THE NUMBER OF THINGS IN THE WORLD

Questo appunto di Frank Ramsey, sebbene riguardi solo elementi di logica formale, è fondamentale per capire l’errore di logica nell’uso dei metodi ontologici usati indifferentemente dagli atei e dai fideisti per provare uno la cosa opposta dell’altro. Infatti il metodo ontologico è perfettamente razionale in tutti i casi, ma non prova nulla così come il fatto che si possano pensare universi infiniti e scrivere relazioni matematiche basate sull’assioma dell’infinito non permette di definire se l’infinito esiste o se è solo un pensiero dell’uomo che ha conseguenze, a seconda di come viene utilizzato, diverse e spesso contraddittorie.

Comunque una nota aggiuntiva, che deriva immediatamente dalle osservazioni di Ramsey, sull’infinito può essere data osservando che, sia che esistano nella realtà un infinità di oggetti, sia che non esistano, il concetto di infinito è indispensabile per definire relazioni logiche e matematiche coerenti. Per altro, anche ammesso che l’universo sia costituito da un numero infinito di oggetti, non sembra possibile trovare questo numero in quanto per farlo occorrerebbe un numero di uomini talmente grande operanti per un tempo talmente lungo da far far ritenere che l’umanità sarebbe estinta prima di poter raggiungere il risultato. In questo nel caso di un numero finito di oggetti si avrebbero quasi le stesse caratteristiche di un numero infinito e dovremmo chiamarlo, ad esempio, pseudo-infinito. Questa grandezza potrebbe servire a capire perché le discussioni sull’infinito non sono semplici discorsi accademici, ma piuttosto elementi fondanti della logica e della matematica che abbiamo ora in uso.

Questa è la traduzione dell’appunto di Frank Ramsey riportato in lingua originale dalla prof.ssa Maria Carla Galavotti nel libro Notes on philosophy, probability and mathematics edizione Bibliopolis.

Il testo in inglese è riportato al termine della traduzione.

IL NUMERO DI COSE NEL MONDO

Consideriamo le proposizioni

(∃ x) . x = a

(∃ x) . x ≠ a

Il primo è (∃ x) . x = a ⋅ Tx o Ta, una tautologia .

La seconda è (∃ x) . x ≠ a ⋅ Tx

cioè la somma delle tautologie Tx per tutti i valori di x diversi da a . Se , poi, ci sono valori di x diversi da a “(∃ x) . x ≠ a” è una tautologia, altrimenti non ha senso .

È , infatti , evidente che in generale

(∃ x) . x ≠ a ⋅ fx

è priva di senso se vi è solo una cosa al mondo del tipo di a

e (∃ x) . x ≠ a ⋅ x ≠ b ⋅ fx

se ci sono solo due e così via .

Ciò solleva la difficile e importante questione della rilevanza per la logica e la matematica del numero di cose nel mondo. Che questo sia in qualche modo rilevante appare in Principia Mathematica, dove si presume che ci sia una cosa (anche se Russell successivamente ha dichiarato che si tratta di un difetto nella purezza logica del sistema), e dove è richiesto l’ Assioma dell’Infinito per dimostrare gli ordinari teoremi matematici. Questo assioma è inteso, naturalmente, ad affermare che esistono un’infinità di cose, ma in realtà dal punto di vista della definizione di identità in PM, afferma la diversa proposizione che esiste un’infinità di oggetti distinti.

E’ chiaro che “Ci sono così tante cose ” non è una proposizione, perché non è una funzione verità di proposizioni elementari. Si potrebbe subito obiettare che possiamo dire che ci sono così tante cose che soddisfano           , perché quindi non ce ne sono così tante che soddisfano      ? Proviamo; prendiamo

” Ci sono almeno due cose che soddisfano           ” .

Questo è             “(∃ x, y) . x ≠ y ⋅φ x ⋅φ y”

o                          “(∃ x) : φ x : (∃ y) . y ≠ x ⋅ φ y”.

