PRINCIPLES OF FINITIST MATHEMATICS – PRINCIPI DI MATEMATICA FINITISTICA

7 Nov

DSCN3566Questo appunto di Frank P. Ramsey è molto simile ad una pubblicazione in appendice ad uno scritto di U. Majer.

Propongo la traduzione del testo tratto dal libro della prof.ssa Maria Carla Galavotti Notes on  Philosophy, Probability and Mathematics edizione Bibliopolis.

Al termine riporto il testo in lingua originale.

PRINCIPI DI MATEMATICA FINITISTICA1

1 Una trascrizione di questa nota è stata pubblicato in appendice a U. Majer , «Concezione delle teorie di Ramsey: un approccio intuizionista », History of Philosophy Quarterly 6 (1989), pp 233-258 (il testo di Ramsey pp 255-258). Con riferimento a quanto sopra, la presente trascrizione contiene alcune modifiche e alcune ulteriori note bibliografiche .

Ex (funzioni descrittive) dobbiamo essere in grado di farne a meno. confronta Skolem. 2

2 Cfr. T. Skolem , « Bergründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung Scheinbarer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereich » , Videnskapsselskapets skrifter , 1 , Matematisk naturvidenskabelig – Klasse , n . 6 , 1923 , traduzione inglese «The Foundations of Elementary Arithmetic Established by means of the Recursive Mode of Thought, Without the Use of Apparent Variables Ranging over Infinite Domains», in van Heijenoort (ed.) From Frege to Gödel, Cambridge – London : Cambridge University Press , 1967, pp 303-333 .

Una proposizione che la contiene è una descrizione astratta di una proposizione piuttosto che una stessa proposizione, e la proposizione descritta deve poter essere data. Se questa è (x) (Ey), y sta per una funzione. La proposizione descritta ha fx per y .

( 2) Ma anche se se ne può fare a meno, questo sarebbe molto scomodo ed è meglio stabilire norme che disciplinano il suo uso nel senso di cui sopra.

( 3) In primo luogo dobbiamo spiegare quando e come può essere introdotta.

Da per esempio 2 + 2 = 4, possiamo procedere a (Ex) 2 + x = 4 che significa per così dire che abbiamo avuto (e potrebbe avere ancora una proposizione della forma ) 2 + x = 4 (cioè 2 + 2 = 4) .

Questa è la semplice formula φ(a) rispetto a (Ex) φ x , (φ una funzione proposizionale, f una funzione numerica), e quindi da (x) x + 2 = 2 + x potremmo avere (Ey) (x) x + y = y + x.

( 4) Ma la difficoltà sorge quando si tratta di pervenire ad un (Ey) entro una (x) .

ad esempio Come si arriva a (x,y) { x > y ( Ez) x = y + z} ?

[ N.B. definizione di x > y è x <1 è falsa x < y + 1 : = : x < y V x = y] .

Ciò solleva la difficoltà generale di introdurre funzioni descrittive. Dal vecchio punto di vista la funzione descrittiva era definita mediante E, dal nuovo punto di vista E è definita o derivata dalla funzione descrittiva.

( 5 ) Il metodo di Skolem è di limitare il campo di z per quanto sopra ai numeri da 1 a x , e definire Ex1 z  ricorsivamente.

( 6) Lo svantaggio di questo metodo è che in realtà non apre la via all’introduzione di E nel modo in cui vogliamo utilizzarlo senza l’esplicita indicazione del campo di applicazione. Dobbiamo ancora dover trasformare il campo di applicazione in una variabile apparente con una nuova E.

( 7 ) In secondo luogo Skolem definisce xy = z per indicare x + y = z.

( 8 ) Lo svantaggio di questo è che non chiarisce  infine in quali condizioni xy è una funzione descrittiva con valore, e quindi non fa nessuna preparazione per l’ utilizzo di una funzione descrittiva variabile che è essenziale nell’analisi.

Il metodo corretto sembra essere di Weyl ( MZ vol. 10 1921 p . 60 ) 3 .

3 Cfr. H , Weyl , « Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik » , Mathematische Zeitschrift 10 ( 1921), pp. 39-79 , ristampato in Gesammelte Abhandlungen, cit. , Vol. II, pp. 143-80. Ramsey ha scritto un estratto di questo articolo, vedere RC 007-04-0111 .

