IDENTITY

15 Ott

Ramsey_2Riporto di seguito la traduzione di un appunto di Frank Ramsey riguardante l’uguaglianza in relazione alla definizione di Russell e alle critiche su questa di Wittgenstein. E’ interessante come venga risolto il problema dell’errata definizione per risolvere il problema delle esigenze dell’uso del concetto di identità nelle relazioni di logica proposizionale. L’appunto completa quanto riportato in termini molto stringati in The  Foundations of Mathematics and other Logical Essays pubblicato da Braithwaite nel 1931.

La traduzione è stata fatta dal libro della prof.ssa Maria Carla Galavotti:  Notes on Philosophy, Probability and Mathematics  edizione Bibliopolis.

Al termine riporto il testo in lingua originale

L’uguaglianza

Siamo abituati a considerare l’identità come una relazione tra oggetti, una reale relazione, voglio dire, non una “relazione in estensione” .

E ” x = y ” è considerata come una funzione proposizionale.

Questo punto di vista è chiaramente sbagliato, perché i valori di ” x = y ” non sono proposizioni; perciò considerare un valore “a = b“, che fatto vuole asserire? Se “a” , “b” sono i nomi per la stessa cosa, si dice che questa cosa è essa stessa cosa, che è dire nulla; se sono nomi di oggetti differenti si dice che queste due cose sono la stessa cosa, il che è un nonsenso. Si potrebbe pensare che nel primo caso era una tautologia nel secondo una contraddizione, ma non è così,  per quali proposizioni elementari potrebbe essere una funzione vera?

Si consideri ancora i casi in cui usiamo l’identità come “(x) : fx . ⊃ . x = a(si legge per ogni x fx è vera implica x=a). Questo dice che solo che a soddisfa   Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00     (la funzione proposizionale f(x) con il solo argomento x), non che solo questi oggetti la soddisfano dal momento che hanno una certa relazione con a.

In Principia Mathematica l’identità è definita; due oggetti si dice che sono identici quando hanno tutte le loro proprietà in comune. E’ chiaro che questa definizione è sbagliata, perché rende auto-contraddittorio l’affermare che due oggetti hanno tutte le loro proprietà in comune; non è un problema se questo è mai realmente il caso, ma solo se è logicamente possibile. Questo è chiaro, e ci sono anche buone ragioni per supporre che per quanto riguarda le funzioni proposizionali è spesso vero .

Perciò supponiamo tutti gli animali razionali sono bipedi implumi e viceversa. (Prendo questo semplicemente come esempio di una vera generalizzazione empirica). Poi, dal momento che, come abbiamo visto, tutte le funzioni di funzioni sono estensionali,  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 è un animale razionale e Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59” è un bipede implume ” hanno tutte le loro proprietà in comune. Ma non si può dedurre che essi sono identici, questa è in realtà la stessa funzione proposizionale, perché ” questo è un animale razionale ” e “questo è un bipede implume ” sono chiaramente proposizioni differenti e parlando dal punto di vista logico si tratta di un puro caso che siano sempre vere o insieme false.

Questo dimostra che la “prova ” in Principia Mathematica che due cose diverse non possono avere tutte le loro proprietà in comune deve contenere un errore. Questa prova consiste nel dire che se a e b sono diversi, a deve avere una proprietà che b non ha, e cioè quella di essere identico a. L’errore è, naturalmente, nel supporre che “l’essere identico ad a” sia una proprietà.

Infatti, come ho osservato sopra ” x = a ” non è una funzione proposizionale.

