THE IDEAS OF MATHEMATICS. PART I – I CONCETTI DELLA MATEMATICA. PARTE I

4 Nov

Salaria in invernoUn appunto preparatorio del libro The Foundations of Mathematics è stato tradotto dal testo riportato nel libro della prof.ssa Maria Carla Galavotti Notes on Philosophy, Probability and Mathematics  edizione Bibliopolis. Si tratta di un importante trattazione sulle variabili, relazioni e classi.

Al termine riporto il testo in inglese

I CONCETTI DELLA MATEMATICA. PARTE I

1 . Abbiamo a che fare qui con i concetti della matematica (o della logica) come si presentano nelle proposizioni ordinarie; così evitiamo di presupporre qualsiasi relazione di proposizioni matematiche, la cui natura, al contrario, dovremo sperare in parte di chiarire.

1.1. Naturalmente non ci sono oggetti, ma costanti logiche .

2 . I più importanti concetti preliminari sono quelli di variabile, di proprietà formalerelazione, di classe e di relazione in estensione.

3 . È chiaro che una proprietà formale e una reale ugualmente definiscono una classe, ed i valori di una variabile costituiscono una classe.

4 . Chiaramente anche alcune diverse proprietà reali potrebbero definire la stessa classe, ma non è chiaro se lo possono proprietà formali differenti. Ciò appare essere possibile per ” il primo numero pari ” e ” il numero intero successivo ad uno” che sembrano essere differenti proprietà formali. Ma non possiamo escludere immediatamente la possibilità che essi siano soltanto simboli diversi per la stessa proprietà formale.

5 . Russell riteneva che ogni classe deve essere definibile da una proprietà reale. Questo è chiaramente falso, per le proprietà che lui ha costruito mediante identità che non sono proprietà reali.

6 . Se si ammette l’identità come relazione formale, come dobbiamo per l’identità di un soggetto che sia una relazione formale tra “fa” , ” ga“, queste proprietà costruite sono proprietà formali ed è chiaro che ogni classe è definita da una proprietà formale.

7 . Inoltre dal momento che una proprietà formale non può sussistere se non attraverso oggetti che la posseggano, e poiché due proprietà formali che definiscono la stessa classe sono formalmente equivalenti, nessuna proposizione può essere alterata sostituendo l’una all’altra. (E non solo mantiene il suo valore di verità, ma in realtà rimane la stessa proposizione).

Quindi proprietà formali equivalenti sono in pratica la stessa cosa e possono solo essere l’espressione di diverse espressioni simboliche della stessa proposizione.

8 . Abbiamo quindi una completa equivalenza tra le idee di classe e le proprietà formali; e, ovviamente, l’equivalenza si estende all’idea di variabile in quanto ogni classe è l’insieme di una possibile variabile, e l’insieme di ogni variabile è una classe.

9 . ” Possibile variabile ” ! ma solo come noi potremmo parlare di “possibili proposizioni “, nel senso non di affermare che qualcuno le ha di fatto prese in considerazione: vale a dire che i tipi di proposizioni sono simboli.

10 . Questa equivalenza tra idee di classe e di proprietà formali spiega la tendenza dei matematici a prendere la logica estensionalmente, mentre i logici la presero in termini intensionali. Entrambi confusero le proprietà formali con quelle reali, il punto di vista dei matematici essendo adatto ai più antichi che predominarono nella matematica, quello dei  logici ai più recenti che predominano altrove.

11 . È facile dimostrare la necessità di dea di classe o, ciò che è la stessa cosa, di relazione in estensione. Possiamo vedere questo osservando che il sistema di Russell, privato del suo uso illegittimo di identità, non può esprimere tutte le proposizioni. Prendiamo ad esempio ”  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ha lo stesso cardinale nel senso di Cantor come  Schermata 2013-10-29 alle 19.06.31      ” che significa “C’è una relazione uno a uno in estensione il cui dominio è ι Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59   φx e il cui dominio inverso è ι   Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    ψx ” . E questo Russell non lo può formulare, perché egli può trattare solo con certe relazioni in estensione poiché sono in realtà estensioni di relazioni, e quella in questione non può essere di questo tipo. Quindi abbiamo in realtà e dobbiamo avere nel nostro sistema logico qualche simbolismo per le relazioni in estensione non necessariamente l’ estensione delle relazioni vere e proprie. Vedi Johnson .

