THE INFINITE

18 Ott

immagini_gennaio_2008 052Un ulteriore appunto di Frank Ramsey sull’infinito. La traduzione è stata fatta dal libro della prof.ssa Maria Carla Galavotti Notes on philosophy, probability and mathematics edizione Bibliopolis. Al termine riporto il testo in lingua originale.

L’INFINITO

1 . L’assioma dell’infinito in Russell è che ci sono un numero infinito di oggetti distinguibili. Questa è una proposizione empirica e non può quindi entrarci con la matematica.

2 . L’assioma dell’infinito ha anche una interpretazione trascendentale (omettendo “distinguibile” o parlare di infinità di proposizioni atomiche). Così interpretata c’entra con la filosofia della matematica, perché molte domande importanti assumono la loro verità .

2.1 . Se è falso trascendentalmente è autocontraddittorio empiricamente .

2.2 . Noi concepiamo trascendentalmente, ragionando su un pensiero di un universo limitato .

3. Ad esempio, se non è vero, gli assiomi della geometria euclidea sono autocontraddittori .

(Ho scelto questo esempio perché qualsiasi questione con i numeri sarebbe discutibile  ma la geometria assiomatica consiste chiaramente di tautologie) .

4. Possiamo dire che l’ idea di infinito dimostra la sua esistenza (Proposizione aggiuntiva di Wittgenstein) .

Ma il segno ∞ non prova nulla.

5. Se non vi è alcun reale dubbio sull’assioma dell’infinito, quindi la relazione di Hilbert sulla matematica deve essere giusto. Perciò la geometria euclidea è certamente buona matematica, e se non lo è di certo auto-coerente, allora la sua eccellenza matematica non può dipendere dalla sua coerenza. Quindi deve consistere nella procedura simbolica, come dice Hilbert. E Hilbert giustamente, quindi , sostituisce alla coerenza l’impossibilità di dimostrare una contraddizione. Perché se si può dimostrare una cosa tutto potrebbe essere dimostrato, che distruggerebbe la distinzione tra verità ed errore in geometria.

6. Come possiamo dimostrare l’assioma dell’infinito? Sarebbe possibile dimostrarlo se la Geometria potesse essere applicata esattamente alla realtà, dal momento che allora deve essere coerente. Ma tutto ciò che è chiaro è che può essere applicata approssimativamente, ed è difficile capire esattamente cosa questo significa.

7.  Ma siamo in grado di dimostrarlo in questo modo .

E’ chiaro che ci può essere un ∞ di atomi e se ci sono o meno è un fatto empirico, e questa possibilità implica una ∞ di oggetti, per così dire sarebbero gli atomi possibili.

8. In questo modo è chiaro che trascendentalmente preso l’assioma dell’infinito è vero, anche se empiricamente è dubbio. L’argomento è davvero una reductio ad absurdum dal 2.1.

9. La posizione è in realtà la stessa come con l’assioma di riducibilità .

10. Allo stesso modo penso che potremmo sostenere che ∞ è implicata dalla notazione di operazioni di verità dato che ~ p rappresenta il simbolo di essere uno degli infiniti oggetti costruiti in accordo ad una regola. Questo è un argomento kantiano .

[11. Se c’è qualcosa nella idea di Wittgenstein del numero, la serie infinita di numeri sarebbe stabilita immediatamente dalla possibilità di esprimere la negazione una infinità di volte.]

[12. Se ci fosse solo un numero finito di proposizioni atomiche; tutte le serie formali si ripresenterebbero . Quindi (∃N) : (Ω) . ΩN p = p = Ω° p.

Ne consegue che, ovunque si verifica N 0 può essere sostituito a questo senza cambiare il significato in modo che questo non può essere ciò che ha significato N = 0.  m = n deve significare che Ωm, Ωn sono le stesse non solo operazioni equivalenti come ad esempio ~ , ~ ~ ~ non sono la stessa operazione; ma solo non le stesse, nel senso che quelle sono differenti sostituzioni di segni. E qui ancora una volta siamo in grado di ottenere solo un ∞ avendo un ∞ segno di sostituzioni, cioè un mondo infinito.