Questa critica distruttiva dell’identità è dovuta a Wittgenstein, e subito porta alla domanda “che cosa significa allora il segno ‘=’ , che noi tutti usiamo? A meno che ci venga data qualche altra spiegazione dovremmo supporre che esso debba essere una relazione”. Wittgenstein risponde a questo con la sua straordinaria scoperta che il segno di identità non è un costituente essenziale di una notazione logica. Egli lo sostituisce con la nuova convenzione che segni diversi debbono avere significati diversi. Come egli dice  “Io esprimo l’identità di un oggetto mediante l’identità del segno e non per mezzo di un segno di identità. Differenza di oggetti mediante la differenza dei loro segni “ 3

3 Vedi Tractatus logico-philosophicus , cit. , 5.53

Così ciò che è espresso in Principia Mathematica da

” ( ∃ x , y) . f ( x , y) ”

(esiste una x ed una y per cui f(x,y) è vera)

egli la esprime con

” ( ∃ x , y) . f ( x , y) . V. ( ∃ x ) . f ( x , x ) ”

(esiste una x e una y per cui f(x,y) è vera  o esiste una x per cui f(x,x) è vera)

x ” , ” y” non essendo in grado di prendere contemporaneamente lo stesso valore, mentre Wittgenstein intende con

( ∃ x , y ) : f ( x , y )

(prodotto logico esiste una x e una y e una f(x,y) vera per questi valori di x e y)

quello che sarebbe espresso in Principia Mathematica da

( ∃ x , y ) : xyf ( x , y) .

(esiste una x e una y e x diverso da y e f(x,y) vera per questi valori di x e y)

Così Wittgenstein può negare l’identità degli indiscernibili , scrivendo

( ∃ x , y ) : ( φ ) . φ x ≣ φ y .

Nota. Qui possiamo rispondere ad una obiezione sofistica dal nostro punto di vista sull’identità. ” Quale utilizzo”, può essere essere addotto in ” c’è nel distinguere oggetti che hanno tutte le loro proprietà in comune?

Infatti come è possibile, dal momento che nominarli con nomi diversi implica che essi hanno proprietà diverse, cioè che siano nominati con questi diversi nomi”. Mettendo da parte il caso delle funzioni, per il quale abbiamo visto che l’avere un certo nome non è l’avere una proprietà, e limitandoci ai particolari rispondiamo che questo argomento dimostra, infatti, che non riesco mai a costituire due particolari che hanno tutte le loro proprietà in comune, ma non mostra che non possa immaginare o credere che una cosa del genere possa verificarsi. Io in realtà so che ci sono due persone sulla terra con lo stesso numero di capelli in testa, ma non posso dire chi siano; allo stesso modo posso supporre che ci siano due cose indistinguibili senza sapere quali sono. Questa supposizione che rappresenta una possibilità del tutto trascurata nella logica ordinaria è data dalla proposizione di Wittgenstein  di cui sopra

( ∃ x , y ) : ( φ ) . φ x ≣ φ y .

Un’altra obiezione che potrebbe essere sollevata è che è certamente possibile confondere due cose diverse, cioè di pensare siano la stessa cosa. Così “a = b ” deve essere una proposizione, perché è possibile crederci. Per questo ci sono vari casi

( 1 ) E’ possibile avere la sensazione di convinzione diretta verso un nonsenso.

( 2 ) Se una “a” o ” b” è una descrizione “a = b” è una proposizione.

( 3) Se confondo due dati oggetti (cioè non semplicemente descritti) questo forse consisterà nell’avere lo stesso nome per entrambi, o nel dare giudizi su uno appropriato per l’ altro, ma non può consistere nel pensare che l’uno è l’altro, poiché questo comporterebbe il distinguerli e formare una proposizione in cui si manifestano separatamente, sotto i nomi diversi ” a” e ” b “.

Vi è, tuttavia , ancora una certa ambiguità sulla nuova convenzione di Wittgenstein. Siamo noi a dire che x non può assumere lo stesso valore di y se c’è qualche y nella stessa proposizione, o questa regola deve essere limitata in qualche modo? Prendete, per esempio,

” ( x ) . fx : V : ( ∃ y) . φ y ” .

(per ogni x fx è vera o esiste una y per cui φy è vera)

Qui non vi è alcun senso preciso nel dire semplicemente che “x” , “y” non devono assumere lo stesso valore .

Possiamo dire (1) ” y” può assumere qualsiasi valore diverso da quello di ” x ” , ma ” x ” può assumere qualsiasi qualsiasi valore . Quindi la proposizione diventa “di ogni cosa ce ne è una vera se questa soddisfa Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00  o se c’è qualche altra cosa che soddisfa Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41.