12 . Consideriamo la relazione di una classe con una proprietà che la definisce.

Supponiamo in primo luogo che la classe sia elencata come a, b , c, e chiamiamola α .

Quindi  ”  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       definisce α ” significa

Schermata 2013-11-03 alle 12.21.14

Che possiamo scrivere  Dα ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41    ).

Quindi ogni classe enumerata α dà origine ad una funzione di funzioni Dα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        ) = “ Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41    che definisce α “. E questo deve valere per qualsiasi classe se enumerata o no perché ”   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41   definisce α ” deve sempre essere una proposizione con significato.

13 . E se assimiliamo la classe α a questa funzione Dα osserviamo che si tratta di due gradini più in alto nella gerarchia funzionale rispetto ai suoi membri, non come Russell pensava un gradino più in alto.

14 . Possiamo anche osservare il caso particolare in cui α ha un membro solo a e

Schermata 2013-11-03 alle 17.45.44

14.1 . Dα  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         è la proposizione più precisa possibile, riguardante solo  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ; ma concorda con una sola verità possibile.

15 . Ogni classe è anche l’insieme di una possibile variabile; su questo c’è ad esempio una proposizione che è il prodotto dei valori di φx per quegli x in quanto appartenenti alla classe, cioè dove x è una variabile il cui insieme è la classe.

Quindi qualsiasi classe dà luogo a una variabile .

16 . Per inciso possiamo definire “variabile”. Una ” variabile” è un segno ambiguo cioè un segno correlato (significato) non con un oggetto, ma con molti, che formano il suo ” insieme”. Se questa è congiunta opportunamente con segni non ambigui, determina un insieme di proposizioni, di cui alcune possono essere asserite come funzioni vere.

17 . Si può dubitare che questo processo si verifichi mai, se abbiamo mai usato alcune  variabili tranne le variabili ordinarie senza restrizioni prendendo tutti i valori di un certo tipo. In altri casi quando affermiamo φa ⋄ φb ⋄ φc ci sembra sempre di elencare a, b , c. Un’eccezione potrebbe essere trovata in ” Quelli (indicando) sono bianchi “.

18 . Ma dimostreremo in seguito l’indubbia esistenza di variabili limitate, la cui natura possiamo indicare in anticipo dagli esempi “numero pari” ” relazione uno a uno ( in estensione)”.

19 . Per esempio “Ho un numero primo di cappelli” non può essere ” ∃ n: n è numero primo ⋅ ho n cappelli ” con ” n è primo ” non è una proposizione. Deve essere la somma logica di “Io ho n cappelli ” per i valori primi di n. Ma questo sarà spiegato più avanti.

20 . In generale teniamo conto che ” Tutto i φ sono ψ  ” se φ , ψ sono proprietà reali ciò implica la variabile senza restrizioni che è ( x ) : x φ ⊃ ψ x .

Ma se φ è una proprietà formale, implica una variabile ristretta a quei valori quanti ne ha φ, ed è il prodotto logico di ψ x per tali valori di x.

21 . Abbiamo visto che un classe α dà luogo ad una variabile A; consideriamo in quali proposizioni A si presenta. Essi saranno chiaramente nelle forme

( A) . φ A               ( B ) . φB

( ∃ A) . φA      ( ∃ B ) . φ B o forme composte da tutte quelle nella forma fSchermata 2013-10-09 alle 21.05.41     ), dove B è la variabile residuale di A ovvero i suoi valori sono tutti i valori eccetto quelli di A.

Quindi la variabile A ( e così la classe α ) dà luogo a varie funzioni di funzioni. Una di queste { ( A) . φ A : ~ ( ∃ B ) . φ B } è quella che abbiamo precedentemente considerato e chiamato Dα ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        ) ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        definisce α).

22 . È chiaro che tali funzioni di funzioni daranno le varie possibili relazioni di α con ι  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59  ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41     ). E quindi o altrimenti che queste possono essere definite in termini di due funzioni

Ogni  α ha   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41

Ogni β  ha  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        β essendo complementare ad α .

Le due funzioni fondamentali possono essere scelte in molti modi; ma è chiaro che dobbiamo avere due indefinibili uno dei quali ovviamente dobbiamo prendere  che sia

Aα   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41             = Ogni α ha  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         .

L’altro è o ~ α

o Bα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        = Ogni β ha   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         .