Questo darebbe un’idea di matematica proprio alla Hilbert.]

13. L’interpretazione trascendentale dell’assioma dell’infinito può essere chiarita osservando che ” assioma dell’infinito ” = ” ‘ vi è una funzione riflessiva ‘ che non è una contraddizione “. Cioè l’assioma dell’infinito è dello stesso ordine di una proposizione matematica.

14. Resta da vedere se una qualche forma di esso si verifica in matematica; in logica includendoci la geometria deve essere tacitamente assunto.

15. Nel senso in cui l’assioma moltiplicativo è vero per un numero finito di classi, è vero per un numero infinito. Ed è chiaro che come l’assioma di infinito e di riducibilità è vero trascendentalmente o matematicamente ma non necessariamente empiricamente . (NB. l’assioma di riducibilità non è proprio come gli altri due. L’opposizione tra trascendentale ed empirico si adatta a questo forse meglio che agli altri).

16. Le osservazioni di Hilbert sulla assioma moltiplicativo non sono di nessun valore in ogni sistema, tranne il suo. Egli non lo riduce a un principio logico fondamentale, egli semplicemente l’introduce come una delle sue manipolazioni fondamentali, ed è una manipolazione a cui non si può dare un significato. Il suo τxx) non significa nulla in particolare φ {τφ x } significa (x). Φ x.

Ma cosa significa fφ x } in generale? La sua classe moltiplicativa che poteva essere scritta solo ŷ  {(∃ φ) : ψ (φ) ⋄ y = τ (φ)} non è definita perché τ non è definito. Non può essere presa come una idea primitiva perché non concepiamo come inevitabile idea primitiva. Commette l’errore ovvio di trattare “, uno dei non φ se ce ne sono” come una descrizione definita. La sua dimostrazione mostra solo  se mostra qualche cosa, che questo errore non porta a una contraddizione. Tuttavia si tratta di un errore evidente.

17. Un gran numero di osservazioni su finito e infinito è senza senso. Ad esempio non bisogna confrontare come Hilbert fa somme logiche finite e infinite con somme aritmetiche finite e infinite. Perché una somma aritmetica infinita non è una somma ma un limite e questo è il problema, mentre una somma logica infinita è una somma.

18 . Sarebbe interessante capire perché in modo preciso non possiamo dimostrare l’assioma moltiplicativo. L’intero problema con l’infinito è che non siamo in grado di arrivare ad esso direttamente. Possiamo ottenere il 3  contemporaneamente da un simbolo tripartito, cioè per intuizione (Anschauung), ma non possiamo fare simboli infinitamente complessi. (Ma possiamo averne in immagini spaziali  ma penso che non lo facciamo mai perché non sono infinitamente differenziate, ma forse l’ immagine di movimento può essere veramente utile. Vedi Bernstein 4). Quindi ad un certo punto probabilmente penso che dove abbiamo a che fare con l’infinito matematico devo cessare di essere intuitivo e diventare raziocinante . Dobbiamo descrivere cardinali infiniti alla maniera di Cantor, invece di vederli come possiamo vedere i numeri interi finiti.

Ma forse abbiamo infiniti simboli nelle serie formali “e così via ” .

19. E’ solo possibile che le mie indagini possano gettare luce sul problema del continuum.

La funzione τ 5 di Hilbert è una vera e propria sciocchezza, anche se rappresenta un buon segno di sostituzione.

Evidentemente fφ x) : = : (∃ x). ~ φ x . ⊃ . (∃ x) . ~ φ x  ⋄ fx.         Df.

y = τφ x : = : (∃ x) . ~ φ x . ⊃ . (∃ x) . ~ φ x  ⋄ y = x = : (∃ x) . ~ φ x . ⊃ . ~ φ y

∴ La sua classe moltiplicativa

α = ŷ { (∃ φ) . F (   Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ) ⋄ =   τφ x}

= ŷ { (∃ φ) : F ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ) : (∃ x ) ~ φ x . ⊃ . ~ Φ y }

e            (Φ) : F( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ) . ⊃ . (x ) . Φ x . : ⊃ : α = V

ovvero      α  = Σ Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59     ( ~  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ).