O nel  linguaaggio di Principia Mathematica

” ( x ) : fx . V . ( ∃ y) . yx ⋄ φ y

(per ogni x fx è vera o esiste una y diversa da x per cui φy è vera)

o possiamo dire ( 2) ” x ” può assumere qualsiasi valore diverso da quello di “y” , ma “y” può assumere qualsiasi valore . Quindi la proposizione diventa “O qualcosa soddisfa Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41  ,  o tutto, ma uno solo soddisfa Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00 .

O nel linguaggio dei Principia Mathematica

( ∃ y) : . φ y . V : ( x ) : xy . ⊃ . fx

(esiste una y e una  φy vera o ogni x diversa da y implica fx vero)

Oppure possiamo adottare l’unica relazione sensata di permettere ad ” x ” , “y ” di assumere tutti i valori possibili, nel qual caso la proposizione significa quello che dovrebbe in Principia Mathematica.

E’ chiaro che dobbiamo essere in grado di trattare ” ( x ) . fx ” come una unità avente un significato fissato indipendente da quant’altro si presenta nella proposizione.

Quindi, anche in “fa . V . ( x ) . ~ fx ” ” x ” può assumere il valore di ” a ” .

D’altra parte l’essenza della convenzione è che in ” ( x ) : ( ∃ y) . φ ( x , y ) ” ” y “non può assumere il valore di” x ” . Cioè la proposizione precedente, significa ” Per ogni x esiste un differente y tale che φ ( x , y) “. Così che in ” ( ∃ y) . φ ( x , y ) ” ” y “non può assumere il valore di” x ” .

Una piccola osservazione mostrerà che la convenzione dovrebbe essere formulata precisamente così ” due diverse costanti non devono avere lo stesso significato. Una variabile apparente non può avere il valore di ogni lettera che si presenta nel suo ambito, a meno che la lettera a sia una variabile apparente in tale ambito” . Questo può essere spiegato con esempi . Così in ” ( ∃ y) . φ ( x , y) ” l’ambito della ” y ” è” φ ( x , y) ” e in questo la ” x “si verifica, anche se ” x ” può essere davvero una variabile apparente, non è così in questo ambito, così “y ” non può assumere il valore di ” x ” .

Ma in ” ( x ) : ( ∃ y) . φ ( x , y) ” generalizziamo

” F ( x ) ” { = ( ∃ y) . φ ( x , y) } per tutti i valori senza eccezione, perché se “y” si verifica nel campo di applicazione, F ( x ) , è già “apparente ” in questo ambito di applicazione e quindi non fa eccezione.

C’è però ancora un’altra ambiguità che si pone in relazione con le definizioni. Abbiamo visto che ” ( x ) . f ( x , a) ” significa ” per ogni x diverso da a, f ( x , a) ” . Ora supponiamo di porre

F ( x ) = f ( x , a)                               Df .

allora la nostra proposizione diventa

” ( x ) . F ( x ) “, che , in quanto non si presenta l’ ” a ” in questa relazione, sembra che significhi ” per ogni x , F ( x ) “o” per ogni x , f (x , a) “. E questo chiaramente deve essere assunto per essere il suo significato, poiché sarebbe enormemente scomodo stabilire l’area di definizione di x in ” ( x ) . F ( x ) ” dipendente dal fatto che si verificano a, b , o altre costanti nel significato di  Schermata 2013-10-10 alle 12.07.50

Adottare questa convenzione sarebbe in contrasto con lo spirito del calcolo simbolico , in cui non dobbiamo pensare a ciò che i nostri simboli significano . E poi , anche , vorrebbe dire che, se F ( x ) fosse ( y) . φ ( x , y) poiché l’intera gamma di costanti compaiono nel proprio significato ( come valori di y) non ci sarebbe del tutto alcuna gamma rimanente per ” x “. Quindi dobbiamo assumere la nostra convenzione, come stabilita sopra, come che la gamma di ” x ” dipende solo dalle lettere che si verificano nel suo ambito, non dalle costanti che si verificano nel significato del suo ambito.

Ma poi dobbiamo affrontare la difficoltà accennata prima , che se

F ( x ) = f ( x , a)                        Df .

