R.H. NISBET «THE FOUNDATIONS OF PROBABILITY» MIND JAN. 1926

17 Dic

Come si suonano gli elettoriPropongo la traduzione di un appunto di Frank Ramsey riguardante l’analisi delle teorie del caso e della probabilità di vari autori tra cui Nisbet e Keynes. La nota in lingua originale si può trovare nel libro della prof.ssa Maria Carla Galavotti Notes on Philosophy, Probability and Mathematics ed. Bibliopolis.

Al termine riporto il testo in inglese.

R.H. NISBET «I FONDAMENTI DELLA PROBABILITÀ» MIND GENNAIO 1926 1

1 pp. 1-27 .

La probabilità di avere testa = 1/2 è basata sulla frequenza o sul principio di indifferenza.

La teoria di Keynes cui si può obiettare sul suo punto di vista in quanto leggi della probabilità non provate. Il suo modo di trattare la moltiplicazione è fallace la definizione consente solo la moltiplicazione per coppie collegate di probabilità e non possiamo dividere nulla per nulla, o dimostrare il teorema inverso.

Possiamo riformulare la teoria della frequenza? Che cos’è una frequenza ? La stessa frequenza limite si verifica in qualsiasi lunga serie. (N. Campbell).

Supponiamo che con una moneta venga testa 999 volte; J.M.Keynes dice che è probabilmente falso che la probabilità di avere testa al millesimo tiro sia molto alta.

Secondo il punto di vista di N.Campbell se è falso che la probabilità sia 1 e sempre lo era, allora la probabilità è tuttavia 1/2. Chiaramente ci sono due differenti oggetti uno costante uno in aumento. L’uno costante è la probabilità di N.Campbell. Cosa è che cresce?

Risposta : La “probabile possibilità” dipendente dalle teorie della probabilità.

La probabilità ha 2 rami distinti; possibilità o probabilità oggettiva e la probabilità delle teorie.

Difficoltà nella concezione del caso; una serie possibile senza limite di frequenza o quando termini consecutivi sono collegati ad esempio 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , .. Ma questi sono forniti da una regola non dalla casualità. Che cosa è un fenomeno fortuito? Non un caso di cui  noi ignoriamo la legge; l’unica ragione per definirlo così è che così si è in grado di essere sicuri se la casualità è presente o meno. Non possiamo essere davvero assolutamente certi di questo; è una questione di fatto; ma possiamo essere sicuri circa il sorgere del sole domani. Né è una distribuzione casuale quella che può essere prodotta apposta come dice N.Campbell. Né come dice Poincaré è quando un piccolo cambiamento in una causa determina un grande cambiamento negli effetti, perché come dice N.Campbell se 2 risultati si verificano solo come causa > x o <x la distribuzione è solo casuale se la distribuzione della causa > o < x è una casualità.

Conosciamo quando un gioco è un gioco d’azzardo, e la predizione delle frequenze. Come? J.M.Keynes dice dal Principio di Indifferenza e dal Teorema di Bernoulli . Ma Bernoulli dà solo una probabilità  soggettiva = aspettativa di frequenza non la frequenza reale. Perché dovrebbe essere quello che ci aspettiamo? J.M.Keynes dice che la probabilità oggettiva si ha  quando non possiamo conoscere e non potremmo mai  calcolare il risultato. No, perché le frequenze testa – croce non è causata dalla nostra ignoranza. Ma noi siamo ignoranti a causa della complessità delle cause = casualità obiettiva.

Se, quando un esperimento viene ripetuto indefinitamente

( 1 ) un numero finito di risultati diversi sono possibili

( 2 ) il risultato di ogni esperimento è funzione di un gran numero numero di variabili

( 3 ) Nessuna di queste variabili è una funzione di 1 sola delle altre

( 4 ) Tutte le variabili sono soggette a cambiare da 1 esperimento al successivo con un intervallo finito di variazione

( 5 ) un cambiamento non > di quello che può talvolta presentarsi in qualcuna delle variabili sarebbe sufficiente almeno per alcuni valori di altre variabili a cambiare il risultato. [La condizione di Poincaré rende probabile 5 ].