Possiamo definire Bα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41           = A ~ α Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41

o ~ α da B ~ α Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41            = Aα  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41

A ~ α Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        = Bα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41

poiché ~ α può verificarsi solo in questi due contesti . Dobbiamo avere due indefinibili in quanto, naturalmente, non possiamo arrivare a ~ α da α.

Definiamo

Schermata 2013-11-03 alle 16.32.08                                                                                            23 . Definiamo

Schermata 2013-11-03 alle 16.32.17

ovvero

Schermata 2013-11-03 alle 16.32.27

omettiamo

Schermata 2013-11-03 alle 16.32.56

come tautologica.

Chiaramente

Schermata 2013-11-03 alle 16.33.07

si deve ridurre a

Schermata 2013-11-03 alle 16.33.17

Questo andrà approssimativamente nella maniera seguente

Schermata 2013-11-03 alle 16.33.25

25 . Un calcolo esattamente analogo deve essere fatto per relazioni in estensione (classi di coppie). Le variabili in questo caso saranno coppie ordinate per i loro valori.

26 . L’essenza di questo calcolo di classi e relazioni in estensione è che non vanno trattate come oggetti, ma chiarisce che ogni proposizione in cui si manifestano è una funzione di verità delle proposizioni in cui non si verificano.

27 . Il punto è questo. Il verificarsi di una particolare classe non presenta alcun problema (tranne quando si è presentato da una proprietà formale che non sappiamo come affrontare); siamo in grado di continuare ad analizzarla. Il problema sorge quando dobbiamo prendere in considerazione le classi o relazioni in estensione in generale, come in ” C’è una relazione uno a uno in estensione il cui dominio è il dominio di φ e il dominio inverso di ψ “.

Per far fronte a questo dobbiamo guardare le proposizioni in cui classi particolari sembrano presentarsi, e vedere ciò che è comune fra loro. Ciò si è trovato essere, non come si potrebbe supporre, la fondamentale presenza in essi di entità di un tipo particolare, ovvero, le classi; ma che esse siano funzioni vere di un insieme di proposizioni costruite in un vero qual modo, questo è, avendo una certa qual forma, cioè quella costruito dalla forma primitiva  Aα   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         . Quindi, quando parliamo di ” tutte le classi ” abbiamo una vera funzione di tutte le proposizioni che hanno una certa forma e che soddisfano altre condizioni stabilite da ciò che noi diciamo circa ” tutte le classi”. { Questo risolve anche la forma definita che non sarebbe altrimenti completamente definita. Ad esempio in ” tutte le classi che sono contenute in φ ” la forma è Aα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41   . Ma in ” tutte le classi che contengono φ ” la più complicata A~ α ~  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41 }.

La classe è composta dei suoi membri che usiamo in vari modi per formare una proposizione, la matematica non si occupa di ogni particolare classe di particolari, ma dell’idea di classe ovvero di proposizioni cioè formate in questo modo. In questo modo una classe è più dei suoi membri.

28 . La nostra teoria delle classi è naturalmente estensionale perché le classi sono estensionali e non ci potrebbe essere alcuna proprietà intensionale corrispondente.

29 . Naturalmente questo è connesso con l’identità. Se o siano l’identità proprietà reale, o no i due oggetti avrebbero tutte le loro proprietà in comune, tutte le proprietà estensionali dovrebbero avere proprietà intensionali e non ci sarebbe alcun bisogno della nostra teoria.

30 . Non può essere abbastanza sottolineato che certamente ci sono due funzioni che hanno tutte le loro proprietà in comune.

31 . Allo stesso modo, come per l’identità si può confutare un’obiezione superficiale. “Se ci sono due oggetti indistinguibili non posso mai pensare all’uno senza pensare all’altro, oppure ciò determinerebbe una distinzione tra loro, quindi perché non trattarli come lo stesso oggetto.

E se c’è una classe senza una proprietà intensionale io necessariamente non riesco a pensarla, quindi perché preoccuparsi in merito”. La risposta è che anche se non posso nominare oggetti particolari di tale tipo posso pensare di essi di essere certi determinati oggetti ad esempio ci sono due cose sono indistinguibili è

Schermata 2013-11-03 alle 18.28.36

Questo posso credere, ma non le posso nominare come a, b, senza fare distinzione tra loro.