” ( x ) . F ( x ) ” , ” ( x ) . F ( x , a) “non sono la stessa proposizione , ma

( x ) . F ( x ) : ≣ ( x ) . f ( x , a) ⋅ f (a , a) .

Allo stesso modo ( ∃ x ) . F ( x ) : ≣ ( ∃ x ) . f ( x , a) . V . f (a , a) .

Questo significa una profonda revisione di procedura con le definizioni, ma io tuttavia non lo considero come enormemente scomodo, e procedo a valutare se, come afferma Wittgenstein, tutte le proposizioni possono essere espresse con questa convenzione.

Escludendo nonsensi come ” ( ∃ x ) . x = a “, l’unico possibile dubbio è in relazione a certe proposizioni come andrebbero scritte in Principia Mathematica

(∃ x) : xa ⋅ fx.

Questo lo possiamo scrivere

~fa . ⊃ . (∃ x) . fx .: fa . ⊃ : (∃ x,y) : fxfy 

(non fa implica che esiste una x per cui fx è vero – fa implica che esiste una x ed una y per cui fx e fy sono veri)

o più semplicemente si può dire che il problema è quello di escludere a dall’insieme di ” x” che si può fare, facendo in modo che ” a ” si presenti nel suo campo di applicazione.

Così poniamo F ( x , a) =  fx             Df .

Allora la proposizione è

( ∃ x ) . F ( x , a) .

O più opportunamente introduciamo i simboli per le funzioni tautologiche e contraddittorie

T ( x ) = ( φ ) : φ x .V. ~ φ             Df . (tautologia)

C ( x ) = ~ T ( x )                              Df . (contraddizione)

Allora la proposizione diventa

( ∃ x ) : fx ⋅ T (a)

essendo esclusa dal campo di x dal verificarsi nel suo campo di applicazione .

Quindi mi propongo di considerare le relazioni tra le proposizioni espresse nella convenzione di Wittgenstein che chiamerò proposizioni ( W) e quelli espresse nella convenzione ordinaria che chiamerò proposizioni (P), e mostrare come fare la traduzione da una convenzione all’altra.

Questo non è affatto difficile nel caso della traduzione da ( W ) a ( P ) . Dobbiamo semplicemente porre che sono stati esclusi i valori esclusi delle variabili. Questo lo facciamo applicando ripetutamente le regole.

( I )                                          ( ∃ x ) . f ( x , y , a … )                                                  (W)

= ( ∃ x ) : xy ⋅ x ≠ ax ≠ … ⋅ f ( x , y , a … )                              (P)

( II )                                         ( x ) . f ( x , y , a … )                                                     (W)

= ( x ) : . xyxax ≠ … . ⊃ . f ( x , y , a … )                            (P) .

Ma la traduzione inversa è complicata dalla presenza nelle proposizioni (P) del segno “=” . Per le proposizioni in cui non compare questo segno abbiamo le regole semplici.

( III )                                       ( ∃ x ) . f ( x , y , a … )                                                  ( P )

= ( ∃ x ) . f ( x , y , a … ) : V : f (y , y , a … ) : V : f ( a , y , a … ) : V : …. ( W )

( IV )                                      ( x ) . f ( x , y , a … )                                                      ( P )

= ( x ) . f ( x , y , a … ) : f (y , y , a … ) : f (a , y , a … )                   ( W ) .

Può essere opportuno fornire degli esempi di quello che si intende con l’applicazione ripetuta di queste regole .

Cerchiamo di tradurre

( x ) : . ( ∃ y) ( z ) . f ( x , y , z )                                                         ( W ) in ( P ) .

In primo luogo mettiamo

F ( x , y ) : = : (z ) . f ( x , y , z )                                                                                  ( W )

= ( z ) : zxzy . ⊃ . f ( x , y , z )                                                                          ( P )

dalla regola ( II )

( (Aggiunto in margine vicino a F ( x , y ): non c’è bisogno di dire ( W ) , o ( P ) come non variabili apparenti ∴ lo stesso per entrambi) ) .