Allo stesso modo ” Ci sono almeno due cose ( che soddisfano       )

è                          “(∃ x) : T x : (∃ y) . y ≠ x ⋅ T y”.

Questa, da quello che abbiamo visto in precedenza, è una tautologia ogni volta che significhi qualcosa, e se non significa niente così sarà la precedente proposizione ” Ci sono almeno due cose che soddisfano      ” .

Così vediamo nelle parole di Wittgenstein che ” ‘ Ci sono n oggetti tali che …’ implica non solo per la sua verità, ma anche per il suo significato quello che cerchiamo di affermare con ‘ Ci sono n oggetti’ ” .

Ma, ci potrebbero domandare, se ” Ci sono così tante cose ” non è una proposizione, come possiamo discutere del tutto questo problema? La risposta non è difficile; noi consideriamo non che il nostro pensiero, il linguaggio e la logica si estenda al mondo intero, ma un linguaggio e una logica ipotetica che copre una parte del mondo.

Così possiamo immaginare un esistenza per cui “tutti” non copre tutto, ma solo un insieme di oggetti; il numero di questa serie sarà poi il numero di oggetti nel suo mondo, su cui noi nel nostro linguaggio possiamo formare proposizioni, anche se nel suo non si potrebbe.

E così possiamo costruire diversi linguaggi logici applicabili a questi diversi mondi ; il mondo può essere costituito da una cosa, due cose e così via e quindi , rispettivamente ,

(∃ x) : x ≠ a ⋅φ x

(∃ x) : x ≠ a ⋅ x ≠ b ⋅φ x … 

sarà un nonsenso.

Ma nel linguaggio del mondo di due oggetti non si può dire “Ci sono esattamente due oggetti”, ma questo sarà visualizzato da “(y) : (∃ x) . x ≠ y ⋅ Tx” essendo una tautologia , “(∃ x) : x ≠ y ⋅ x ≠ z ⋅ Tx” essendo priva di significato .

Potrebbe anche apparire nel numero di nomi nel  linguaggio, se tutti gli oggetti avevano un nome, ma dal momento che non è necessario che tutti abbiano nomi , questa dimostrazione può essere carente.

Almeno un oggetto deve esistere nel mondo del pensiero (l’universo della discussione), oppure non ci possono essere proposizioni .

Supponiamo che stiamo facendo la logica di un mondo a due oggetti. Allora “(∃ x) : x ≠ a ⋅ x ≠ b ⋅φ x” è privo di significato

ma nel fare segni proposizionali complicati, se non stiamo attenti, noi coinvolgeremmo questa forma; quindi sarebbe molto più conveniente, se si potesse darle un significato.

Il significato più adatto da dare è quello della contraddizione ⁶ .

⁶ Facciamo attenzione che dobbiamo definire un segno proposizionale per dare significato ad una definita proposizione (comprendendo tautologia e contraddizione ) non possiamo definirla semplicemente per essere vera o falsa.

Questo porta a incongruenze e serve ad assimilare la logica di un mondo a due oggetti con quella di mondi di più grandi dimensioni in un modo altamente utile. Secondo questa convenzione in un mondo ad un oggetto o a due oggetti “(∃ x) : x ≠ a ⋅ x ≠ b” è una contraddizione, ma in ogni mondo più grande una tautologia .

Così che appare come se potessimo esprimere “Ci sono esattamente due cose”, esattamente come sarebbe espresso in PM da

“(∃ x,y). x ≠ y : ~ : (∃ x ,y ,z) . x ≠ y ⋅y ≠ z ⋅ z ≠ x”.

poiché in un mondo a due oggetti questo è tautologico ma in ogni altro mondo contraddittorio.

È importante vedere che questa non è realmente l’espressione di una proposizione ” Ci sono esattamente due cose “, e tuttavia che è possibile trattarla simbolicamente esattamente come se lo fosse.