Egli definisce xy come priva di significato se xy

y + 1 – y sarà 1

x + 1 – y sarà (xy) +1

xy è così definito in modo univoco per x > y e abbiamo

(x , y) (x > yx = y + ( x – y) )

x – y preso come f(x , y) può essere sostituito da Ez così abbiamo

(x , y) (x > y (Ezx = y + z) .

( 10 ) La formula per questo procedimento è

da (x , y) { φ (x , y) → ψ (x , y , f (x , y) ) }

a (x , y) { φ ( x , y ) → ( Ez ) ψ ( x , y, z) } .

( 11) Siamo in grado di prenderla nella forma più semplice

da (x , y) { ψ (x , y , f (x , y) }

a (x , y) (Ez) ψ (x , y , z) .

Se siamo d’accordo che xy deve avere un significato preciso, per esempio 1, se xy ma si usa solo quando x > y.

( 12) Ed è chiaramente in questa forma che ne abbiamo bisogno, perché solo se può essere messo in questa forma il processo è valido

ad esempio (x,y) { ψ { x , y , f (x , y) } → (x , y) }

non potrebbe dare ( x , y) { { (Ez) ( ψ x , y, z ) } → ( x , y) } .

( 13 ) Abbiamo così una formula generale per l’introduzione di un E.

Vale a dire in

( x , y , z ) ( Ex1 , y1 ) ( z1 ) ….. ( x , y , z , x1 , y1 , z1 , f ( ) )

possiamo sostituire f ( ) con u e porre Eu davanti, quanto più avanti ci piace purché non andiamo di fronte a qualsiasi variabile che appare come argomento di f .

( 14 ) Questo è essenzialmente una regola di inferenza che permette l’inserimento di un E in una proposizione in cui tutte le variabili hanno ambito illimitato. Non abbiamo ancora introdotto le variabili di portata limitata, e quindi anche noi non possiamo prendere in considerazione una proposizione primitiva della forma P → Q con una E in essa.

( 15 ) Corrispondente a questa regola generale per l’introduzione di un E abbiamo una regola generale per l’eliminazione completa di una E; vale a dire che ogni ( x ) può essere sostituita da qualsiasi funzione delle variabili precedenti .

( 16) Ci sono anche le regole per scambiare i prefissi cioè che possiamo rientrare nel caso di due prefissi consecutivi da ( x ) ( y) a ( y) ( x )

da ( Ex) ( Ey ) a ( Ey ) ( Ex)

da ( Ex) ( y) a ( y) ( Ex).

( 17 ) Inoltre, se φ (x , y, z) è una tautologia (elementare) possiamo affermarla con qualsiasi prefisso qualsiasi sia, e se φ ( x , y, z ) → ψ ( x , y, z) è una tautologia

noi possiamo andare dai prefissi φ ( x , y, z)                       (α)

agli stessi prefissi ψ ( x , y, z)

( 18 ) Successivamente introduciamo le variabili di portata limitata per il caso particolare delle combinazione tramite il solo ” e “.

Ogni volta che abbiamo espressioni P , Q possiamo procedere a P & Q e poi inserire la & all’interno secondo le seguenti regole.

( 19) Se siano o meno P , Q. .. φ , ψ elementari possiamo sempre fare sostituzioni secondo le seguenti regole

( x ) φ x & P                           ~ ( x ) ( φ x & P )                   ( β )

( Ex) φ x & P                          ~ ( Ex) ( φ x & P )                 ( ϒ )

che possiamo applicare sempre in qualsiasi ordine prima cambiando le variabili apparenti, se necessario,

ad esempio ( x ) φ x & ( Ex) ψ x

può essere preso come ( x ) ( Ey ) φ x & ψ y

o come è più utile ( Ey ) ( x ) φ x & ψ y

che dà contemporaneamente ( Ey ) φ y & ψ y.

Queste sostituzioni possono essere effettuate entro i prefissi .

( 20 ) Essi giustificano le modalità fondamentali

Schermata 2013-11-05 alle 17.07.16

Perciò ( a) deriva da ( b) per ( α ) e ( b) deriva da ( β ). Perciò otteniamo

( x ) ( y ) ( φ x  & ψ y) e, di conseguenza , eliminando y , ( x ) ( φ x & x ψ).

