FORMALISM – FORMALISMO

29 Ott

Ramsey_2Di seguito potrete trovare la traduzione di un appunto di Frank Ramsey sul formalismo matematico e la critica alle posizioni del formalismo dei matematici tedeschi. L’appunto in lingua originale è stato pubblicato dalla prof.ssa Maria Carla Galavotti nel libro Notes on philosophy, probability and mathematics edizione Bibliopolis.

Al termine ho inserito il testo in inglese dell’appunto.

FORMALISMO

In tutto ciò abbiamo assunto che la matematica significava qualcosa.

Un punto di vista alternativo che non ha senso può essere trovato in

Heine, di Crelle’s Journal vol. 24 1

Thomae, Elementare Theorie der analytischen Funktionen

confutato in Frege, Grungesetze der Arithmetik vol . ll 2

ripreso da Hilbert.

Vedi Hilbert in Mathematische Annalen vol. 78, vol. 88 3

Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der

Hamburgischen Universität 1922 4

Bernays in Jahresbericht der deutschen Mathematiker Vereinigung

vol. 31 5.

1 Cfr. E. Heine , « Die Elemente der Funlktionslehre » , Journal für die reine und angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172-188.

2 Cfr. G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Jena: Pohle, vol. 2, 1903, § 86-137.

3 Cfr. D. Hilbert , «Axiomatisches Denken» , Mathematische Annalen, 78 (1918), pp. 405-415, ristampato in Gesammelte Abhandlungen, vol. lll, Berlin: Springer 1935, pp. 146-156, e « Die logischen Grundlagen der Mathematik », Mathematische Annalen, 88 (1923), pp. 151-165; anche ristampato in Gesammelte Abhandlungen, vol. III, pp. 178-191. Ramsey ha scritto un estratto di quest’ultimo saggio, vedi documento 005-26-01 della RC.

4 Cfr. D. Hilbert, « Neubegrundung der Mathematik» (Erste Mitteilung), Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität, 1 (1922), pp. 157-177, ristampato in Gesammelte Abhandlungen, vol. Ill, cit, pp. 157-177; . Ramsey ha scritto un estratto di questo articolo , vedere il documento 005-29-01 della RC.

5 Cfr. P. Bernays , « Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 31 (1922), sezione 1, pp. 10-19. Ramsey ha scritto un estratto di questo articolo, vedere il documento 005-27-01 della RC.

I primi formalisti resero tutto confuso. Hanno detto per evitare ogni dubbio circa la natura e l’esistenza dei numeri di assumere che siano i segni “1”, “2”, “3”. Quindi la matematica consiste nel prendere varie formule che coinvolgono questi segni e ne formano altri da questi in base a determinate regole.

Non hanno mai distinto chiaramente 2 + 2 = 4 come formula da 2 + 2 = 4 come proposizione nella teoria del gioco.

Hanno anche detto che i numeri reali erano una infinita serie di segni.

Hilbert non commette queste assurdità .

Egli si propone di rimuovere il dubbio diffuso circa la validità dell’inferenza matematica sia in generale, o in certi casi particolari come ad esempio quando si utilizza l’assioma moltiplicativo.

La matematica è secondo la sua teoria un sistema di formule senza senso. Diviso in

(1) assiomi

(2) formule dedotte

Dove il processo di deduzione

è S                                   già dimostrato o assioma

S ⊃ T
T

Hilbert calcola di aver completato così la prova della coerenza di un insieme di assiomi sufficienti per la deduzione di tutte le matematiche ordinarie (tra cui Mengenlehre – teoria degli insiemi- ecc) .

Assiomi tipici

Z(n) . ⊃ . Z(n+1)

S(n+1) = n

n+1 ≠ 0

NB. mancanza di un’analisi senza possibilità di obiezioni come non avente nessun significato da allegare.

La prova di coerenza consiste nel mostrare un modo di dividere le formule in giuste e sbagliate; e dagli assiomi solo quelli giusti si possono dedurre.

I principi utilizzati nella prova sono una sorta di induzione matematica; ma applicata solo a una immagine concreta che si suppone più sicura di una applicazione generale.

Dove il formalismo è un vantaggio è che questa prova che nessuna contraddizione può essere dedotta è tutto ciò che viene richiesto.

Chiunque altro sarebbe soprattutto interessato a conoscere se gli assiomi fossero veri, che non potrebbe essere stabilito.

Così Hilbert afferma di aver dimostrato l’Assioma moltiplicativo, ma tutto quello che ha fatto veramente è quello di mostrare che non possiamo entrare in contraddizione assumendolo ovvero dimostra che non è dimostrabilmente falso.

(L’assioma dell’infinito si inserisce con Z( a) → Z(a + 1)) .

f {Txx )} = (∃ y): ~φyfy.