Per quanto riguarda il primo punto, se questa formula realmente esprime una simile proposizione avrebbe un senso determinato indipendente dalla sua verità, cioè dal numero di cose nel mondo, vale a dire il senso “che il numero di oggetti è due”. Ma, in realtà, come abbiamo appena visto, il suo senso (non soltanto la sua verità) dipende dal numero di cose nel mondo; in un caso significa tautologia  nell’altro contraddizione; in nessuno dei due significa “ci sono due oggetti nel mondo”. Come direbbe Wittgenstein, il numero di oggetti nel mondo è indicato da una certa forma simbolica che è una tautologia o una contraddizione; e ciò che può essere mostrato non può essere detto ⁹.

⁹ Cfr. Tractatus logico-philosophicus , cit . , 4,1212 .

D’altra parte possiamo utilmente trattare la formula  come se fosse l’espressione di “ci sono esattamente due oggetti “, perché così possiamo affrontare contestualmente le logiche di mondi di tutti i numeri di membri. Perciò chiamo la formula p , e sia  q un altro tipo di formula. Quindi “p ⊃ q” sarà tautologico in qualsiasi mondo tranne in uno di due oggetti  perché ” p “, è allora contraddittorio, ma in un mondo a due oggetti si ridurà a ” q ” , dal momento che ” p ” è quindi tautologico.

Quindi, se “q” è una tautologia in un mondo a due oggetti, ma forse non altrimenti “p ⊃ q” è una tautologia in ogni mondo.

Così siamo in grado di sviluppare contemporaneamente le logiche cioè le tautologie di tutti i mondi; perché quando ci imbattiamo in una espressione che è solo una tautologia, diciamo, in un mondo a due oggetti, noi poniamo ” p” , prima di questa come condizione, e otteniamo una espressione universalmente tautologica; “p ⊃ ” si comporta proprio come in un mondo a due termini.

Qui in parentesi si può porre la nostra attenzione sulla convenzione di identità di Wittgenstein. La esprimiamo come proposizione ( V ) ,

“(∃ x) . x ≠ a                              (P)”.

Abbiamo                               (∃ x) . x ≠ a                              (P)

= : (∃ x) . x ≠ a . V . a ≠ a       

= : (∃ x) . Tx ⋅ Ta . V .  C(a)   

= : (∃ x) . Tx ⋅ Ta                    

che dovremmo naturalmente ridurre a T (a)  in modo che con la convenzione di Wittgenstein non sembrerebbe esserci problemi se ci sia più di un oggetto. Questo è infatti il caso; dal momento che poniamo che lettere diverse hanno significati diversi la convenzione è possibile solo se ci sono tanti oggetti quante lettere. Quindi, la convenzione e la logica naturalmente ad essa associata sono solo applicabili senza restrizioni a un mondo infinito.

Ciò suggerisce subito la questione dell’estensione a “Ci sono un’infinità di oggetti “, della nostra trattazione di ” Ci sono due oggetti” (l’analoga trattazione di qualsiasi altro numero finito è ovvia).  A questo punto non possiamo fare questa estensione perché non abbiamo sviluppato un apparato logico adeguato per esprimere l’infinito per cui abbiamo bisogno di una teoria o delle serie formali o di una teoria delle classi. Ma è facile vedere che saremo in grado di trovare una espressione, che in un mondo infinito sarebbe tautologica ma in uno finito autocontraddittoria. Questa espressione si può chiamare l’ Assioma dell’Infinito; un ” assioma “, perché non saremo in grado di dimostrarlo; perché fino alla sua introduzione saranno state costruite Espressioni tautologiche sia in un mondo finito sia in un mondo infinito, e da queste noi, ovviamente, non possiamo dedurre una espressione tautologica in un mondo infinito, ma in realtà autocontraddittoria in un mondo finito. Eppure, anche se non possiamo provarlo, noi supponiamo che sia tautologica per quanto riguarda il nostro mondo, che è il mondo intero in opposizione ai mondi parziali ipotetici pensati che abbiamo considerato. Le ragioni per l’adozione di questo punto di vista del nostro mondo devono ora essere spiegate.

