THE FORMAL STRUCTURE OF INTUITIONIST MATHEMATICS

24 Nov

messaggio_d_errorePropongo la traduzione di un appunto di Frank Ramsey riguardante le sue osservazioni sulla matematica intuizionistica di Brouwer ed altri. L’appunto in lingua originale è riportato nel libro Notes on philosophy, probability and mathematics a cura della prof.ssa Maria Carla Galavotti edizione Bibliopolis.

Notiamo che qui viene riportata una importante osservazione riguardante l’assioma dell’infinito ovvero che non è possibile provare l’infinito matematico utilizzando successive possibili sostituzioni. Ciò per gli evidenti limiti di tempo, di carta necessaria, ecc.

Questa osservazione è importante perché siamo abituati a considerare l’infinito nel mondo fisico come un’applicazione di quello matematico. Ad esempio lo usiamo per oggetti di dimensioni finite che consideriamo composti di infinite parti in quanto riteniamo di poter procedere a dividerli in elementi infinitamente piccoli.

Oppure per oggetti di cui non si conosce l’estensione, come l’Universo, per cui pensiamo di poter esplorare le dimensioni fino ad estremi ritenuti non fisicamente finiti.

In realtà quando si passa dalla matematico alla fisica si può utilizzare il concetto di infinito se utile per effettuare calcoli coerenti perché, analogamente all’infinito numero di sostituzioni possibili in una formula matematica, non abbiamo né il tempo né la carta per accertare dove finisce l’oggetto fisico sia nel piccolissimo sia nel grandissimo.

Questa è la traduzione:

La struttura formale della matematica intuizionista 1

1 Aggiunto a matita, non da Ramsey: scritto nel 1929.

1 . Dobbiamo cominciare a considerare la natura delle proposizioni matematiche, e in primo luogo quelle che non contengono variabili.

Tutte queste derivano solo da definizioni e sono quindi identità, non reali valutazioni: tuttavia esse corrispondono a definite valutazioni riguardanti i simboli ad esempio che ” 2 + 2 ” e “4” diano, quando calcolati, la stessa cosa. Di questi possiamo naturalmente formare alcune finite funzioni – verità, e manipolare tali funzioni vere secondo l’ordinario calcolo proposizionale.

2 . Quando però consideriamo una certa proposizione come (n, m) nm = mn il caso è diverso. Siamo in grado di dimostrarlo con alcuni processi da definire definito di seguito, e di conseguenza se sostituiamo particolari numeri ad n ed m otteniamo un’identità.

Ad esso corrisponde il criterio “qualunque numero sostituiamo ad ‘n‘ e ‘m‘ le due parti ‘nm‘  e ‘mn‘ calcolano lo stesso numero”. Questo criterio sembra a prima vista che sia il prodotto logico infinito di tutti i giudizi singoli che affermano che questo accadrà nel caso di ogni distinta sostituzione possibile. Ma quando riflettiamo che la mente non può arrivare a qualsiasi concezione infinita, vediamo che la gamma delle valutazioni, ossia il numero di termini del prodotto è limitato da qualche circostanza connessa con il nostro calcolo;  c’è un limite alla quantità del tempo di carta, ecc. che pensiamo sia disponibile per per l’esecuzione di queste sostituzioni e così un limite alla sostituzioni previste. (cfr ho scritto un numero sulla lavagna) . Così la formula nmmn darà luogo a valutazioni diverse in diverse occasioni a seconda dell’insieme di numeri previsti, che deve ogni volta essere finito, ma che non può essere fissato una volta per tutte. Ognuno di questi diversi criteri può, ovviamente, essere negato o utilizzato come argomento di una funzione vera, ma non c’è nessun criterio associato con la formula che può essere trattato in questo modo.

Se prendiamo , per esempio, (n, x , y, z) xn +2yn +2zn +2 non possiamo dire “che è sia giusto o sbagliato “, tranne che facendo di essa una definita valutazione limitando l’insieme delle variabili. Se facciamo questo dobbiamo per scopi precisi specificare come lo abbiamo fatto e quindi cessa del tutto di esistere il teorema di Fermat nella sua generalità.

3 . Non possiamo, quindi, interpretare una proposizione matematica generale, come una  infinita funzione verità dei suoi casi; ma ancora può sembrare che un altro modo resti aperto, quella di prenderla intensivamente, leggendolo “xn +2 + yn +2 ” non può essere uguale a zn+2”, e significando con questo che certi processi (principalmente l’induzione matematica) ci permettono di dimostrare che xn +2 + yn +2zn +2. A tale interpretazione , tuttavia, non sfugge dalla difficoltà, ma semplicemente la nasconde; il nostro giudizio è ora che “Vi è una serie di sostituzioni e di argomenti che portano a xn+2 + yn +2zn +2 , e anche qui abbiamo un infinito di funzione verità a meno che la lunghezza delle serie sia in qualche modo limitata. Non possiamo dire “O c’è una tale serie o non c’è”, a meno che non stiamo in qualche modo limitando la sua lunghezza, come per esempio quando diciamo “o io ho trovato una tale serie o io non ho trovata.”

Sembra quindi che una proposizione matematica generale non corrisponda ad una valutazione nel modo in cui lo fa una proposizione singola, sebbene mediante sostituzione porti a tali valutazioni e a funzioni vere di qualsiasi numero finito di tali valutazioni. Quando abbiamo dimostrato una tale proposizione possiamo, ovviamente, convincerci che l’abbiamo dimostrata (e la valutazione che qualsiasi caso di quella sia vero), ma questo non è un equivalente alla proposizione stessa ad esempio “Non ho provato p ” non è lo stesso di ” ho dimostrato non – p“.

4. Non possiamo quindi supporre che le proposizioni matematiche in generale possono costituire argomenti di funzioni – verità e trattati dal calcolo proposizionale, ma dobbiamo esaminare la questione da capo.

Questo è complicato per il fatto che le nostre critiche precedenti ci hanno lasciato senza una chiara concezione della natura e dello scopo della matematica. La nostra vecchia concezione che le “proposizioni” della matematica esprimano ciascuna una vera valutazione è stato distrutto e non abbiamo ancora nulla da mettere al suo posto.