( W )                ( ∃ y) . F ( x , y ) : = : ( ∃ y) : yx . F ( x , y )                                      ( P )

dalla regola ( I )

= : . ( ∃ y) : . yx : ( z ) : zxzy . ⊃ . f ( x , y , z )                                               ( P )

la proposizione diventa

( x ) : . ( ∃ y) : . yx : ( z ) : zxzy . ⊃ . f ( x , y , z )                                           ( P )

(La generalizzazione ( x ) è la stessa in entrambe le convenzioni per il suo ambito è una funzione della sola x).

Ma ora come possiamo tradurre da ( P) a (W ) quando si presenta l’ ” = “? Come in ( P ) “x=y ” viene trattato come qualsiasi altra funzione proposizionale lo trattiamo nella traduzione come qualsiasi altra funzione, e traduciamo con le regole di cui sopra ( III ) , ( IV). Così otteniamo una proposizione ( W ) contenente ” =” che deve essere eliminata . Diamo questo con le definizioni

x = x . = . T ( x )                                                      Df ( W )

x = y . = . C ( x , y )                                                 Df ( W )

C ( x , y) è la relazione di contraddizione (forse posso dire =

C ( x ) ⋅ C ( y)  o   C ( x ) . V . C ( y) )

T ( x , y) è la relazione tautologica .

Come esempio traduciamo l’esempio precedente in direzione opposta , cioè prendiamo

( x ) : . ( ∃ y) : yx : ( z ) : zxzy . ⊃ . f ( x , y , z )               ( P ) .

Consideriamo

G ( x , y) =  : .  ( z ) : zxzy .  ⊃  .  f ( x , y , z )                     ( P )

= : . ( z ) : zxzy . ⊃ . f ( x , y , z ) : . xxxy . ⊃ . f ( x , y , x ) : . yxyy . ⊃ . f ( x , y , y )                                                                  ( W ) da ( IV )

( ( aggiunto a margine : no questa riduzione non deve essere lasciata in coda qui non fa differenza, ma prendere ( x ) : xa . ⊃ . ( ∃ y) :  y = ay = x è tale che che x = x può essere posto T ( x ) ma non x = y  C ( x , y). ) )

= ( z ) : T ( x , z ) ⋅ T ( z , y) . ⊃ . f ( x , y , z )

: . T ( x , y ) : . T ( x , y )                                                            ( W )

= ( z ) : f ( x , y , z )                                                                       ( W ) .

( P )                         ( ∃ y ) : yx ⋅ G ( x , y )

= : . ( ∃ y) : yx ⋅ G ( x , y ) : V : xx ⋅ G ( x , x )                                      ( W ) da ( III )

= : . ( ∃ y) : T ( y, x ) ⋅ G ( x , y ) : V : C ( x ) ⋅ G ( x , x )                                          ( W )

= : . ( ∃ y) . G ( x , y ) ( W ) .

∴ La proposizione diventa

( x ) : . ( ∃ y) : G ( x , y )                                                                                           ( W )

o ( x ) : . ( ∃ y) : (z ) f ( x , y , z )                                                                             ( W ) .

Possiamo anche applicare questo metodo di traduzione a certe proposizioni come

( ∃ x ) . x = a            ( P )

che non hanno in sé alcun significato perché non hanno argomenti veri. Con questa traduzione si trasformano in proposizioni significative ( W ) ( includendo tautologia e contraddizione ) che possiamo usare come definizioni del significato delle proposizioni ( P ) .

Così ( ∃ x ) . x = a                       ( P )

: = : ( ∃ x ) .  x = a . V . a =  a     ( W )

= : ( ∃ x ) . T ( x , a) . V . T ( a)   ( W )

= T ( a)                                       ( W ) .

Quindi la proposizione è una tautologia .

Quindi, con l’introduzione della convenzione ( W) e le regole per la traduzione in essa abbiamo trovato un significato soddisfacente per queste forme proposizionali che di per sé sono prive di significato; e questo è un grande vantaggio perché significa che ogni proposizione costruita nella notazione ( P ) usando x = y come funzione proposizionale avrà un senso, mentre in caso contrario potrebbe essere solo una di quelle forme senza senso in una forma mascherata.