Hilbert sulle somme infinite ∃ x φ x cfr. le serie infinite

è sbagliato trattarle come somme finite, ma una somma logica infinita è una somma non un limite.

La conoscenza matematica o metamatematica consiste nel conoscere quali formule si possono dedurre da quali assiomi.

Poiché nessuno di questi ha significato, gli assiomi possono essere qualsiasi cosa che ci piace salvo che nessuna contraddizione deve essere deducibile da essi.

La ragione di questo è che allora tutto può essere dimostrato ( p ⋅ ~ p ⊃ q ) e non ci sarebbe alcuna distinzione tra le formule dimostrabili e non dimostrabili.

Da qui il compito principale della metamatematica, è quello di dimostrare che il dato insieme di assiomi non possa determinare nessuna contraddizione.

Il progresso matematico consiste

(1) nel dedurre nuove formule dagli assiomi

(2) nell’aggiungere nuovi assiomi e dimostrare che non sorgeranno contraddizioni.

Così questo formalismo non ha alcun ovvio generale vantaggio, per quanto riguarda la certezza.

Dove esso offre vantaggi è in connessione con i 3 assiomi

(1) Assioma di riducibilità

(2) Assioma moltiplicativo

(3) Assioma dell’infinito ((aggiunto: allargare))

di cui noi non potremmo essere certi, e rispetto al quale sarebbe interessante averne una prova, non presupponendolo, che non possa portare a contraddizioni. Tale prova può essere fornita indipendentemente dal significato, ma non ci fornisce una ragione per il formalismo. Come è lasciato a chiunque di procedere talvolta indipendentemente dal significato.

La prova di compatibilità che è stata solo delineata nello scritto, ma anche molto più complicata, dubito se sia più convincente di una prova che uno potrebbe dare da un punto di vista non-formalistico.

Vale a dire le proposizioni primitive sono vere. Le modalità di deduzione sono tali solo per produrre vero da  vero.

Certo, avrebbe detto sul sistema di Frege che cosa ha permesso le contraddizioni a circolo vizioso. Ma questo è stato solo perché è stato costruito in un certo senso incomprensibile in modo da portare a un nonsenso.

Le proposizioni primitive di Principia non potevano portare ad alcuna contraddizione, e nessuna prova potrebbero renderlo più certo, perché inevitabilmente si utilizzerebbero i principi in questione.

Confutazione del formalismo

Si sottrae al problema

nella vita vogliamo una matematica con significato

ad esempio: 2 cappelli

inferenze ne ho 4, ne ho persi 2 ∴ 2 rimangono

anche in fisica .

Qualcuno deve fare la matematica con un significato. Non è il lavoro dei fisici se i matematici non lo fanno nessuno lo farà.

Hilbert può dire che non mi interessa tutto ciò quello che interessa essere matematici ohne Bedeutung (senza volerlo).

Si può quindi dare un significato ad esso. Ma noi non possiamo per τx ( φ x ).

E questo è proprio il problema. Se si rinuncia al significato non sarete in grado, se non per un enorme colpo di fortuna, di fare cose che si è in grado di fare con quello.

Perché la matematica dovrebbe essere qualcosa di simile a ciò che è?

Perché questi assiomi?

Ancora Hilbert fornisce solo qualche giustificazione della Sezione di Dedekind anche se solo come gioco coerente. Nessun altro lo giustifica affatto.

Russell dice che è vero

∴ ∃ assioma che lo giustifica

= ? Assioma di Riducibilità.

E questo è il testo originale:

FORMALISM

In all this we have assumed mathematics meant something.

Alternative view that it is meaningless to be found in

Heine, Crelle’s Journal vol. 24 1

Thomae, Elementare Theorie der analytischen Funktionen

refuted in Frege, Grungesetze der Arithmetik vol. ll 2

taken up again by Hilbert.

See Hilbert in Mathematische Annalen vol. 78, vol. 88 3

Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der

Hamburgischen Universität 1922 4

Bernays in Jahresbericht der deutschen Mathematiker Vereinigung

vol. 31 5.

1 See E. Heine, «Die Elemente der Funlktionslehre», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 74(1872), pp. 172-188.

2 See G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Jena: Pohle, vol. 2, 1903, § 86-137.

3 See D. Hilbert, «Axiomatisches Denken», Mathematische Annalen, 78 (1918), pp. 405-415; reprinted in Gesammelte Abhandlungen, vol. lll, Berlin: Springer 1935, pp. 146-156; and «Die logischen Grundlagen der Mathematik», Mathematische Annalen, 88 (1923), pp. 151-165; also reprinted in Gesammelte Abhandlungen, vol. III, pp. 178-191. Ramsey wrote an excerpt of the latter essay, see document 005-26-01 of the RC.