5 . Non abbiamo la necessità di parlare qui della matematica nel suo complesso, compresa la geometria le sue applicazioni fisiche. Dovremo occuparci esclusivamente della teoria dei numeri, interi, razionali, reali e complessi; in questa teoria ci occupiamo essenzialmente di calcoli, e la nostra matematica non deve portare a calcoli errati. Tuttavia la nostra formule matematiche sono costruite e noi dobbiamo avere molti modi di dedurre i risultati dei calcoli che sono verificabilmenie giusti o sbagliati. Se le nostre formule matematiche devono avere un qualsiasi valore questi calcoli devono essere sempre giusti, e nello stabilire le nostre regole di costruzione e manipolazione dobbiamo essere sicuri che non potranno mai portare al falso.

Ora, può essere che le regole ordinarie che permettono di combinare le proposizioni matematiche per mezzo di funzioni vere siano di questo tipo; anzi penso che Von Neumann ha dimostrato che lo sono. Ma questo non è ovvio e richiede di essere dimostrato; e dobbiamo considerare attentamente quali regole possiamo vedere essere questo tipo, e adottarle con fiducia come le base di ogni dimostrazione. (Solo tali regole devono essere utilizzati da Hilbert o Von Neumann nelle loro prove della non contradditorietà delle regole ordinarie) 10.

10 Cfr. D. Hilbert , « Die logischen Grundlagen der Mathematik » , Matematischen Annalen 88 (1923), pp. 151-165 , ristampato in Gesammelte Abhandlungen, vol. III, cit, 178-191; J.   Von Neumann, «Zur Hilbertschen Beweistheorie», Mathematische Zeitschrift 26 (1927), pp. 1-46, ristampato in Collected Works , New York : Pergamon, 1961, pp. 256-300.

  1. Tali regole sono i processi di definizione per ricorsione, la prova per ricorsione, la sostituzione di variabili, e l’uso del calcolo proposizionale tutte applicato a espressioni che contengono solo variabili reali; e per quanto posso vedere non altro, a questo livello, dove non abbiamo ancora introdotto funzioni di variabili. Queste regole sono esattamente quelle adottate da Skolem. Possiamo essere sicuri che non porteranno ad alcun errore; (il nostro giudizio in tal senso, necessariamente limitato a un intervallo finito di applicazione, è una tautologia e una evidente tautologia).

7. È, tuttavia, interessante e utile andare oltre questo semplice schema e introdurre le variabili apparenti di entrambi i tipi (x) e (Ex). Tali variabili per espliciti finiti intervalli possono essere introdotte senza alcun principio nuovo dalle definizioni

Schermata 2013-11-08 alle 16.21.42 tradotta

Ma spesso è comodo non dover scrivere l’intervallo in modo esplicito, e per rendere questo possibile abbiamo bisogno solo di introdurre e giustificare norme idonee per l’utilizzo delle variabili apparenti.

L’idea di queste regole è che ovunque abbiamo (Ex) l’abbiamo ricavato da qualche esempio che lo definisce (o un numero finito di valori di cui uno è conosciuto per essere un esempio) che avremmo potuto mantenere invece di abbreviarlo in (Ex ); nulla può naturalmente essere dedotto dalla proposizione con (Ex) che non poteva essere dedotto utilizzando la più lunga proposizione contenente l’esempio che lo definisce, in modo che nessuna contraddizione può eventualmente sorgere.

Porremo ora queste regole.

8. I simboli che useremo sono

(a) i singoli numeri 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ecc.

(b) i numeri variabile m, n, p, ecc.

(c) funzioni numeriche f (m), g (m,n), ecc.

(d) i segni logici &, V, -, ( ),

(e) il segno =

9 . Le definizioni saranno o definizioni ordinarie su cui nulla di più è necessario dire, o definizioni per ricorsione di funzioni numeriche secondo il seguente schema .

Sarà sufficiente allo scopo di illustrarle prendere funzioni di due variabili f (m,n). Delle due variabili una o entrambe possono essere variabili ricorsive nella definizione; supponiamo prima che solamente la seconda variabile n sia  una tale variabile ricorsiva.

Allora la definizione deve avere la forma

f(m,1) = alcune composizioni di funzioni di m già definite, comprese la funzione +1

f(m, n + 1): alcune composizioni di funzioni di funzioni già definite come prima compreso f(m,x) per valori di x dimostrati minori di n.

Se entrambe le variabili sono variabili ricorsive allora dobbiamo definire f(1,n) per ricorsione come sopra

e poi

Schermata 2013-11-23 alle 21.46.42 

Così anche noi possiamo definire due o più funzioni insieme

ad esempio f ( 1 ), g(1)

Schermata 2013-11-23 alle 21.49.44( 1 )

Tutte le definizioni possono essere condizionate essendo soddisfatte o non soddisfatte in equazioni

Schermata 2013-11-08 alle 16.42.26

[Questo non è forse un rapporto completo di definizioni.

L’articolo di Ackermann sulle funzioni definite da ricorsione dovrebbe essere consultato ]14.

14 Cfr. W. Ackermann, «Zur Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen», Mathematischen Annalen 99 (1928), pp. 118-133, traduzione inglese in J. van Heijenoort (a cura di), From Frege to Gödel, cit., pp. 493 -507.

10 . Proposizioni primitive

Schermata 2013-11-08 alle 16.48.23

11 . Regole di inferenza. Si riferiscono a proposizioni del solo tipo che ci è permesso di fare cioè quelle costituite da una matrice preceduta eventualmente da una serie di prefissi.

La matrice deve essere una funzione vera di equazioni tra valori di funzioni definite con argomenti costanti o variabili.

I prefissi devono essere o della forma (m) o (Em) e la stessa variabile non deve comparire in due prefissi. Una variabile che compare nella matrice, ma non in un prefisso si dice libera.

Le regole di inferenza sono le seguenti :

( a) Riscrittura. A qualsiasi variabile m in una proposizione possiamo sostituire qualsiasi altra lettera n, sempre che sostituiamo con essa tutte le sue occorrenze, e che la nuova lettera n non sia presente precedentemente nella proposizione.

( b ) Omissione del prefisso. Se la variabile di un prefisso non compare nella matrice può essere omessa

( c ) Interscambio di prefissi. Possiamo scambiare due prefissi consecutivi se entrambi sono tutti i prefissi o entrambi sono di E e possiamo sostituirne due consecutivi della forma (Em) (n) con (n) (Em ), ma non viceversa

( d ) Preporre una variabile libera. Se n è una variabile libera possiamo inserire (n) all’inizio della proposizione

( e) Sostituzione con una variabile libera . Possiamo sostituire una variabile libera in tutte le sue occorrenze qualsiasi costante numerica o qualsiasi altra variabile libera.