Naturalmente dipende dal tipo di oggetti in questione; potrebbe essere presente un numero infinito di oggetti di un tipo, ma non di un altro. Ciò che mi interessa di mostrare è che ci sia un certo tipo di cui ci sono un numero infinito di oggetti. Va ribadito che questo non è il vero problema per cui non possiamo nella nostra lingua discutere il numero di cose nel nostro mondo. Tutto ciò che può davvero essere chiesto è se un certo segno è una tautologia o meno – un segno di cui non possiamo conoscere il significato o dovremmo sapere che si tratti di una tautologia.

In realtà la questione è semplice da risolvere; perché la sola idea di infinito dimostra la sua esistenza. Qui dobbiamo evitare un malinteso. I segni sulla carta fatte dai matematici che si occupano di infinito, essendo in numero finito (per ora) non provano l’esistenza di un infinito; ma il significato di quei segni – e sappiamo che hanno un significato per la loro comprensibilità – dimostra quello di cui abbiamo bisogno.

Posso dire “Ci sono un numero infinito di atomi “. Questo può essere falso , ma è possibile che sia vero e quindi abbia significato. E per avere un qualche significato ci deve essere un numero infinito di oggetti.

Questi oggetti devono essere oggetti materiali, perché la proposizione richiede un’analisi per scoprire la sua vera forma, nella quale qui non possiamo entrare perché ci porterebbe in complicate questioni metafisiche. Ma grosso modo ciò comporta la possibilità di dire ” Ecco un atomo ” su una infinità di ” qui “.

Ripetiamo l’argomento :

” Ci sono almeno due di x tale che φ x ”

è (∃ x,y) : x ≠ y ⋅ φ x ⋅φ y

o (∃ x) : φ x  ⋅ (∃ y) . y ≠ x ⋅ φ y

e (∃ y) . y ≠ x ⋅ φ y  non ha senso (a meno che non lo definiamo arbitrariamente a significare contraddizione), a meno che non ci siano due oggetti.

Allo stesso modo “Ci sono almeno di n x tali che φ x ” non ha alcun significato a meno che  ci siano n oggetti.

“Ci sono una infinità di x tali che φ x ” è la somma logica di tutte queste proposizioni per i differenti valori di n, e non ha alcun senso a meno che non ci siano n oggetti, qualsiasi possa essere n, o a meno che ci siano un’infinità di oggetti.

Dal momento che in alcuni casi si può chiedere in modo sensato “Ci sono una infinità di di x tale che φ x ? ” ci deve essere una infinità di oggetti.

Un altro argomento a favore dell’esistenza dell’infinito potrebbe essere basata sulla natura della nostra notazione logica. Abbiamo visto che il significato di “~ p ” dipendeva dal suo essere costruito secondo una regola che esprime la natura di negazione secondo cui una infinità di forme può essere costruita ” ~ p ” , “~ ~ ~ p “, ” p ~ . V . ~ p ” …  Così l’infinito è presupposto dalla nostra notazione; e dato che la nostra notazione ha significato ci deve essere un infinito reale.

Anche in questo caso l’ argomento non è che l’esistenza dei segni ~ , V ecc. provi l’esistenza dell’infinito, ma che questo è dimostrato dal significato di questi segni.

Nota: è qui chiaro che si fa una distinzione tra l’esistenza di un oggetto e l’esistenza del significato che noi attribuiamo a quell’oggetto. Mentre il significato è sicuramente esistente perché l’abbiamo creato noi, l’oggetto potrebbe essere pura invenzione anche se la sua espressione possiede un significato vero e reale. Questa confusione tra verità del significato e falsità dell’oggetto significato è il mezzo più comune per fare fessi i consumatori (nel caso della pubblicità), gli elettori (nel caso della politica) e i truffati (nel caso delle azioni malavitose). Tralasciamo il caso dei matti che attribuiscono alla realtà i propri pensieri, perché non capiscono che è varo solo il significato del loro pensiero. Naturalmente si potrebbe trasferire questi comportamenti alla psichiatria anche nel caso di filosofi che hanno avuto seguito propri per questa confusione di idee.