4 See D. Hilbert, «Neubegrundung der Mathematik» (Erste Mitteilung), Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität, 1 (1922), pp. 157-177; reprinted in Gesammelte Abhandlungen, vol. Ill, cit., pp. 157»177; Ramsey wrote an excerpt of this essay, see document 005-29-01 of the RC.

5 See P. Bernays, «Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 31 (1922), 1 section, pp. 10-19. Ramsey wrote an excerpt of this essay, see document 005-27-01 of the RC.

Early formalists all got muddled. They said to avoid all doubt as to nature and existence of numbers let us take them to be signs “1”, “2”, “3”. Then mathematics consists in taking various formulae involving these signs and forming others from them according to certain rules.

They never distinguished clearly 2 + 2 = 4 as formula from 2 + 2 = 4 as proposition in the theory of the game.

Also said that real numbers were infinite series of signs.

Hilbert does not commit these absurdities.

He sets out to remove the widespread doubt as to the validity of mathematical inference either in general, or in certain special cases e.g. when Multiplicative Axiom is used.

Mathematics is on his theory a system of meaningless formulae. Divided into

(1) axioms

(2) deduced formulae

Where the process of deduction

is S          already proved or axioms

S ⊃ T

T

Hilbert reckons to have completed such a proof of the consistency of a set of axioms sufficient for the deduction of all ordinary mathematics (including Mengenlehre etc).

Typical axioms

Z(n) . ⊃ . Z(n+1)

S(n+1) = n

n+1 ≠ 0

NB. lack of analysis unobjectionable as no meaning to be attached.

Proof of consistency consists in showing a way of dividing formulae into right and wrong; and from the axioms only right ones can be deduced.

Principles used in proof include a sort of mathematical induction; but only applied to a concrete picture which is supposed safer than a general application.

Where formalism is at an advantage is that this proof that no contradiction could be deduced is all it requires.

Anyone else would be chiefly interested in knowing whether the axioms were true, which wouldn’t be decided.

Thus Hilbert claims to have proved Multiplicative Axiom, but all he has really done is to show we could not get into contradiction by assuming it i.e. shown it is not demonstrably false.

Infinity Axiom slips in with Z( a) → Z(a + 1)).

f {Txx )} = (∃ y): ~φyfy.

Hilbert on infinite sums ∃ x φ x cfr. infinite series

erroneous to deal with as finite sums but a logical infinite sum is a sum not a limit.

Mathematical knowledge or metamathematics consists in knowing what formulae can be deduced from what axioms.

Since none of it means anything, the axioms can be any we please except that no contradiction must be deducible from them.

The reason for this is that then anything could be proved (p ⋅ ~ p ⊃ q) and there would be no distinction between provable and non-provable formulae,

Hence the chief task of metamathematics, is to prove that the given set of axioms could not produce any contradiction.

Mathematical progress consists

(1) in deducing new formulae from the axioms

(2) in adding new axioms and proving no contradiction will arise.

So that formalism has no general obvious advantage, in respect of certainty.

Where it does offer advantages is in connection with the 3 axioms

(1) Reducibility Axiom

(2) Multiplicative Axiom

(3) Infinity Axiom                   ((added: enlarge))

of which we may not be certain, and with regard to which it may be interesting to have a proof, not presupposing them, that they cannot lead to contradictions. Such a proof could be given independent of meaning, but does not give us an argument for formalism. As it is open to anyone to proceed occasionally independent of meaning.

The proof of compatibility has only been outlined in print, but though far more complicated, I doubt if it is more convincing than the proof one would give on a non-formalist view.

Namely the primitive propositions are true. The methods of deduction are such as only to produce truth from truth.

Of course, he would say what about Frege”s system which allowed the vicious circle contradictions. But this was only because it was worked in a sense unintelligently so as to lead to nonsense.

The primitive propositions of Principia could not lead to any contradiction, and no proof could make this more certain because it would inevitably use the principles in question.

Refutation of Formalism

Shirks the problem

in life we want mathematics with meaning

e.g. 2 hats

inferences I have 4, have lost 2 ∴ 2 remain

also in physics.

Someone must do mathematics with meaning. It’s not the physicists job if the mathematician won’t no one will.

Hilbert may say I don’t care all I care about is mathematics ohne Bedeutung (senza volerlo).

You can then give a meaning to it. But we can’t to τxx).

And that is just the trouble. If you give up meaning you won’t except by an awful fluke do stuff which is capable of it.

Why should mathematics be anything like what it is?

Why these axioms?

Still Hilbert alone gives some justification of Dedekind Section even if only as a consistent game. No one else justifies it at all.

Russell says it is true

∴ ∃ axiom justifying it

= ? Reducibility Axiom.

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