Quindi i risultati saranno una distribuzione casuale, ciascuna avente un limite di frequenza indipendente dai risultati precedenti.

Questa è la 1a Legge di casualità una legge naturale. Cfr. per la spiegazione Sampson Int. Cong. 1912 3 sulla Regola degli Errori derivante dalla interazione di un gran numero di fattori. La legge di Gauss, dice Edgeworth, è deducibile dalle leggi della probabilità , ma la materia di Sampson chiarisce le leggi stesse.

3 R.A. Sampson, «Sulla legge di distribuzione degli errori», Atti V Congresso Internazionale dei Matematici, 1912, vol. II.

In un esperimento con un numero finito di risultati casuali, se uno dei fattori da cui dipende un risultato, è legato fisicamente, in un modo specifico, ad alcune delle alternative diciamo che le alternative sono condizionanti. La 2a legge della casualità è che se non vi è alcuna interferenza le frequenze di tutte le alternative saranno uguali.

La critica di J.M.Keynes la probabilità della mia morte non dipende solo sulle statistiche, ma dalla mia salute. Le statistiche sono paragonabili agli eventi delle mie monete con differenti condizionamenti. La teoria  statistica è la teoria di condizionamento variabile.

La teoria della frequenza per la probabilità oggettiva, ma potrebbe non essere corretta quella di J.M.Keynes per le teorie della Probabilità? Egli non fornisce alcuna giustificazione ai principi di probabilità. La probabilità pari a 1 per probabilità oggettiva si basa sulle leggi del caso ovvero esperienza delle frequenze. La probabilità delle teorie non potrebbe dipendere anche dall’esperienza delle frequenze.

Descrizione = sintesi delle osservazioni; la generalizzazione l’estende al di là di queste. Tante generalizzazioni sono verificate e quelle che non lo sono possono essere alterate in modo uniforme così come dovrebbero essere; anche idee ipotetiche fatte su misura per ottenere qualcosa potrebbero risultare per soddisfare anche altre cose. Questa è l’unità della natura.

La probabilità di una nuova generalizzazione è essenzialmente frequenza del successo dei metodi con cui è stato raggiunto; dove ” successo” significa successo nel raggiungere generalizzazioni consolidate. (Non necessariamente quelle vere). Non è certo che la somma delle probabilità di tutte le teorie = 1. ( Può essere > in particolare).

Possibilità Probabile = somma delle possibilità in ogni teoria x probabilità della teoria.

La possibilità meno fondamentale della probabilità della teorie; ma non per questo non è un argomento scientifico. Cfr. la legge di gravitazione.

A meno che non si assuma l’uniformità della natura tutto il pensiero logico è impossibile il concetto di vero probabile ecc. non può presentarsi.

Vedi anche Jeffreys e Wrinch, Phil. Mag. Dicembre 1919 5.

5 H.Jeffreys e D. Wrinch, « Alcuni aspetti della teoria della probabilità », Philosophical Magazine 38 (1919), pp. 715-731.

E questo è il testo in lingua originale:

R.H. NISBET «THE FOUNDATIONS OF PROBABILITY» MIND JAN. 1926 1

1 pp. 1-27.

Probability of heads = 1/2 based on frequency or principle of indifference.

Keynes’ Theory objectionable as laws of probability unevidenced on his view. His treatment of multiplication is fallacious the definition only allows multiplication for connected pairs of probabilities and we cannot divide any by any, or prove inverse theorem.

Can we restate frequency theory? What is a frequency? The same limiting frequency occurs in any long series. (N. Campbell).

Suppose a coin comes heads 999 times; J.M.Keynes says probability of heads on 1000*‘ very high as probably faked.