( c) sia ( ϒ ). (e ) deriva da ( d ) per ( α ) e ( d ) viene ricavato da ( β ) (ϒ ) di cui sopra .

( 21 ) Queste regole , anche se non tutte indipendenti, danno, credo, tutte le modalità logiche consentiti dai finitisti, ma non tutte quelle consentite da Russell. Per esempio abbiamo nella logica di Russell

( Ex) ( y) ( φ x V φ y) , ma non nei finitisti .

( 22) Per Russell c’è una interpretazione di ( Ex) φ x . V. ( ySchermata 2013-11-05 alle 17.16.28    , una formula che ha due interpretazioni a seconda del termine che viene ampliato per primo. Se ampliassimo l’altro termine per primo otterremmo ( y) ( Ex) ( φ x V  Schermata 2013-11-05 alle 17.16.28       ) che è vero anche nell’intuizionismo.

( 23 ) La logica di Russell ha perciò corretto all’inizio un modo di ottenere decisioni esistenziali, negati all’intuizionista. Ciò si verifica in sostanza nella sua regola di andare da

( x ) ( Ey ) φ x | ψ y  a

(E y) ( x ) φ x | ψ x

( 24 ) In una logica come quella di Hilbert permettendo proposizioni generali di portata limitata dall’inizio non si può dire che proprio qui è l’errore. L’intero metodo è sbagliato.

( 25 ) Naturalmente non penso che sia sbagliato nella logica delle proposizioni autentiche, o nella logica della scienza, ma solo nella logica della matematica .

( 26 ) Veniamo ora all’ uso generale delle proposizioni di portata limitata . È chiaro che se queste si devono utilizzare del tutto, ciò deve essere in un modo nuovo. Non possiamo andare oltre con queste semplicemente sostituendole nelle tautologie ad esempio ponendo (Schermata 2013-11-05 alle 17.26.50  ) φ x V ( x ) φ x  a meno che abbiamo un modo di cambiare il campo di applicazione. L’unico modo di cambiare il campo di applicazione sembra essere quello di Russell, che tranne nel un caso di & dà risultati contrari al finitismo.

( 27) Tuttavia sono in qualche modo utilizzati da Brouwer e compaiono nel suo sistema ogni volta che usa parole come ” assurdo ” , “impossibile”. Dobbiamo chiederci ( 1) che cosa significano questi predicati ? , ( 2) come è dimostrato che una proposizione è assurda ? , ( 3) che cosa segue dal suo essere assurdo?

( 28) Quello che penso è questo

p è assurdo ” significa che prendendo p come dimostrato possiamo dedurre una contraddizione.

In questo caso si tratta di una osservazione ad un diverso livello paragonabile alla metamatematica di Hilbert, ed è difficile vedere come possa essere mescolata con la matematica ordinaria come Brouwer sembra mescolarla.

Per esempio che p è assurdo è assurdo, sembra richiedere il nostro lavorare ad una dimostrazione matematica essa stessa come oggetto di indagine .

( 29 ) In alcuni casi, tuttavia ci può essere una sorta di riduzione; per esempio se p è En       ed è assurdo. Allora la nostra deduzione di una contraddizione da p potrebbe essere sempre in grado di essere letta all’indietro in una prova di (n) Schermata 2013-11-05 alle 17.30.51 .

E tuttavia non necessariamente, se p è (n) φ n, in una prova di ( En ) Schermata 2013-11-05 alle 17.30.51      ; perché il principio di dualità non è più vero.

( 30 ) Brouwer suppone evidentemente che sia possibile una riduzione su larga scala;ad esempio dice

assurdità di assurdità di assurdità = assurdità

assurdità di assurdità di   Schermata 2013-11-05 alle 17.35.19             =    Schermata 2013-11-05 alle 17.35.19            ”  almeno in serie virtualmente ordinate”.

E questo è il testo in lingua originale:

PRINCIPLES OF FINITIST MATHEMATICS1

1 A transcription of this note has been published as an Appendix in U. Majer, «Ramsey’s Conception of Theories: An Intuitionistic Approach», History of Philosophy Quarterly 6(1989), pp. 233-258 (Ramsey’s text pp. 255-258). With respect to the above, the present transcription contains some changes and some additional bibliographical notes.