………………….F (Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       )

Esso mostra il pericolo di prendere la matematica come semplici segni di sostituzione.

4 Cfr. F. Bernstein, «Die Mengenlehre Georg Cantor und der Finitismus», Jaresbericht der Dutschen Mathematiker Vereingung, 28 (1919), pp 63-78 Ramsey ha scritto un estratto di questo articolo, vedere il documento 005-28-01 della RC.

5 Le seguenti note sono anche parte del documento 004-04-01 di RC, anche se probabilmente non sono stati scritti nello stesso tempo come testimonia il fatto che sono scritti con inchiostro diverso. Per un’ulteriore discussione sul τ di Hilbert vedi i documenti 004-18-01 («formalismo») e 006-06-07 (soprattutto la parte «Note sulla reductio ad absurdum»), 50 e 54 della presente raccolta.

Questo è il testo in lingua originale:

THE INFINITE

1. The axiom of infinity in Russell is that there are an infinite number of distinguishable things. This is an empirical proposition and cannot therefore come into mathematics.

2. The axiom of infinity has also a transcendental interpretation (omitting “distinguishable” or say infinity of atomic propositions). So interpreted it comes into the philosophy of mathematics, because many important questions turn on its truth.

2.1. If it is false transcendentally it is self contradictory empirically.

2.2. We conceive it transcendentally, by thinking of thought in a limited universe.

3. For example, if it is not true, the axioms of Euclidean Geometry are self-contradictory.

(I chose this example because any concerned with numbers would be debatable; but axiomatic Geometry clearly consists of tautologies).

4. We can say that the idea of infinity proves its existence (Wittgenstein’s extra  Proposition).

But the sign ∞ proves nothing.

5. If there is any real doubt as to the axiom of infinity, then Hilbert’s account of mathematics must be right. For Euclidean Geometry is certainly good mathematics, and if it is not certainly self-consistent, then its mathematical excellence cannot depend on its consistency. Hence it must consist in the symbolic procedure, as Hilbert says. And Hilbert rightly, then, substitutes for consistency the impossibility of proving a contradiction. Because if one could be proved anything could be proved, which would destroy the distinction between truth and error in geometry.

6. How then can we prove the axiom of infinity? It would be proved if Geometry could be applied exactly to reality, since then it must be consistent. But all that is clear is that it can be applied approximately, and it is hard to see what exactly this means.

7. But we can prove it this way.

It is clear that there may be an ∞ of atoms and whether there are or not is an empirical fact, and this possibility implies an ∞ of objects, as it were to be the possible atoms.

8. In this way it is clear that transcendentally taken the axiom of infinity is true, though empirically it is doubtful. The argument is really reductio ad absurdum from 2.1.

9. The position is in fact the same as with the axiom of reducibility.

10. In the same way I think we could argue that ∞ is implied in the notation of truth operations since ~ p symbolises by being one of an infinity of things constructed according to a rule. This is a Kantian argument.

[11. If there be anything in Wittgenstein’s idea of number, the infinite series of numbers would be provided at once by the possibility of negating an infinity of times]

[12. If there were only a finite number of atomic propositions; all formal series would recur. Hence (∃N) : (Ω) . ΩN p = p = Ω° p

It follows that wherever N occurs 0 can be substituted for it without changing the meaning so that this could not be what N = 0 means. m = n must mean that Ωm, Ωn are the same not merely equivalent operations e. g. ~, ~ ~ ~ are not the same operation; but only not the same in the sense that they are different sign substitutions. And here again we can only get an ∞ by having an ∞ of sign substitutions, i.e. an infinite world.

This would give an idea of mathematics very like Hilbert’s.]