Inoltre, nel caso di funzioni potrei anche essere in grado di assegnare loro un nome come ad esempio animale razionale, bipede implume, nel dare loro un nome non compare una funzione ma solo i suoi costituenti .

32 . Possiamo anche dimostrare che le comuni obiezioni ad una teoria del tutto estensionale delle classi non ci soddisfano; vale a dire che non si accorda con la classe nulla, né distingue una classe dal suo unico membro, né quindi consente una divisione sistematica delle classi in tipi.

33 . Per quanto riguarda la classe nulla Λ, questa è pienamente sostenuta nelle nostra teoria

AΛ   Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00           non è affatto una proposizione, ma questa è solo come una tautologia , ma BΛSchermata 2013-10-04 alle 22.51.00  = ( x ) . fx.

34 . Infatti vediamo che una classe deve essenzialmente essere assunta con il suo complemento; essa è una divisione di oggetti in due lotti . La classe nulla  è un possibile modo di dividere come qualsiasi altra, non prendendo nulla e lasciando tutto. E’ come la tautologia come la proposizione ” appartiene al simbolismo “, vedi Wittgenstein.

35 . Questo potrebbe forse essere visto solo con l’accettazione della teoria di Wittgenstein per la quale la totalità degli oggetti è data.

36 . E’ chiaro che un oggetto a è nella nostra teoria molto diversa dalla classe α il cui unico membro è a; scambiare a con α condurrebbe ad un nonsenso.

37 . La nostra teoria non è la teoria rudimentale secondo cui α è un nome e a ∊ α una proposizione.

38 . E’ chiaro che nella nostra teoria possiamo avere classi di classi, che sono un tipo diverso dalle classi di particolari.

39 . Ci si potrebbe chiedere di che tipo sono classi. Ogni classe particolare è rappresentata da un simbolo avente uno specifico uso e non supplisce alla gerarchia funzionale; e i simboli per le classi possono essere scambiati conservando il  significato quando e solo quando le classi hanno membri dello stesso tipo .

40 . Naturalmente tutti i membri di α devono essere dello stesso tipo. Questo è evidente dalla spiegazione di Aα Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00         perché  tutti devono essere argomenti di  Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00      .

41 . Ma quando diciamo ” tutte le classi ” noi la considerano una reale totalità di funzioni di funzioni. Ad esempio in ( α ) . Aα Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00      . La totalità delle funzioni delle funzioni Aα {  Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00       } che sono due tipi superiori nella gerarchia funzionale rispetto ai membri di α .

42 . Si noti che noi consideriamo la totalità non di tutte le funzioni di questo tipo, ma solo di quelle che hanno una certa forma. Se tutte avessero questa forma, non avremmo bisogno delle classi.

Questo è il testo in lingua originale:

THE IDEAS OF MATHEMATICS. PART I

1. We deal here with mathematical (or logical) ideas as they occur in ordinary propositions; so we avoid presupposing any account of mathematical propositions, whose nature on the contrary we shall hope partially to elucidate.

1.1. Of course they are not things but logical constants.

2. The most important preliminary ideas are those of a variable, a formal property or relation, a class and a relation in extension.

3. It is clear that a formal and a real property equally define a class, and the values of variable form a class.

4. Clearly also several different real properties may define the same class; but it is not clear whether different formal properties can. They appear to be able to for “even prime” and “integer following one” seem to be different formal properties. But we cannot rule out at once the possibility that they are only different symbols for the same formal property.

5. Russell held that every class must be definable by a real property. This is clearly false, for the properties he constructed by means of identity are not real.

6. If we admit identity as a formal relation as we must for identity of subject is a formal relation between “fa”, “ga”, these constructed properties are formal properties and it is clear that any class is defined by a formal property.

7. Also since a formal property cannot occur except through things having it, and since when two formal properties define the same class they are formally equivalent, no proposition can be altered by substituting one for the other. (It not merely keeps its truth value but remains actually the same proposition).

Hence equivalent formal properties are in practice the same and can only be the expression of different symbolisations of the same proposition.

8. Hence we have a complete equivalence between the ideas of class and formal property; and obviously the equivalence extends to the idea of a variable since any class is the range of a possible variable, and the range of any variable is a class.

9. “Possible variable”! but only as we might talk of “possible propositions” meaning not to assert that anyone has actually considered them: i.e. that the proposition types have tokens.