Anche noi possiamo osservare che, se non ci fosse un’infinità di oggetti, tutta la matematica ordinaria, la geometria euclidea, l’Analisi ecc. sarebbe in parte di autocontraddittoria, in parte priva di senso, ad esempio, l’ esistenza di una classe riflessiva in un mondo finito non senza significato ma reale sarebbe autocontraddittoria .

Per riassumere, abbiamo visto come si possa coniugare lo studio delle logiche di mondi diversi, introducendo espressioni come ipotesi, che in alcuni mondi sono tautologiche, in altri, naturalmente, prive di senso, ma per definizione autocontraddittorie. Il più importante di queste è l’assioma dell’infinito, che non può essere dimostrato da una prova poiché ogni prova da assiomi precedenti si applicherebbe a mondi finiti in cui l’assioma non è dato. Tuttavia per quanto riguarda alcuni tipi nel nostro mondo questo assioma è certamente una tautologia, come dimostra il fatto che siamo in grado di indagare in modo significativo se ci sono infiniti numeri di un certo tipo di oggetti. Naturalmente, a meno che l’assioma sia dato nel nostro mondo potrebbe non essere dato in nessun universo parziale della dissertazione, e non saremmo in grado di concepire un suo qualche significato, tranne per una particolare definizione. E’ chiaramente una tautologia e solo ambigua, perché non può essere provata, ma abbiamo dimostrato chiaramente il motivo per cui non può essere dimostrata, in particolare perché ogni prova si applica anche a qualsiasi universo finito della dissertazione.

E questo è il testo in lingua originale:

THE NUMBER OF THINGS IN THE WORLD

Consider the propositions

(∃ x) . x = a

(∃ x) . x ≠ a

The first is (∃ x) . x = a ⋅ Tx or Ta, a tautology.

The second is (∃ x) . x ≠ a ⋅ Tx

that is the sum of the tautologies Tx for all values of x other than a. If, then, there are values of x other than a, “(∃ x) . x ≠ a” is a tautology; otherwise it is meaningless.

It is, in fact, obvious that in general

(∃ x) . x ≠ a ⋅ fx

is meaningless if there is only one thing in the world of the type of a

and (∃ x) . x ≠ a ⋅ x ≠ b ⋅ fx

if there are only two and so on.

This raises the difficult and important question of the relevance to logic and mathematics of the number of things in the world. That this is in some way relevant appears in Principia Mathematica, where it is assumed that there is one thing (though Mr. Russell subsequently declared this to be a defect in the logical purity of the system), and where the Axiom of Infinity is required to prove ordinary mathematical theorems. This axiom is meant, of course, to assert that there are an infinity of things, but in fact in view of the definition of identity in PM, it asserts the different proposition that there are an infinity of distinguishable things.

It is clear that “There are so many things” is not a proposition, for it is not a truth-function of elementary propositions. It will at once be objected that we can say there are so many things satisfying             , why not therefore that there are so many satisfying         ? Let us try; take

“There are at least two things satisfying         ”.

This is    “(∃ x, y) . x ≠ y ⋅φ x ⋅φ y”

or           “(∃ x) : φ x : (∃ y) . y ≠ x ⋅ φ y”.

Similarly “There are at least two things (satisfying      )

is           “(∃ x) : T x : (∃ y) . y ≠ x ⋅ T y”.

This, by what we have seen above, is a tautology whenever it means anything; and if it means nothing so does the preceding proposition    “There are at least two things satisfying           “.

So we see in Wittgenstein’s words that “‘There are n things such that…’ involves not merely for its truth but for its significance what we try to assert by ‘There are n things’ ”.

But, we shall be asked, if “There are so many things” is not a proposition, how can we discuss this question at all? The answer is not difficult; we consider not our thinking, language, and logic which covers  the whole world, but a hypothetical language and logic covering some part of the world.

Thus we can imagine a being whose “all” covers not everything but only a set of things; the number of this set will then be the number of things in his world, about which we in our language can frame propositions, though he in his cannot.