Vorrei ora lasciare la convenzione ( W) e prendere in considerazione quale calcolo si può fare dell’identità senza senza andare al di fuori della convenzione ( P), che d’ora in poi useremo a meno che non si dica qualcosa in contrario; ma con questa modifica che noi facciamo la convenzione ( W ) per quanto riguarda le costanti ( e le variabili reali ), in modo che le diverse lettere costanti “a” , ” b “, hanno sempre significati diversi, e ogni volta che si presenta l’ ” = ” almeno uno dei suoi termini è una variabile apparente.

Inizierò con il caso di una identità unica ” x = y ” , essendo almeno ” x ” una variabile apparente, in modo da avere solo da discutere le forme

( x ) . f ( x = y , φ1 x , ( φ2 x … )

( ∃ x ) . f ( x = y ,  φ1 x , φ2 x … )

(Se anche y è una variabile apparente supponiamo che x abbia un ambito interno, altrimenti prenderemo ( y) o ( ∃ y) invece di ( x ) , ( ∃ x ) . )

Noi stabiliamo che il primo di questi è

~ : ( ∃ x ) . ~ f ( x = y , φ1 x … )

così che abbiamo bisogno solo di prendere in considerazione la seconda.

( ∃ x ) . f ( x = y , ( y , φ1 x , φ2 x … )

Qui Schermata 2013-10-10 alle 19.26.21è simbolicamente una funzione vera. Dico ” simbolicamente “, perché uno dei suoi argomenti ( x = y) non è una proposizione; e voglio dire che se una proposizione è stata sostituita con x = y dovremmo avere una funzione vera.

L’ unico modo per affrontare questa situazione è usare il calcolo di Wittgenstein di una funzione vera, che è quello che esprime accordo e disaccordo con le possibili verità dei suoi argomenti . Questo può quindi essere espresso in un formato standardizzato come una disgiunzione dei suoi fondamenti di verità o quelle verità possibili che lo rendono vero .

cioè f ( p , q ) : V : ( pq ) : V : ( ~ pq ) : V : ( p ⋅ ~ q ) : V : ( ~ p ⋅ ~ q )

avendo preso solo alcuni dei termini a destra.

Possiamo esprimere

f ( x = y ,  φ1 x , φ2 x … ) in alcune forme , come

x = y ⋅ φ1 x ⋅ ~ φ2 x : V : x = y ⋅ φ1 x ⋅ φ2 x : V : ~ x = y ⋅ φ1 x ⋅ φ2 x : V : …

o raccogliendo i termini

f ( x = y , φ1 x , φ2 x , .. ) = : . x = y ⋅ ψ x : V : xy ⋅ χ x

( qui ψ x = φ1 x ⋅ ~ φ2 x . V. ~ φ1 x ⋅ φ2 x ) .

Evidentemente sia ψ x o χ x possono essere tautologici, nel qual caso dovremmo ordinariamente lasciarli fuori. Ma nella nostra trattazione è essenziale lasciarli dentro o aggiungerli se sono assenti .

Così ( ∃ x ) . x = y , ( ∃ x ) . xy deve essere spiegato per significare rispettivamente

( ∃ x ) . x = y ⋅ T ( x )

( ∃ x ) . xy ⋅ T ( x ) .

Quindi definiamo

( ∃ x ) . f ( x = y , φ1 x … ) per indicare

( ∃ x ) : x = y ⋅ ψ x . V . xy . χ x

che a sua volta si definisce per significare

( ∃ x ) . x = y ⋅ ψ x : V: ( ∃ x ) : xy ⋅ χ x

che sono ancora da definire .

Possiamo facilmente definire

( ∃ x ) : x = y ⋅ ψ x : = : ψ y               Df .

Ma con ( ∃ x ) : xy ⋅ χ x non possiamo fare niente di più, e dobbiamo prenderla come idea primitiva.

Consideriamo ora il caso in cui diverse identità, dico x = y , x = z , w = v, si verificano nella proposizione . In ciascuna di queste identità almeno un termine deve essere una variabile apparente. Per qualsiasi parte della proposizione non contenente una variabile apparente in cui le identità si presentano prendiamo l’ ultima variabile apparente davanti a quello che sia un termine di una delle identità

ad esempio in ( y) : ( ∃ x ) : (z ) . fzxy ⋅ φ ( y, z) ⋅ f (x )

prendiamo x .