10. This equivalence between the ideas of class and formal property explains the tendency of mathematicians to take logic extensionally, while logicians took it intensionally. Both confused formal with real properties, the mathematicians’ view being suited to the former which predominate in mathematics, the logicians’ to the latter which predominate elsewhere.

11. It is easy to show the necessity for the idea of class or, what is the same thing, relation in extension. We can see this by seeing that Russell’s system, shorn of his illegitimate use of identity, cannot express all propositions. Take for example “  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        has the same cardinal in Cantor’s sense as  Schermata 2013-10-29 alle 19.06.31         ” which means “There is a one-one relation in extension whose domain is ι  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    φx and whose converse domain is ι Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    ψx”. And this Russell cannot express because he can only deal with such relations in extension as are actually extensions of relations, and the one in question may not be of this kind. Hence we have in fact and must have in our logical system some symbolism for relations in extension not necessarily the extension of actual relations. See Johnson.

12. Let us consider the relation of a class to a property which defines it.

Suppose first the class is enumerated as a, b, c and let us call it α.

Then “ Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41      defines α” means

φa ⋅φb ⋅φc ~(∃ x,y,z,w) : φx ⋅ φy ⋅ φz ⋅φw

Which we may write Dα (    Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         ).

So any enumerated class α gives rise to a function of functions DαSchermata 2013-10-09 alle 21.05.41      ) = “   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41          defines α”. And this must hold for any class whether enumerated or not because “ Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        defines α” must always be a significant proposition.

13. And if we assimilate the class α to this function Dα we observe that it is two steps higher in the functional hierarchy than its members, not as Russell thought one step higher.

14. We may also observe the special case when α has one member only a and Dα ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ) is (ιx) (φ x) = a.

14.1. Da   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41          is the most definite proposition possible concerning    Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         only; it agrees with only one truth possibility.

15. Any class is also the range of a possible variable; for there is for example a proposition which is the product of the values of φx for such x as belong to the class, i.e. where x is a

variable whose range is the class.

So any class gives rise to a variable.

16. Incidentally we may define “variable”. A “variable” is an ambiguous sign i.e. one correlated (meaning) not with one object but with many which form its “range”. If this is conjoined suitably with unambiguous signs, it gives a set of propositions of which some truth function may then be asserted.

17. It may be doubted whether this process ever occurs, whether we ever use any variable except the ordinary unrestricted variable taking all values of a certain type. In other cases

when we assert φa ⋄ φb ⋄ φc we seem always to enumerate a, b, c. An exception might be found in “Those (pointing) are white”.

18. But we shall show later the undoubted existence of restricted variables, whose nature we can indicate in advance by the examples “even number” “one-one relation (in extension)”.

19. For example “I have a prime number of hats” cannot be “∃ n : n is prime ⋅ I have n hats” for “n is prime” is not a proposition. It must be the logical sum of “I have n hats” for prime values of n. But this will be further discussed below.

20. In general consider “All φ’s are ψ” if φ, ψ are real properties this involves the unrestricted variable and is (x) : φ x ⊃ ψ x.

But if φ is a formal property, it involves a variable restricted to such values as have φ, and is the logical product of ψ x for such values of x.

21. We have seen that a class α gives rise to a variable A; let us consider in what propositions A occurs. They will clearly be of the forms

(A) . φ A (B) . φB

(∃ A) . φA        (∃ B) . φ B or compounded from them all of the form f ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41            ); where B is the residual variable to A i.e. its values are all values except those of A.

Thus the variable A (and so the class α) gives rise to various functions of functions. One of these {(A) . φ A : ~ (∃ B) . φ B} is the one we previously considered and called DαSchermata 2013-10-09 alle 21.05.41    ) ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41          defines α).

22. It is clear that these functions of functions will give the various possible relations of α to ι          (  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         ). And hence or otherwise that they can all be defined in terms of the two functions

All α have Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41

All β have Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41            β being complementary to α.

The two fundamental functions may be chosen in many ways; but it is clear that we must have 2 indefinables one of which we obviously take to be

Aα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41            =All α have    Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        .

The other is either ~ α

or Bα   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41                 =All   β have    Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         .

We can define Bα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41          = A~α      Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41            

or ~ α by B~α  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41            = Aα  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41            

A   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41            =   Ba  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41

since ~ α can only occur in these two contexts. We must have

two indefinables since naturally we cannot get at ~ α from α.

We define

Dα     Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41           = : Aα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41           ⋅ A~    Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41      .