And so we can construct different logical languages applicable to these different worlds; the world may consist of one thing, of two things and so on and then, respectively,

(∃ x) : x ≠ a ⋅φ x

(∃ x) : x ≠ a ⋅ x ≠ b ⋅φ x …

will be nonsense.

But in the two-things-world language we cannot say “There are exactly two things”; but this will appear by “(y) : (∃ x) . x ≠ y ⋅ Tx” being a tautology, “(∃ x) : x ≠ y ⋅ x ≠ z ⋅ Tx” being meaningless.

It would also appear in the number of names in the language, if all objects had names; but since they need not all have names, this manifestation may be lacking.

One thing there must be in a world of thought (universe of discourse), or there could be no propositions.

Suppose we are doing the logic of a two-thing world. Then “(∃ x) : x ≠ a ⋅ x ≠ b ⋅φ x” is meaningless

but in making complicated propositional signs, if we are not careful, we shall involve this form; so it would be far more convenient, if we could give it a meaning.

The most suitable meaning to give it is that of contradiction ⁶ .

⁶ Note we must define a propositional sign to mean a definite proposition (including tautology and contradiction) we cannot define it merely to be true or false.

This leads to no  inconsistencies and serves to assimilate the logic of a two-thing world with those of larger worlds in a highly convenient way. According to this convention in a one-thing or a two-thing world “(∃ x) : x ≠ a ⋅ x ≠ b” is a contradiction but in any larger world a tautology.

So that it looks as if we could express “There are exactly two things” exactly as it would be expressed in PM by

“(∃ x,y). x ≠ y : ~ : (∃ x ,y ,z) . x ≠ y ⋅y ≠ z ⋅ z ≠ x”.

since in a two-thing world this is tautologous but in any other contradictory.

It is important to see that this is not really the expression of a proposition “There are exactly two things”, and yet that it is possible to treat it symbolically exactly as if it was.

As regards the first point, if this formula really expressed such a proposition it would have a fixed sense independent of its truth, that is of the number of things in the world, namely the sense “that the number of things is two”. But, in fact, as we have just seen, its sense (not merely its truth) depends on the number of things in the world; in the one case it means tautology, in the other contradiction; in neither does it mean “there are two things in the world”. As Wittgenstein would say, the number of things in the world is shown by a certain symbolic form being a tautology or contradiction; and what can be shown cannot be said ⁹.

⁹ See Tractatus Logico-philosophicus, cit., 4.1212.

On the other hand we can usefully treat the formula, as if it were the expression of “there are exactly two things”, because so we can deal simultaneously with the logics of worlds of all numbers of members. For call the formula p, and let q be another such formula. Then “p ⊃ q” will be tautologous in any world except one with two things” since “p”, is then contradictory, but in a two-thing world it will reduce to “q”, since “p” is then tautologous.

So if “q” is tautologous in a two-thing world but not perhaps otherwise “p ⊃ q” is tautologous in any world.

Thus we can develop simultaneously the logics i.e. the tautologies of all worlds; for when we come upon an expression which is only tautologous, say, in a two-thing world, we put “p”, before it as a condition, and we obtain an expression universally tautologous; “p ⊃ ” behaves just like in a two termed world.

Here in parenthesis we may turn our attention to Wittgenstein’s identity convention. Let us express as a proposition (V),

“(∃ x) . x ≠ a                              (P)”.

We have                          (∃ x) . x ≠ a                          (P)

= : (∃ x) . x ≠ a . V . a ≠ a     

= : (∃ x) . Tx ⋅ Ta . V .  C(a) 

= : (∃ x) . Tx ⋅ Ta                 

which we should naturally reduce to T(a) so that on Wittgenstein’s convention there would seem to be no question that there is more than one thing. This is in fact the case; since we assume different letters have different meanings the convention is only possible if there are as many things as letters. So the convention and the logic naturally associated with it are only applicable without restriction to an infinite World.