( f) Sostituzione con una variabile-tutto. Se vi è un prefisso della forma ( n ) lo possiamo omettere purché lo sostituiamo in tutte le sue occorrenze nella matrice con la stessa costane numerica o con il valore di una funzione definita con gli argomenti presi interamente dalle variabili dei prefissi che precedono (n).

( g ) introduzione di un E. Qualsiasi valore di qualsiasi funzione che compaiono nella matrice possono essere sostituiti in qualsiasi o tutte le sue occorrenze da una variabile n che non compare nella proposizione se contemporaneamente viene inserito un nuovo prefisso ( En ) non più in avanti rispetto qualsiasi prefisso la cui variabile è argomento nel valore della funzione in questione.

( h ) Riduzione di E. Se una matrice della forma φ (n) V φ (m) * sia immediatamente preceduta da due prefissi (En) (Em) Il prefisso (Em) può essere cancellato e “V φ (m)” può essere cancellato dalla matrice .

* Φ (m) deve essere derivabile da φ (n) mettendo m al posto di n in tutte le sue occorrenze in φ (n).

( i) Combinazione di due Proposizione . Ogni due proposizioni già dimostrate possono essere unite in una proposizione da

( i) riscrivendole in modo che nessuna lettera compaia in entrambe

( ii ) combinare le matrici mediante &

( iii ) combinando i prefissi in un’unica serie in un modo che conservino l’ ordine di ogni coppia di prefissi che provengono dalla stessa proposizione .

( j ) Induzione matematica

Se una proposizione contenente una variabile reale n è denotata con A (n) e dimostriamo

A (1)

e si può anche dedurre dalle nostre regole A (n +1) da A (n) e le proposizioni che abbiamo già dimostrato allora A(n) è dimostrato.

Nota sulla regola ( i)

Nell’uso ( i) è quasi sempre necessario seguirla utilizzando ( f) ad esempio  (n) φ ( n) e ( n) ψ ( n) forniscono

( n ) ( m ) φ ( n) & ψ (m ) ), e di là da ( f), ( n) φ ( n) & ψ ( n) ) .

Anche in caso di dubbio è meglio mettere una E prima di un ” tutti” ad esempio da

Schermata 2013-11-08 alle 17.09.47tradotta

donde da ( f) ( Em ) φ ( m ) & ( φ (m ) → ψ ( m ) )

donde da ( k ) ( Em ) ψ ( m )

( k ) Logica formale. Se P → Q è una funzione-verità tautologica possiamo procedere da una proposizione con matrice P ad una con matrice Q e gli stessi prefissi come la precedente.

12 . La correttezza di queste regole può essere vista come segue: tutte queste eccetto quelle correlate con E sono essenziali per qualsiasi ragionamento e si possono assumere come corrette, e noi abbiamo solo vedere che l’introduzione di E non possa portare ad alcuna contraddizione. Questo è facile perché potremmo sempre ottenere la stessa contraddizione senza introdurre E, dal momento che le stesse deduzioni sarebbero sempre possibili se non introduciamo E secondo la regola ( g), ma lasciamo il valore della funzione così come è. L’ unico punto in cui questo non è del tutto chiaro è in relazione con la regola (h ); perché avendo abbreviato

(Em , p) φ (m) V φ (p) in (Em) φ (m)

possiamo per la regola ( i) ottenere

(Em) (p) φ (m) ψ (p)

da cui da ( f) (Em) φ (m) ψ (m)

che potrebbe essere una contraddizione, che non poteva essere ottenuta affatto in questo modo senza l’utilizzo di E

ad esempio dovremmo avere

φ ( λ ) V φ ( μ )              λ , μ            valori delle funzioni

( p ) ψ ( p )

da cui ( p ) ψ ( p ) & ( φ ( λ ) V φ ( μ ) )

da cui ψ ( λ ) & { φ ( λ ) V φ ( μ ) }

ψ ( μ ) & { φ ( λ ) V φ ( μ ) }

da cui ψ ( λ ) e ψ ( μ ) & ( φ ( λ ) V φ ( μ )

che deve essere una contraddizione .

Questa prova ha bisogno tuttavia di una relazione formale.

13 . Vale forse la pena mostrare che tali proposizioni primitive e tali regole ci permettono sempre di scambiare

Schermata 2013-11-08 alle 18.04.47

essendo ( x ) una funzione vera di equazioni che coinvolgono x.

Qui le definizioni di

espressione tradotta 3

Schermata 2013-11-09 alle 18.53.09

Abbiamo da una diretta induzione

Schermata 2013-11-09 alle 18.56.45

Dimostriamo le proposizioni

espressione tradotta 4

per induzione . Avendo posto che possiamo sempre

andare da Schermata 2013-11-09 alle 19.00.34 

per combinazione con ( i) a (Ex) φ (x) ⋅ xn

e da  Schermata 2013-11-12 alle 08.38.14  

per  combinazione con ( ii ) a ( x ) ( xn → φ ( x ) ).

Viceversa se ​​abbiamo ( Ex) φ ( x ) . xn possiamo per combinazione con ( ii) , con Schermata 2013-11-09 alle 20.44.22 per

φ

Schermata 2013-11-09 alle 20.45.27

∴ per sostituzione

Schermata 2013-11-09 alle 20.47.16 tradotto

e se abbiamo

( x ) { xn → φ ( x ) }

dalla combinazione con il ( i) per Schermata 2013-11-09 alle 20.44.22 otteniamo

Schermata 2013-11-09 alle 20.51.50

Rimane quindi da dimostrare ( i) , ( ii ) per induzione .

Per ( i) abbiamo

Schermata 2013-11-09 alle 21.05.05

assumendo anche

Schermata 2013-11-09 alle 21.06.19

abbiamo ( y) ( yny n +1) .

∴ per combinazione e sostituzione di x con y

Schermata 2013-11-09 alle 21.09.47 tradotto

abbiamo anche

( x ) x = n +1 . φ (n + 1) → φ ( x ) .