13. The transcendental interpretation of the axiom of infinity may be elucidated by remarking that “axiom of infinity” = “ ‘there is a reflexive function’ is not a contradiction”. i.e. axiom of infinity is of the same order as a mathematical proposition.

14. It remains to be seen whether some form of it will occur in mathematics; in logic including geometry it must be tacitly assumed.

15. In the sense in which the multiplicative axiom is true for a finite number of classes, it is true for an infinite number. And it is clear that like the axiom of infinity and reducibility it is true transcendentally or mathematically but not necessarily empirically. (NB. axiom of reducibility is not quite like the other two. The opposition transcendental-empirical perhaps suits it better than the others).

16. Hilbert’s remarks on the multiplicative axiom are of no value in any system except his. He does not reduce it to a fundamental logical principle, he merely introduces as one of his fundamental manipulations, and it is a manipulation to which meaning cannot be given. His τxx) means nothing in particular φ {τφ x } means (x). Φ x.

But what does fφ x } in general mean? His multiplicative class which could only be written ŷ  {(∃ φ) : ψ (φ) ⋄ y = τ (φ)} is not defined because τ is not defined. It cannot be taken as a primitive idea because we do not understand it as we must primitive idea. He commits the obvious mistake of treating “one of the non φ’s if there are any” as a definite description. His proof shows only, if it shows anything, that this mistake does not lead to a contradiction. Nevertheless it is a clear mistake.

17. A lot of talk about finite and infinite is nonsense. For example we must not compare as Hilbert does finite and infinite logical sums with finite and infinite arithmetical sums. For an infinite arithmetical sum is not a sum but a limit and that is the trouble, whereas a logical infinite sum is a sum.

18. It would be interesting to see why exactly we cannot prove the multiplicative axiom. The whole trouble with the infinite is that we cannot get at it directly. 3 we can get at at once by a tripartite symbol, that is by intuition (Anschauung) but we cannot make infinitely complex symbols. (But we may have such in spatial images, yet I think never do for they are not infinitely differentiated, but perhaps the image of motion may be really useful. See Bernstein 4). Hence at a certain point probably I think where we deal with infinities mathematics must cease being intuitive and become discursive. We must describe infinite cardinals in the manner of Cantor instead of seeing them as we can the finite integers.

But perhaps we have infinite symbols in formal series in “and so on”.

19. It is just possible that my investigations may throw light on the problem of the continuum.

5 Hilbert’s τ function is sheer nonsense, though good sign substitution.

Evidently fφ x) : = : (∃ x). ~ φ x . ⊃ . (∃ x) . ~ φ x  ⋄ fx.         Df.

y = τφ x : = : (∃ x) . ~ φ x . ⊃ . (∃ x) . ~ φ x  ⋄ y = x = : (∃ x) . ~ φ x . ⊃ . ~ φ y

∴  His multiplicative class

α = ŷ { (∃ φ) . F ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41         ) ⋄ =   τφ x}

= ŷ { (∃ φ) : F ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ) : (∃ x ) ~ φ x . ⊃ . ~ Φ y}

and         (Φ) : F(  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41      ) . ⊃ . (x ) . Φ x . : ⊃ : α = V

otherwise α  = ΣSchermata 2013-08-22 alle 18.42.59      ( ~ Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41       ).

…………………F ( Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41      )

It shows the danger of taking mathematics as mere sign substitution.

4 See F. Bernstein, «Die Mengenlehre Georg Cantors und der Finitismus», Jaresbericht der Dutschen Mathematiker Vereingung, 28 (1919), pp. 63-78 Ramsey wrote an excerpt of this essay, see document 005-28-01 of the RC.

5 The following notes are still part of document 004-04-01 of the RC, though probably they were not written at the same time as testified by the fact that they are written in different ink. For further discussion of Hilbert’s τ see documents 004-18-01 («Formalism») and 006-06-07 (especially the part «Notes on Reductio ad absurdum»), 50 and 54 of the present collection.

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