  1. Ex must be able to be dispensed with. cf. Skolem. 2

2 See T. Skolem, «Bergründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung Scheinbarer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereich», Videnskapsselskapets skrifter, 1, Matematisk-naturvidenskabelig Klasse, n. 6, 1923, English translation «The Foundations of Elementary Arithmetic Established by means of the Recursive Mode of Thought, Without the Use of Apparent Variables Ranging over Infinite Domains», in  van Heijenoort (ed.) From Frege to Gödel, Cambridge-London: Cambridge University Press, 1967, pp. 303-333.

A proposition containing it is a description abstract of a proposition rather than a proposition itself, and the proposition described must be able to be given. If it is (x) (Ey), y stands for a function. The proposition described has fx for y.

(2) But though it can be dispensed with, this would be very inconvenient and it is better to lay down rules governing its use in the above sense.

(3) In the first place we must explain when and how it can be introduced.

From e.g. 2 + 2 = 4 we may proceed to (Ex) 2 + x = 4 meaning as it were we had (and could have again a proposition of the form) 2 + x = 4 (namely 2 + 2 = 4).

This has the simple formula φ (a) to (Ex) φ x, (φ a propositional function, f a numerical function), and so from (x) x+2=2+x could have(Ey) (x)  x+y=y+X.

(4) But difficulty arises when it is a question of getting an (Ey) Within an (x).

e.g. how do We get to (x,y) {x > y (Ez) x = y + z}?

[N.B. definition of x > y is x < 1 is false x < y + 1 :=: x < y V x = y].

This raises the general difficulty of introducing descriptive functions. On the old view the descriptive function was defined by means of E, on the new E is defined or derived from the descriptive function.

(5) Skolem’s method is to limit the scope of z in the above to the numbers 1 to x, and define Ex1 z by recursion.

(6) The disadvantage of this method is that it does not really pave the way to an introduction of E in the way we want to use it without explicit indication of scope. We should still have to turn the scope into an apparent variable with a new E.

(7) Secondly Skolem defines xy = z to mean x + y = z.

(8) The disadvantage of this is that it doesn’t in the least make clear under what conditions xy is a one valued descriptive function, and so does not make any preparation for the use of a variable descriptive function which is essential in analysis.

  1. The proper method seems to be Weyl’s (MZ vol. 10 1921 p. 60) 3.

3 See H, Weyl, «Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik», Mathematische Zeitschrift 10(1921), pp. 39-79, reprinted in Gesammelte Abhandlungen, cit., vol. II, pp. 143-80. Ramsey wrote an excerpt of this essay, see RC 007-04-0111.

He defines xy as meaningless if xy

y + 1 – y to be 1

x +1 – y  to be  (xy)+1

x – y is thus defined uniquely for x > y and we have

(x,y) (x > y → x = y + (x y))

x y taken as f(x,y) may be replaced by Ez so we have

(x,y) ( > y (Ez) x = y + z).

(10) The formula for this process is

(x,y) {φ (x, y) → ψ (x, y, f(x, y))}

to (x,y) {φ (x, y) → (Ez) ψ (x, y, z)}.

(11) We can bring it under the simpler form

(x, y) ψ {(x,y, f (x,y)}

to (x, y) (Ez) ψ (x, y, z).

If we agree that x – y shall have some definite meaning, say 1, when xy but only use it when x > y.

(12) And it is clearly in this form that we want it, for only if it can be brought into this form is the process valid

eg. (x,y) {ψ  { x,y, f(x, y)} → (x,y)}

could not give (x, y) {{(Ez) (ψ x, y, z)} → (x, y)}.

(13) We thus have a general formula for the introduction of an E.

Namely in

(x,y,z) (Ex1,y1) (z1) ….. (x,y,z, x1, y1, z1, f (  ))

we can replace f( ) by u and put an Eu in front, as far forward as We like provided we don’t go in front of any variable appearing as argument to  f.

(14) This is essentially a rule of inference permitting the introduction of an E into a proposition in which all the variables have unlimited scope. Variables of limited scope we have not yet introduced, and therefore also We cannot consider a primitive proposition of the form P → Q with an E in it.

(15) Corresponding to this general rule for introducing an E we have a general rule for eliminating an all; namely that any (x) may be replaced by any function of the preceding variables.