∴ per combinazione e sostituzione

Schermata 2013-11-09 alle 21.15.45

(14) Se confrontiamo queste regole con quelle di Russell la divergenza fondamentale è che Russell consente

Schermata 2013-11-23 alle 22.23.44 senza to be proved

Questa è una interpretazione di

Schermata 2013-11-09 alle 21.19.14

l’altra è  Schermata 2013-11-09 alle 21.20.46 che le nostre regole consentono.

Nella logica di Russell la prima di queste potrebbe essere dedotta dalla seconda scrivendo

Schermata 2013-11-10 alle 20.24.55

in cui tutte le occorrenze di n sono separate da tutte le occorrenze di m da una barra verticale.

* * *

Note sulla Reductio ad Absurdum

Io penso che una reductio ad absurdum

                                         di ( En ) φ n

potrebbe sempre essere trasformato in una prova di Schermata 2013-11-09 alle 21.25.44

e una reductio ad absurdum di  ( n) φ n in una prova di Schermata 2013-11-09 alle 21.28.33

La difficoltà di mostrare questo io penso che nasca interamente in relazione all’induzione .

Ma anche così, non appena si arriva a

( n) ( Em ) φ (n, m)

il caso è diverso; questo può certamente essere ridotto all’assurdo, senza che noi siamo in grado di trarre alcuna prova di

Schermata 2013-11-09 alle 21.31.12

ad esempio posto che ψ ( n) = n sia il 1° numero ad avere una certa proprietà P.

Quindi possiamo ridurlo all’assurdo

( n) ( Em ) m > n Ψ m

combinandolo con sé stesso nella forma

(n) (Em) (r) (Eμ) m > n ⋄ Ψ m ⋄ μ > r ⋄ Ψ μ

Ora sostituiamo m ad r

e otteniamo ( n) ( Em , μ ) m > n ⋄ μ > m ⋄ Ψ m ⋅ Ψμ

donde ( Em , μ ) μ > m ⋅ Ψ m ⋅ Ψμ

che è impossibile

ma non otteniamo da questa una prova di

Schermata 2013-11-09 alle 21.44.20

che possiamo ottenere solo trovando o che non ci sono numeri che hanno P o trovando che vi è un numero minore di un certo n che ha questa proprietà.

Quando andiamo in nell’Assurdo dell’Assurdità e così via come fa Brouwer dobbiamo allargare la nostra concezione del soggetto e includere le prove simboliche tra gli oggetti della nostra indagine.

Questo mi sembra complicare la questione enormemente e dubito che se le osservazioni di Brouwer su di esso siano fondate.

Per esempio dovremmo avere corrispondenza per ogni proposizione sui numeri p un’altra proposizione P ( “p” ), il che significa che “p ” può essere dimostrato, e queste due non sarebbero del tutto equivalenti. Perché anche se se avessi dimostrato p potrei immediatamente ricavare una prova ( “p ” ); eppure non posso dedurre P ( “p” ) da p assunto ipoteticamente, e se potessi ridurre P ( “p “) ad assurdo non seguirebbe che potrei ridurre p ad un assurdo.

Perché Brouwer sceglie il livello per i suoi esempi è che in una dimensione

x = y                 è  ( n) φ1n > ψ2 n circa.

∴ A ( x = y )       è ( En ) φ1n ≮ ψ2 n

AA ( x = y) è di nuovo x = y .

In termini semplici

x = y è più complicato e cioè

Schermata 2013-11-09 alle 21.55.47

Le serie p A( p ) AA ( p ) di Brouwer sembra voler dire solo un aumento nella tipologia. Dobbiamo fare della metamatematica e AA ( p) significa che una certe ipotesi metamatematiche possono ridursi ad assurdità. Non dobbiamo in questa serie metterci a fare metamatematica.

Ma a me sembra che sebbene sia corretto che AAA ( p ) = A ( p ) eppure AAP ( p ) è una proposizione non riducibile di tipo superiore.

{ N.B. PP ( p ) = P ( p ) PA ( p ) = A ( p ) }

Anche ? A ( m ) A (En ) A ( μ ) A ( Er ) – —-?

c’è qui alcuna riduzione possibile o non salire indeterminatamente nella tipologia?

La prova di Brouwer che AAA ( p ) → A ( p ), sembra anche a me sospetta. È derivata da p → AA ( p ). L’argomento è che, poiché da p posso ricavare AA ( p ), allora se posso ridurre AA ( p ) per assurdo posso ridurre p all’assurdo sc . via AA ( p ) . Ma in che senso è vero che da p posso ricavare AA ( p ) ? E’ chiaro che da P ( p ) posso ricavare AA ( p ) per la proposizione generale che una contraddizione non può essere provata , ma come da p stesso?

Questo può essere vero , ma non mi sembra chiaro . Si tratta di un problema difficile di metamatematica.

Appartiene al livello in cui AA ( p ) è un simbolo da essere derivato attraverso alcune regole da p.

Direte, se una proposizione è vera non possiamo dimostrarla falsa, ma queste non sono proposizioni.

* * *

Nota agli Annalen di Brouwer XCV 1925-6 p. 453 22

22 Cfr. Brouwer, «Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik», parte II, Mathematischen Annalen 95 (1925), pp. 453.472. Cfr. anche parte I, Ibidem 93 (1925), pp. 244-257, e parte III, Ibidem 96 (1926), pp. 451-488. Entrambi ristampati in Collected Works, Amsterdam: North Holland, 1975, parte I, pp. 301-314, parte II, pp. 321-340 e parte III pp. 352-389.

L’argomento che r = s ≣ AA (r = s)

è il seguente

Posto  r = s sia α

r > s sia β

r < s sia ϒ

Da 1.                α → A (β) A (ϒ)

β → A (ϒ) A (α)

y → A (α) A (β)

Da (3)              A (β) A (α) → ϒ

da (4)               A (β) A (ϒ) → α

da (3) scambiando r con s A (ϒ) A (α) → β

∴ α ≣ A (β) A (ϒ) ecc.

ma ora α → A (β)

∴ AA → A (α)

Allo stesso modo AA (β) → A (ϒ)

∴ AA (β) → A (α) A (ϒ) ≣ β

ma sempre β → AA (β)

∴ β ≣ AA (β)

allo stesso modo gli altri.