23. We define Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    (  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41        )  = (ꙇ α) (Dα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41          )

i.e.

 Schermata 2013-11-03 alle 16.32.27                 

we omit ~  : (∃ α, β) Dα   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41          ⋄ Dβ  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41          as tautologous.

Clearly   Schermata 2013-11-03 alle 16.33.07             must reduce to (x) : φ xfx.

This will go in roughly the following way

Schermata 2013-11-03 alle 16.33.25

25. An exactly similar account is to be given of relations in extension (classes of couples). The variables in this case will have ordered couples for their values.

26. The essence of this account of classes and relations in extension is that it does not treat them as things, but makes clear that every proposition in which they occur is a truth function of propositions in which they do not occur.

27. The whole point is this. The occurrence of a particular class presents no problem (except when it is presented by a formal property which we do not know how to deal with); we can analyse it away. The problem arises when we have to consider classes or relations in extension in general, as in “There is a one-one relation in extension whose domain is the φ’s and converse domain the ψ’s”.

To deal with this we have to look at the propositions in which particular classes seem to occur, and see what is common to them. This is found to be, not as might be supposed, the ultimate occurrence in them of entities of a particular kind, namely, classes; but that they are truth functions of sets of propositions constructed in a certain sort of way, that is, having a certain sort of form, namely one built out of the primitive form Aα Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         . So when we talk of “all classes” we have a truth function of all propositions having a certain form and satisfying other conditions laid down by what we are saying about “all classes”. {This also fixes the certain-form which is not otherwise completely determined. For example in “all classes are contained in φ “the form is Aα.   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       . But in “all classes contain φ “the more complicated one ASchermata 2013-10-09 alle 21.05.41          }.

The class consists of its members which we use in various ways to form a proposition, mathematics is not concerned with any particular class of individuals but with the idea of a class i.e. of propositions formed in these ways. In this way a class is more than its members.

28. Our theory of classes is of course extensional for classes are extensions and there may be no corresponding intension.

29. Of course this is connected with identity. If either identity were a real property, or no two things had all their properties in common, all extensions would have intensions and there would be no need for our theory.

30. It cannot be too much emphasised that there almost certainly are two functions which have all their properties in common.

31. In the same way as with identity we can refute a superficial objection. “If there are two indistinguishable things I can never think of one without the other, or that would make a distinction between them, so why not treat them as the same.

And if there is a class without an intension I necessarily cannot think of it, so why bother about it”. The answer is that though I cannot name particular things of such kinds I can think of there being such things e.g. there are two indistinguishable things is

Schermata 2013-11-03 alle 18.28.36

This I can believe but cannot name them as a, b without distinguishing them.

Besides in the case of functions I may even be able to name them e.g. rational animal, featherless biped, in the naming of which the function does not occur but only its constituents.

32. We may also show that the common objections to a completely extensional theory of classes do not meet ours; namely that it cannot deal with the null class, nor distinguish a class from its only member nor therefore allow a systematic division of classes into types.

33. As regards the null class Λ, this is fully provided for in our theory

AΛ   Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00         is no proposition at all but that is merely like a tautology but BΛ Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00         = (x). fx.

34. In fact we see that a class must essentially be taken with its complementary; it is a division of things into two lots. The null class is as possible a way of dividing as any, taking none and leaving all. It is like tautology as a proposition “it belongs to the symbolism”, see Wittgenstein.

35. This could perhaps only be seen with the acceptance of Wittgenstein°s theory by which the totality of objects is given.

36, lt is clear that a thing a is on our theory quite different from the class α whose only member is a; to interchange a and α would give nonsense.

37. Our theory is not the crude theory according to which α is a name and a ∊ α a proposition.

38. it is clear that on our theory we can have classes of classes, which are of different type from classes of individuals.

39. It might be asked of what type are classes. Any particular class is represented by a symbol having a peculiar use and not standing in the functional hierarchy; and symbols for classes can be exchanged preserving significance when and only when the classes have members of the same type.

40. Of course all the members of α must be of the same type. This is clear from the explanation of Aα      Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00           for all must be arguments to  Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00          .

41. But when we say “all classes” we do consider a real totality of functions of functions. e.g. in (α). Aα  Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00         .  The totality of functions of functions Aα { Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00          } which are two types higher in the functional hierarchy than the members of α.

42. Note that we consider the totality not of all functions of this type but only those having a certain form. If all had this form, we should not need classes.

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