This suggests at once the question of the extension to “There are an infinity of things”, of our treatment of “There are two things” (the similar treatment of any other finite number is obvious).  At this stage we cannot make this extension because we have not developed an adequate logical apparatus to express the infinite, for which we require either a theory of formal series or a theory of classes. But it is easy to see that we shall be able to find an expression, which in an infinite world will be tautologous but in a finite one self  contradictory. This expression we may call the Axiom of Infinity; an “axiom” because we shall not be able to prove it; for until its introduction we shall have been constructing Expressions tautologous both in a finite and an infinite world, and from these we obviously cannot deduce an expression tautologous in an infinite but actually self contradictory in a finite world. Yet although We cannot prove it, we shall suppose it to be tautologous as regards our own world, that is the whole world as opposed to the hypothetical partial worlds of thought which we have been considering. The reasons for taking this view of our own world have now to be explained.

Of course it depends on the type of things in question; there may be an infinite number of things of one type, but not of another. What I am concerned to show is that there is some type of which there are an infinite number of things. It must be repeated that this is not a real question for we cannot in our language discuss the number of things in our world. All that can really be asked is whether a certain sign is tautologous or not – a sign of which we cannot know the meaning or we should know whether it were tautologous.

In fact the question is easy to settle; for the mere idea of infinity proves its existence. Here we must avoid a misunderstanding. The marks on paper made by mathematicians dealing  with infinity, being finite in number (as yet) do not prove the existence of an infinity; but the significance of those marks – and we know they are significant by understanding them – proves what we require.

I can say “There are an infinite number of atoms”. This may be false, but it is possibly true and therefore significant. And for it to mean anything there must be an infinite number of things.

These things need not be material objects because the proposition requires analysis to discover its real form, into which we cannot enter here as it would lead us into complicated  metaphysical questions. But roughly it involves the possibility of saying “Here is an atom” about an infinity of “here”’s.

We repeat the argument:

“There are at least two x’s such that φ x”

is  (∃ x,y) : x ≠ y ⋅ φ x ⋅φ y

or  (∃ x) : φ x  ⋅ (∃ y) . y ≠ x ⋅ φ y

and (∃ y) . y ≠ x ⋅ φ y has no meaning (unless we define it arbitrarily to mean contradiction) unless there are two things.

In the same Way “There are at least n x’s such that φ x” has no meaning unless there are n things.

”There are an infinity of x’s such that φ x” is the logical sum of all such propositions for the different values of n, and has no meaning unless there are n things, whatever n may be, or unless there are an infinity of things.

Since in some cases we can ask significantly “Are there an infinity of x’s such that φ x?” there must be an infinity of things.

Another argument for the existence of infinity might be based on the nature of our logical notation. We saw that the significance of “~ p” depended on its being constructed according to a rule expressive of the nature of negation according to which an infinity of forms can be constructed “~ p”, “~ ~ ~ p”, “~ p . V . ~ p”… Thus infinity is presupposed by our notation; and since our notation is significant there must be an actual infinity.

Again the argument is not that the existence of the marks ~, V etc. proves the existence of infinity but that this is proved by the significance of these marks.

Also we may remark that if there are not an infinity of things, all ordinary mathematics, Euclidean geometry, Analysis etc. is partly self contradictory, partly meaningless, e.g. the existence of a reflexive class is in a finite world not meaningless but actually self contradictory.

To sum up; we have seen how we can combine the study of the logics of different worlds by introducing expressions as hypotheses, which in certain Worlds are tautologous, in others naturally meaningless but by definition self contradictory. The most important of these is the axiom of infinity, which cannot be proved since any proof from previous axioms would apply also to finite worlds in which the axiom does not hold. Nevertheless as regards some types in our own world this axiom is certainly tautologous as is shown by the fact that we can significantly inquire whether there are infinite numbers of certain sorts of things. Of course, unless the axiom held in our world it could hold in no partial universe of discourse, and we should not be able to conceive its meaning anything, except by special definition. It is clearly a tautology and only suspicious because it cannot be proved; but we have shown clearly why it cannot be proved, namely because any proof would apply also to any finite universe of discourse.