* * *

Nella teoria intuizionista è indispensabile separare i numeri reali, nel senso di Cantor da numeri reali nel senso di Dedekind. Nel senso di Cantor un numero reale è una sequenza di intervalli cioè una coppia di funzioni di n con valori razionali che soddisfano certe disuguaglianze. Nel senso di Dedekind è una sezione dei numeri razionali .

Un numero reale nel senso di Dedekind da una parte dà origine ad un numero nel senso di Cantor ma non viceversa

ad esempio 1-1/3 1 /5 – …..

ovviamente, non divide i numeri razionali. Se dico che è m / n > o < di questo, non esiste una procedura in grado di dare una risposta.

La teoria intuizionista assume lo stesso punto di vista di tutto l’infinito , che è stato precedentemente assunta dell’infinità dei tipi (o meglio, degli ordini). Qualsiasi infinito è una totalità illegittima, ma possiamo parlare di qualsiasi parte finita di esso, e utilizzare una variabile reale applicabile ad alcuni dei suoi membri.

* * *

23 Il punto di τ (e probabilmente di ε ) è quello di consentire a variabili reali di essere costituite come apparenti

23 Le seguenti osservazioni riguardano l’ultima parte del documento 004-04-01, «L’infinito».

ad esempio x = x

τx ( xx ) = τx ( xx )

∴ ( x ) x = x

In caso contrario, potremmo spiegare che ( x ) A ( x ) come sempre falso

( Ex) A ( x ) —————— vero

* * *

Riferimenti 24

24 I seguenti riferimenti sono scritti a matita sul retro dell’ultima pagina del documento 006-0607, che contiene una sintesi (qui omessa) dell’articolo di Brouwer «Uber die Bedeutung des Satzes Vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie», Journal für die reine und angewante Mathematik, pp. 1-7, ristampato in Collected Works , 2 voll. , Amsterdam : Nord Holland, 1975 , pp 268-275, traduzione in inglese «Sul significato del principio del terzo escluso in Matematica , in particolare nella Teoria delle funzioni» , in van Heijenoort (ed.) , From Frege to Gödel, cit., pp. 334-341 .

Weyl              MZ Bd 10 39-79 1921

20 131-150 1924 25

25 Cfr. H. Weyl , « Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik », cit . Randbemerkungen Hauptproblemen zu der Mathematik » , Mathematische Zeitschrift 20 (1924), pp. 131-150, ristampato in Gesammelte Abhandlungen, cit., pp. 433-452.

Neumann       MZ 26 1-46 1927 26

26 J. Von Neumann, «Zur Hilbertschen Beweistheorie», cit .

Brouwer            MA 96 , 97

Crelle 154

Verhand d Kon v Wetensch te Amsterdam

1 XIII Nr2 1923

Bull Amer Math Soc. Bd. 20 , 81-96, 1913

Math Ann 83             201-210 1921

Jaresbericht 33         251-256 1924 27

27 See Brouwer, « Zur Begrüindung der intuitionistischen Mathematik III», cit.; «Über Definitionsbereiche von Funktionen», Mathematische Annalen 97 (1927), pp. 60-75, ristampato in Collected Works, cit, pp. 390-405 , traduzione in inglese « Sui domini di definizione delle funzioni» , in J. Van Heijenoort (a cura di), From Frege to Gödel, cit, pp. 446-463; «Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie», cit.; «Begründung der Funktionenlehre unabhängig von logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erste Teil : Stetigkeit, Messbarkeit, Derivierbarkeit» , Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, prima sezione, 13 (1923), n. 2 , ristampato in Collected Works, cit. pp. 246-267;  «Intuitionism and Formalism», Bulletin of the American Mathematical Society 20 (1913), pp. 81-96 , ristampato in Collected Works, cit, pp 123 . -138 e in P. Benacerraf e H. Putnam (a cura di), Filosofia della Matematica : Letture selezionate, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1964, pp. 66-77; « Besitzt jede réelle Zahl eine Dezimalbruchentwickelung?», Mathematische Annalen 83 (1921), pp. 201-210, ristampato in Collected Works, cit, pp. 236-245 ; «Intutionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 33 (1924), pp. 251-256, ristampato in Collected Works, cit., pp. 275-280.

Questo è il testo originale:

THE FORMAL STRUCTURE OF INTUITIONIST MATHEMATICS 1

1 Added in pencil, not by Ramsey: written in 1929.

1. We have to begin by considering the nature of mathematical propositions, and first those that contain no variables.

These all follow from definitions only and are therefore identities, not genuine judgments: nevertheless they correspond to definite judgments about symbols e.g. that “2 + 2” and “4” come, when worked out, to the same thing. Of these we can naturally form any finite truth-function, and manipulate such truth functions according to the ordinary propositional calculus.

2. When however we consider such a proposition as (n,m) nm = mn the case is different. We can prove it by certain processes to be defined below, and in consequence if we substitute any particular numbers for n and m we get an identity.

To it corresponds the judgment “whatever numbers we substitute for ‘n’ and ‘m’ the two sides ‘nm’ and ‘mn’ work out to the same number”. This judgment seems at first sight to be the infinite logical product of all the singular judgments asserting that this will happen in the case of each separate possible substitution. But when we reflect that the mind cannot attain to any such infinite conception, we see that the range of the judgment, i.e. the number of terms in the product is limited by some circumstance connected with our making it; there is a limit to the amount of paper time etc. we are thinking of as available for performing these substitutions and so a limit to the substitutions contemplated. (cf. I have written a number on the board). Thus the formula nmmn will give rise to different judgments on different occasions according to the range of numbers contemplated, which must on any one occasion be finite but cannot be fixed once and for all. Any of these different judgments can, of course, be denied or used as the argument to any truth function, but there is no one judgment associated with the formula which can be treated in this way.

If we take, for instance, (n,x,y,z) xn+2 + yn+2zn+2 we cannot say “that is either right or wrong”, except by making it a definite judgment by limiting the ranges of the variables. If we do this we must for exact purposes specify how we have done it and then it ceases to be Fermat’s Theorem in its generality at all.