(16) We have also the rules for interchanging prefixes namely that we can go in the case of any two consecutive prefixes from (x) (y) to (y) (x)

from (Ex) (Ey) to (E31) (Ex)

from (Ex) (y) to (y) (Ex).

(17) Further if φ(x, y, z) is a tautology (elementary) we may assert it with any prefixes whatever, and if φ (x, y, z) → ψ (x, y, z) is a tautology

we may go from prefixes φ (x, y, z)

to same prefixes ψ (x, y, z)

(18) Next we introduce variables of limited scope for the particular case of combination by means of “and” only.

Whenever we have expressions P,Q we can proceed to P&Q and then work the & inwards according to the following rules.

(19) Whether or no P,Q… φ, ψ   are elementary we may always make substitutions according to the following rules

(x) φ x & P            ~(x) (φ x & P)                   (β)

(Ex) φ x & P         ~ (Ex) (φ x & P)                (ϒ)

which we may apply always in either order first changing the apparent variables if necessary

e.g. (x) φ x & (Ex) ψ x

may be taken as (x) (Ey) φ x & ψ y

or what is more useful (Ey) (x) φ x & ψ y

which gives at once (Ey) φ y & ψ y.

These substitutions may be done within any prefixes.

(20) They justify the fundamental modes

Schermata 2013-11-05 alle 17.07.16

For (a) comes from (b) by (α) and (b) comes from (β). For we get

(x) (y) (φ x & ψ y) and hence, eliminating y, (x) (φ x & ψ x).

(c) is (ϒ). (e) comes from (d) by (α) and (d) is deduced from (β) (ϒ) above.

(21) These rules, though not all independent, give, I think, all the logical modes allowed by the finitists; but not all those allowed by Russell. For instance we have in Russell’s logic

(Ex) (y) (φ x V φ y), but not in the finitist.

(22) For Russell this is one interpretation of (Ex) φ x .V. (ySchermata 2013-11-05 alle 17.16.28          , a formula which has two interpretations according to which term we expand first. If we expand the other term first we get (y) (Ex) (φ x V   Schermata 2013-11-05 alle 17.16.28        ) which is true in intuitionism also.

(23) Russell’s logic has therefore right at the beginning a way of getting existential judgments, denied to the intuitionist. It appears essentially in his rule of going from (x) (Ey) φ x |  ψ y to

(E y) (x) φ x | ψ x

(24) In a logic such as Hilbert’s allowing general propositions of limited scope from beginning we cannot say that just here it is wrong. The whole method is wrong.

(25) Of course I do not think it is wrong in the logic of genuine propositions, or in the logic of science but only in the logic of mathematics.

(26) We come now to the general use of propositions of limited scope. It is clear that if these are to be used at all, it must be in a new way. We cannot advance with them beyond just substituting them in tautologies e.g. getting (Schermata 2013-11-05 alle 17.26.50    ) φ x V (x) φ x unless we have a way of changing the scope. The only way of changing the scope seems to be Russell’s which except in the one case of & gives results contrary to finitism.

(27) Nevertheless they are in some way used by Brouwer and appear in his system whenever he uses words like “absurd”, “impossible”. We have to ask (1) what these predicates mean?, (2) how it is shown that a proposition is absurd?, (3) what

follows from its being absurd?

(28) What I think is this

p is absurd” means that taking p as proved we can deduce a contradiction.

In this case it is a remark at a different level comparable to Hilbert’s metamathematics, and it is hard to see how it can be mingled in with ordinary mathematics as Brouwer seems to mingle it.

For instance that p is absurd is absurd, seems to require our working a mathematical proof itself a subject of inquiry.

(29) In some cases however there may be a sort of reduction; e.g. if p is En   Schermata 2013-11-05 alle 17.30.51         and is absurd. Then our deduction of a contradiction from p might always be able to be read backwards into a proof of (n) Schermata 2013-11-05 alle 17.30.51          .

And yet not necessarily, if p is (n) φ n, into a proof of (En) Schermata 2013-11-05 alle 17.30.51      ; for the principle of duality is no longer true.

(30) Brouwer evidently supposes reduction to be possible on a large scale; e.g. he says

absurdity of absurdity of absurdity = absurdity

absurdity of absurdity of   Schermata 2013-11-05 alle 17.35.19             =    Schermata 2013-11-05 alle 17.35.19              “at least in virtually ordered series”.

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