On N.Campbell’s view if it is faked probability is 1 and always was, if not probability is 1/2 still. Clearly there are two different things one constant one increasing. The constant one is

N.Campbell’s chance. What is the increasing?

Answer: The “probable chance” depending on the probability of theories.

Probability has 2 distinct branches; chance or objective probability and the probability of theories.

Difficulty in conception of chance; series possible without limiting frequency or where consecutive terms are connected e.g. 1, 2, 1, 2, 1, 2,.. But these are given by law not chance. What is a fortuitous phenomenon? Not one of whose law we are ignorant; the only reason for defining it thus is to be able to be sure whether chance is present or not. We cannot really be absolutely certain about this; it is a question of fact; but we can be as certain as about sun rising to-morrow. Nor is a chance distribution one which would be produced on purpose as N.Campbell says. Nor as Poincare says is it when a small change in cause makes a large change in effect, for as N.Campbell says if 2 results only occur as cause >x or <x distribution is only a chance one if distribution of cause > or < x is a chance one.

We know when a game is a game of chance, and prophecy the frequencies. How? J.M.Keynes says by Principle of Indifference and Bernoulli’s Theorem. But Bernoulli only gives subjective probability = expectation of frequency not actual frequency. Why should it be what we expect? J.M.Keynes says objective probability is when we cannot and know we never could calculate the result. No because head-tail frequencies are not caused by our ignorance. But we are ignorant because of complexity of causes = objective chance.

If, when an experiment is repeated indefinitely

(1) a finite number of different results are possible

(2) the result of each experiment is function of large number of variables

(3) None of these variables is a function of 1 only of the others

(4) variables are all liable to change from 1 experiment to next with a finite range of variation

(5) a change not > than sometimes occurs in any 1 variable would be enough at least for some values of other variables to change result. [Poincaré’s condition renders 5 likely].

Then the results will be a random distribution, each having a limiting frequency independent of previous results.

This is 1st Law of Chance a law of nature. Explanation cfr. Sampson Int. Cong. 1912 3 on Law of Errors arising from interaction of large no of factors. Gauss’ law, says Edgeworth, deducible from laws of probability; but Sampson’s stuff elucidates these laws themselves.

3 R.A. Sampson, «On the Law of Distribution of Errors», Proceedings Vth International Congress of Mathematicians, 1912, vol. II.

In an experiment with a finite no of chance results, if 1 of the factors, on which result depends, is related physically, in a special way, to some of the alternatives we say the alternatives are biassed. 2nd Law of Chance is that if there is no bias the frequencies of all the alternatives will be equal.

J.M.Keynes criticism probability of my death depends not only on statistics but on my health. Statistics comparable to those of my coins with different biasses. Theory of statistics is theory of variable bias.

Frequency theory for objective probability but may not J.M.Keynes be right for Probability of theories? He gives no justification of principles of probability. Probability of 1 for objective probability is based on laws of chance i.e. experience of frequencies. May not probability of theories also depend on experience of frequencies.

Description = summary of observations; generalisation extends beyond them. So many generalisations are verified and those that are not can be altered in a uniform way so as to be; also hypothetical ideas made to fit some turn out to fit also others. This is unity of nature.

Probability of a new generalisation is essentially frequency of success of methods by which it was reached; where “success” means success in reaching well established generalisations. (Not necessarily true ones). Not certain that sum of probabilities of all theories = 1. (May be > especially).

Probable chance = sum of chance on each theory x probability of theory.

Chance less fundamental than probability of theories; but not therefore not a scientific subject. Cfr. Law of gravitation.

Unless we assume nature uniform all logical thought is impossible ideas true probable etc. cannot arise.

See also Jeffreys and Wrinch, Phil. Mag. Dec. 1919 5.

5 H.Jeffreys and D. Wrinch, «Some Aspects of the Theory of Probability», Philosophical Magazine 38(1919), pp. 715-731.

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