2013-12-03 alle 21.45.26

La probabilità richiesta  =

Schermata 2013-12-03 alle 21.45.39

 Se φ (x) è costante  (=1) = 

Schermata 2013-12-03 alle 21.45.55

Se la probabilità di ciascuno di essere A è p φ (x) è infinita quando x=p , 0 altrove.

Risultato = p

In generale se φ(x) è continua con derivate continue di qualsiasi ordine eccetto ad un numero finito di punti

Schermata 2013-12-03 alle 21.46.03

Traduzione Schermata 2013-12-03 alle 21.54.10

Similmente se qualche derivata di φ(x) ≠ 0 in 1

Schermata 2013-12-03 alle 21.54.21

Questo è il testo in lingua originale:

RULE OF SUCCESSION

n things are A what is chance of n + 1th being A.

Suppose chance a priori of it μ of n+1 being A is φ (μ).

all permutations equally probable.

required chance is 2

Schermata 2013-12-03 alle 21.38.53

Schermata 2013-12-03 alle 21.39.21

Schermata 2013-12-03 alle 21.39.35

2 This follows from: the probability of n things (out of n) being A equals the probability of n + 1 things out of n + 1 being A plus the probability of n  things out n+1 being A

If a priori probability of each being A is p 3

Schermata 2013-12-03 alle 21.39.47

3n+1Cμ is Ramsey’s notation for the binomial coefficient  Schermata 2013-12-03 alle 21.38.28

required chance =

Schermata 2013-12-03 alle 21.45.06

verifies independent of previous happenings.

Alternative method

Suppose n things are chosen from infinite (or very large) set.

Suppose φ (x) dx is chance a priori that a proportion x, x + dx of these are A.

Schermata 2013-12-03 alle 21.45.26

Chance required =

Schermata 2013-12-03 alle 21.45.39  

if φx is const (= 1) =

Schermata 2013-12-03 alle 21.45.55

If chance of each being A is p φ (x) is infinite when x = p, 0 elsewhere.

Answer = p.

In general if φ(x) is continuous with continuous derivatives of all orders save at finite no of points

Schermata 2013-12-03 alle 21.46.03

Schermata 2013-12-03 alle 21.54.21 Schermata 2013-12-03 alle 22.41.35

Similarly if any of derivatives of φ (x) ≠ 0 at 1

Schermata 2013-12-03 alle 21.54.21

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