3. We cannot, therefore, interpret a general mathematical proposition as an infinite truth-function of its instances; but still it may seem another way lies open, that of taking it xn, reading it “xn+2 + yn+2cannot equal zn+2”, and meaning by it that certain processes (principally mathematical induction) permit us to prove that xn+2 + yn+2zn+2. Such an interpretation, however, does not escape the difficulty but merely conceals it; our judgment is now that “There is a series of substitutions and arguments leading to xn+2 + yn+2zn+2, and here again we have an infinite truth-function unless the length of the series is in some way limited. We cannot say “Either there is such a series or there isn’t” unless we are in some way limiting its length, as for instance when we say “I have either found such a series or I haven’t.”

It seems then that a general mathematical proposition does not correspond to a judgment in the way a singular proposition does, although by substitution it leads to such judgments and truth functions of any finite number of such judgments. When we have proved such a proposition we can, of course, make the judgment that we have proved it (and the judgment that any instance of it is true) but this is not an equivalent to the proposition itself e.g. “I have not proved p” is not the same as “I have proved not-p”.

4. We cannot therefore assume that mathematical propositions in general can be made arguments to truth-functions and treated by the propositional calculus, but must examine this question afresh.

It is complicated by the fact that our previous criticisms have left us without a clear conception of the nature and purpose of mathematics. Our old conception that the “propositions” of mathematics expressed each a true judgment has been destroyed and we have as yet nothing to put in its place.

5. Of mathematics as a whole including geometry and its physical applications we need not here speak. We shall concern ourselves solely with the theory of numbers, integral, rational, real and complex; in this theory we are concerned essentially with calculations, and our mathematics must not lead to a false calculation. However our mathematical formulae are constructed we must have many ways of deducing the results of calculations which are verifiably right or wrong. If our mathematical formulae are to have any value these calculations must always be right, and in laying down our rules of construction and manipulation we must be sure that they can never lead to falsity.

Now it may be that the ordinary rules permitting us to combine any mathematical propositions by means of truth functions are of this kind; indeed I think von Neumann has proved that they are. But this is not obvious and requires to be proved; and we have to consider carefully what rules we can see to be of this character, and adopt with confidence as the basis of all demonstration. (Only such rules must be used by Hilbert or von Neumann in their proofs of the non-contradiction of the ordinary rules)10.

10 See D. Hilbert, «Die logischen Grundlagen der Mathematik», Matematischen Annalen 88(1923), pp. 151-165, reprinted in Gesammelte Abhandlungen, vol. III, cit., 178-191; von Neumann, «Zur Hilbertschen Beweistheorie», Mathematische Zeitschrift 26(1927), pp. 1-46, reprinted in Collected Works, New York: Pergamon, 1961, pp. 256-3001.

6. Such rules are the processes of definition by recursion, proof by recursion, substitution for variables, and the use of the propositional calculus all applied to expressions containing only real variables; and so far as I can see no others, at this level where we have not yet introduced variable functions. These rules are exactly those adopted by Skolem. We can be sure they will lead to no mistake; (our judgment to that effect, necessarily limited to a finite range of application, is a tautology and an evident tautology).

7. It is, however, interesting and useful to go beyond this simple scheme and introduce apparent variables of both types (x) and (Ex). Such variables for explicit finite ranges can be introduced without any new principle by the definitions

Schermata 2013-11-08 alle 16.21.42

But it is often convenient not to have to write the range explicitly, and to make this possible we need only introduce and justify suitable rules for using apparent variables.

The idea of these rules will be that wherever we have (Ex) we have got it from some definite example (or finite number of values one of which is known to be an example) which we could have preserved instead of abbreviating it into (Ex); nothing can naturally be deduced from the proposition with (Ex) that could not have been deduced by using the longer proposition containing the definite example, so that no contradiction can possibly arise.

These rules we shall now set out.

8. The symbols we shall use are

(a) individual numbers 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, etc.

(b) variable numbers m, n, p etc.

(c) numerical functions f(m), g(m,n) etc.

(d) the logical signs &, V, -, ( ), (E)

(e) the sign =

9. Definitions shall be either ordinary definitions about which nothing further need be said, or else definitions by recursion of numerical functions according to the following scheme.

It will be sufficient for the purpose of illustration to take functions of two variables f (m,n). Of the two variables either or both may be recursion variables in the definition; let us suppose first that only the second variable fl is such a recursion variable.

Then the definition must have the form

f(m, 1) = some compound of functions of m already defined including the function +1

f(m,n + 1) : some compound of functions already defined as before including  f(m,x) for values x proved to be less than n.

If both variables are recursion variables then we have to define say f(1, n) by recursion as above

and then

Schermata 2013-11-24 alle 17.51.27

So also we can define two or more functions together

Schermata 2013-11-24 alle 17.53.28

All definitions may be conditional on equations being satisfied or not satisfied

Schermata 2013-11-08 alle 16.42.26

[This is perhaps not a complete account of definitions.

Ackermann’s paper on functions defined by recursion must be consulted14.

14 See W. Ackermann, «Zur Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen», Mathematischen Annalen 99 (1928), pp. 118-133, English translation in J van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, cit., pp. 493-507.

10. Primitive propositions

Schermata 2013-11-08 alle 16.48.23

11. Rules of inference. These relate to propositions of the only sort we are allowed to make namely those consisting of a matrix preceded possibly by a series of prefixes.

The matrix must be a truth function of equations between values of defined functions with constant or variable arguments.

The prefixes must be either of the form (m) or (Em) and the same variable must not occur in two prefixes. A variable occurring in the matrix but not in a prefix is called free.

The rules of inference are as follows:

(a) Relettering. For any variable m in a proposition we may substitute any other letter n, provided we substitute for it on all its occurrences, and that the new letter n did not occur

in the proposition before.

(b))Dropping prefix. If the variable of a prefix does not occur in the matrix it may be omitted

(c) Interchanges of prefixes. We may interchange two consecutive prefixes if they are both alls or both E’s and we may replace two consecutive ones of the form (Em) (n) by (n) (Em) but not vice versa

(d) Prefixing a free variable. If n is a free variable we may insert (n) in front of the proposition

(e) Substitution for a free variable. We may substitute for a free variable on all of its occurrences any constant number or any other free variable.

(f) Substitution for an all variable. If there is a prefix of the form (n) we may omit it provided we replace it in all its occurrences in the matrix by the same constant number or value of a defined function for arguments taken entirely from the variables of prefixes preceding (n).

(g) Introduction of an E. Any value of any function occurring in the matrix may be replaced in any or all of its occurrences by a variable n not occurring in the proposition if at the same time a new prefix (En) is inserted not further forward than any prefix whose variable is an argument in the value of the function in question.

(h) Condensation of E’s. If a matrix of the form φ (n) V φ (m)* be immediately preceded by two prefixes (En) (Em) the prefix (Em) may be deleted and “V φ (m)” may be deleted from the matrix.

* φ (m) must be derivable from φ (n) by putting m for n in all its occurrences in φ (n).

(i)  Combination of Two Proposition. Any two propositions already proved may be combined into one proposition by

(i) relettering them so that no letter occurs in both

(ii) combining the matrices by means of &

(iii) combining the prefixes into a single series in any manner which preserves the order of every pair of prefixes which come from the same proposition.

(j) Mathematical induction

If a proposition containing a real variable n be denoted by A(n) and we prove

A(1)

and also can deduce by our rules A(n+1) from A(n) and the propositions we have already proved then A(n) is proved.

Note on Rule (i)

In using (i) it is nearly always necessary to follow it by using (f) e.g. (n) φ (n) and (n) ψ (n) give

(n) (m) φ (n) & ψ (m)) and thence by (f) (n)φ (n)& ψ (n)).

Also when in doubt it is best to put an E before an “all” e.g. from

Schermata 2013-11-08 alle 17.09.47

whence by (f) (Em)φ (m) & (φ (m) —> ψ (m))

whence by (k) (Em) ψ (m)

(k) Formal Logic. If P —> Q is a tautological truth-function we may proceed from a proposition with matrix P to one with matrix Q and the same prefixes as the former.

12. The correctness of these rules can be seen as follows; all those except such as relate to E are essential to any reasoning and may be assumed correct, and we have only to see that the introduction of E cannot lead to any contradiction‘ This is easy for we could always get the same contradiction without introducing E, since the same inferences would always be possible if we did not introduce E according to rule (g) but left the value of the function as it was. The only point at which this is not quite clear is in connection with rule (h); for having shortened

(Em,p) φ (m) V φ (p) into (Em) φ(m)

we may by rule (i) get

(Em) (p) φ (m) ψ (p)

whence by (f) (Em) φ (m) ψ (m)

which might be a contradiction, which could not be obtained quite in this way without using E’s

e.g. we should have

φ (λ) V φ (μl)             λ, μ values of functions

(p) ψ (p)

whence (p) ψ (p) & (φ(λ)V φ (μ))

whence  ψ (λ) & {φ (λ) V φ (μ)}

ψ(μ) & {φ (λ) V φ(μ)}

whence ψ (λ) & ψ(μ) & (φ (λ) V φ (μ)

which must be a contradiction.

This proof needs however formal statement.

13. It is perhaps worth showing that these primitive propositions and rules permit us always to interchange

Schermata 2013-11-08 alle 18.04.47

(x) being any truth function of equations involving x.

Here the definitions of Schermata 2013-11-09 alle 18.49.58 are

Schermata 2013-11-09 alle 18.53.09

We have by an immediate induction

Schermata 2013-11-09 alle 18.56.45

We prove the propositions

Schermata 2013-11-09 alle 18.58.16

by induction. Having done that we can always

go from Schermata 2013-11-09 alle 19.00.34

by combination with (i) to (Ex) φ (x) ⋅ xn

and from Schermata 2013-11-12 alle 08.38.14 

by combination with (ii) to (x) (xn —> φ (x)).

Conversely if we have (Ex)φ (x) . xn we can by combination with (ii), with Schermata 2013-11-09 alle 20.44.22 for φ

Schermata 2013-11-09 alle 20.45.27

∴ by substitution

Schermata 2013-11-09 alle 20.47.16

and if we have

(x) {x ≤n → φ(x)} 

by combination with (i) for Schermata 2013-11-09 alle 20.44.22we get

Schermata 2013-11-09 alle 20.51.50

It remains therefore to prove (i), (ii) by induction.

For (i) we have

Schermata 2013-11-09 alle 21.05.05

Also assuming Schermata 2013-11-09 alle 21.06.19

we have (y) (ynyn+1).

∴ by combination and substitution of x for y

 Schermata 2013-11-09 alle 21.09.47

we have also

(x) x = n+1 . φ (n + 1) → φ (x).

∴ by combination and substitution

Schermata 2013-11-09 alle 21.15.45

(14) If we compare these rules with Russell’s the most fundamental divergence is that Russell’s allow

Schermata 2013-11-23 alle 22.23.44 senza to be proved

to be proved.

This is one interpretation of

Schermata 2013-11-09 alle 21.19.14

the other beingSchermata 2013-11-09 alle 21.20.46

which our rules allow.

In Russell’s logic the 1“ of these could be deduced from the second by writing

Schermata 2013-11-10 alle 20.24.55

in which all the occurrences of n are separated from all the occurrences of m by a stroke.

Notes on Reductio ad Absurdum

I think that a reductio ad absurdum

of (En) φ n

could always be transformed into a proof

Schermata 2013-11-09 alle 21.25.44

and a reductio ad absurdum of

(n) φ n into a proof of

Schermata 2013-11-09 alle 21.28.33

The difficulty of showing this arises I think entirely in connection with induction.

But even so as soon as we get to

(n) (Em) φ(n,m)

the case is different; this can certainly be reduced to absurdity, without our being able to derive any proof of

Schermata 2013-11-09 alle 21.31.12

e.g. let ψ (n) = n is the 1“ number to have a certain property P.

Then we can reduce to absurdity

(n) (Em) m > n Ψ

by combining it with itself in the form

(n) (Em) (r) (Eμ) m > n ⋄ Ψ m ⋄ μ > r ⋄ Ψ μ

Now substitute m for r

and we get (n) (Em, μ) m > n ⋄ μ > m ⋄ Ψ m ⋅Ψμ

whence (Em, μ) μ  > m ⋅ Ψ m ⋅ Ψμ

which is impossible

but we do not get from this a proof of

Schermata 2013-11-09 alle 21.44.20

which we can only get by finding either that no numbers have P or by finding that there is a number less than a certain n which has it.

When we go on to Absurdity of Absurdity and so on as Brouwer does we must widen our conception of the subject and include symbolic proofs among the objects of our investigation.

This seems to me to complicate the question enormously and I doubt if Brouwer’s remarks on it are sound.

For instance we should have corresponding to any proposition about numbers p another proposition P(“ p “) meaning that “p” can be proved, and these two would not be altogether equivalent. For though if I had proved p I could immediately derive a proof of (“p”); yet I could not deduce P(“p”) from p assumed hypothetically, and if I could reduce P(“p”) to absurdity it would not follow that I could reduce p to absurdity.

Why Brouwer chooses the plane for his examples is that in one dimension

x = y is (n) φ1n > ψ2 n approx.

∴ A(x =y) is (En) φ1n ≮ φ2 n

AA (x =y) is x = y again.

In plane

x = y is more complicated namely

Schermata 2013-11-09 alle 21.55.47

Brouwer’s series p A(p) AA(p) seems to mean only one rise of type. We have to do metamathematics and AA(p) means that a certain metamathematical hypothesis can be reduced to absurdity. We do not in this series get to metamathematics.

But it seems to me that though he is right that AAA(p) = Al(p) yet AAP(p) is a non-reducible proposition of higher type.

{N.B. PP(p) = P(p) PA(p ) = A(p)}

Also? A(m) A(En) A(μ) A(Er)——?

is here any reduction possible or do we not rise indefinitely in type?

Brouwer’s proof that AAA(p) —> A(p) also seems to me suspicious. It is derived from p ——> AA(p). The argument is that since from p I can derive AA(p) then if I can reduce AA(p) to absurdity I can reduce p to absurdity sc. via AA(p). But in what sense is it true that from p I can derive AA(p)? It is clear that from P(p) I can derive AA(p) by the general proposition that a contradiction cannot be proved, but how from p itself?

This may be true but it doesn’t seem to me clear. It is a difficult problem of metamathematics.

It belongs at the level at which AA(p) is a symbol to be derived by certain rules from p.

You will say if a proposition is true we can’t prove it false but these are not propositions.

* * *

Note to Brouwer Annalen XCV 1925-6 p. 453 22

22 See  Brouwer, «Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik», Part II, Mathematischen Annalen 95(1925), pp. 453472. See also Part I, ibidem 93 (1925), pp. 244-257, and Part II, Ibidem 96 (1926), pp. 451-488. Both are reprinted in Collected Works, Amsterdam: North Holland, 1975, Part I pp. 301-314, Part II pp. 321-340 and Part III pp. 352-389.

The argument that r = s ≣ AA(r = s)

is as follows

Let r = s be α

r > s be β

r < s be ϒ

From 1.α → A(β) A(ϒ)

β → A(ϒ) A(α)

y → A(α) A(β)

From (3) A([β) A(α) → ϒ

from (4) A(β) A(ϒ) → α

from (3) interchanging r and s A(ϒ) A(α) → β

∴ α ≣ A(β) A(ϒW) etc

but now α → A(β)

∴ AA → A (α)

similarly AA(β) → A(ϒ)

∴ AA(β) → A(α) A (ϒ) ≣ β

but always β → AA(β)

∴ β ≣ AA(β)

similarly others

* * *

On an intuitionist theory it is essential to separate real numbers in the sense of Cantor from real numbers in the sense of Dedekind. In the sense of Cantor a real number is a sequence of intervals i.e. a pair of functions of n with rational values satisfying certain inequalities. In the sense of Dedekind it is a section of rationals.

A real number in the sense of Dedekind at once gives rise to one in the sense of Cantor but not conversely

e.g. 1-1/3 +1/5 – …..

does not obviously divide the rationals. If I say is m/n > or < than it, there is no procedure bound to give an answer.

The intuitionist theory takes the same view of all infinity, that was previously taken of the infinity of types (or rather orders). Any infinite is an illegitimate totality, but we can speak of any finite part of it, and use a real variable applicable to any of its members.

23The point of τ (and probably of ε) is to allow real variables to be made apparent

23 The following remarks are related to the last part of document 004-04-01, «The infinite».

e.g. x = x

τx (xx) = τ(xx)

∴ (x) x = x

Otherwise we could explain (x) A (x) as always false

(Ex) A (x) ————- true

* * *

References 24

24 The following references are written in pencil on the reverse of the last page of document 006-0607, which contains a summary (here omitted) of  Brouwer’s article «Uber die Bedeutung des Satzes Vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie», Journal für die reine und angewante Mathematik, pp. 1-7, reprinted in Collected  Works, 2 voll., Amsterdam: North Holland, 1975, pp. 268-275, English translation «On the Significance of the Principle of Excluded Middle in Mathematics, Especially in Function Theory», in  van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, cit., pp. 334-341.

Weyl MZ Bd 10 39-79 1921

20 131-150 1924 25

25 See H. Weyl, «Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik», cit. Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik», Mathematische Zeitschrift 20(1924), pp. 131-150, reprinted in Gesammelte Abhandlungen, cit., pp. 433-452.

Neumann MZ 26 1-46 1927 26

26  J. Von Neumann, «Zur Hilbertschen Beweistheorie», cit.

Brouwer    MA 96, 97

Crelle 154

Verhand d Kon v Wetensch te Amsterdam

1 XIII Nr2 1923

Bull Amer Math Soc Bd 20, 81-96, 1913

Math Ann 83 201-210 1921

Jaresbericht  33 251-256 1924 27

27 See  Brouwer, «Zur Begrüindung der intuitionistischen Mathematik III», cit.; «Über Definitionsbereiche von Funktionen», Mathematische Annalen 97 (1927), pp. 60-75, reprinted in Collected Works, cit., pp. 390-405, English translation «On the Domains of Definition of Functions», in J. Van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, cit., pp. 446-463; «Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie», cit.; «Begründung der Funktionenlehre unabhangig von logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erste Teil: Stetigkeit, Messbarkeit, Derivierbarkeit», Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1st section, 13 (1923), n. 2, reprinted in Collected Works, cit., pp. 246-267; «Intuitionism and Formalism», Bulletin of the American Mathematical Society 20 (1913), pp. 81-96, reprinted in Collecied Works, cit., pp. 123-138 and in P. Benacerraf and H. Putnam (eds.), Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1964, pp. 66-77; «Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwickelung?», Mathematische Annalen 83 (1921), pp. 201-210, reprinted in Collected Works, cit., pp. 236-245; «Intutionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe», Jahresbericht  der Deutschen Mathematiker Vereinigung 33 (1924), pp. 251-256, reprinted in Collected Works, cit., pp. 275-280.

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