Chiamiamo questa variabile apparente x

e dobbiamo discutere il significato di

( ∃ x ) . f ( x = y , x = z , φ1 x … )

( o ( x ) ⋅ f (   ) che può essere ridotto a quello qui sopra )

dove f ( p , q , … ) è una funzione vera.

Qui le identità non contenenti x come y = z sono prese come parte del φ1 x ecc. e tratteremo in seguito, quando andremo alle ulteriori variabili apparenti y e z.

Riduciamo f alla forma standard come prima, ottenendo una certa espressione come

( ∃ x ) : . x = yx = z ⋅ ψ1 x : V : x = y ⋅ ~ x = z ⋅ ψ2 x : V : ~ x = yx = z ⋅ ψ3 x . V . ~ x = y ⋅ ~ x = z ⋅ ψ4 x .

Definiamo questo col significato

( ∃ x ) : x = yx = z  ψ1 x : V: ( ∃ x ) : x = y ⋅ ~ x = z ψ2 x : V ecc

Quindi definiamo

( ∃ x ) : x = yx = z ⋅ ψ1 x : . = : . y = z ⋅ ψ1 y ⋅ ψ1 z          Df .

( ∃ x ) : x = yxz ⋅ ψ1 x : . = : . yz ⋅ ψ1 y                     Df .

così ( ∃ x ) : xyx = z ⋅ ψ1 x : . = : . yz ⋅ ψ1 z .

Ma ( ∃ x ) : xyxz ⋅ ψ1 x  deve essere preso come indefinibile .

Così vediamo che dobbiamo introdurre un insieme di idee primitive della forma

( ∃ x ) : xy ⋅ φ x

( ∃ x ) : xyxz ⋅ φ x

….

Essi rappresentano le idee di generalizzare  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41 non come in ( ∃ x ) . φ x per tutti i valori di x , ma ” per tutti i valori tranne y “, ” per tutti i valori tranne y , z” ecc.

Potremmo dire che dobbiamo prendere come primitivo il concetto di ” eccetto ” o meglio di “solo” ( ” non solo ” in questo caso) . Naturalmente queste idee possono essere definite nella notazione ( W )

( ∃ x ) : x φ ⋅ T ( y)

( ∃ x ) : x φ ⋅ T ( y, z) .

Ma non è certo che ci sia un reale vantaggio nell’adozione di convenzione di Wittgenstein in quanto comporterà un trattamento complicato di definizione che potrebbero compensare il vantaggio di dispensare da queste idee primitive .

Si potrebbe naturalmente obiettare che non è necessario avere tutte queste idee primitive dal momento che che sarebbe molto più semplice definire l’identità come viene definito in Principia Mathematica. Ma anche se questo sarebbe più semplice sarebbe sbagliato, perché non ci darebbe un simbolismo logico adeguato ad esprimere certe forme ordinarie  come ” solo soddisfa  Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41 .

Dovremmo essere solo in grado di dare un simbolo alle ” sole le cose che hanno tutte le proprietà di a che soddisfano Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59 ”  che non sarebbe la stessa cosa.

Sarebbe anche più semplice prendere la sola idea primitiva ” x = y ” , invece di tutte quelle richieste nel nostro sistema;  ma ancora una volta sarebbe sbagliato, o meglio sarebbe solo sottrarsi alle difficoltà. Il problema è quello di spiegare e giustificare l’uso di   x = y come funzione proposizionale, che non lo è. Non è una soluzione di trattarla come una funzione proposizionale senza discussione; e fare così conduce contemporaneamente a certe proposizioni come

( ∃ x ) . x = a

( ∃ x ) . xa

che non hanno alcuna interpretazione ovvia (come funzioni di verità delle proposizioni elementari) .

Nel nostro sistema questi casi eccezionali sono inclusi con l’aggiunta delle funzioni tautologiche.

Così ” ( ∃ x ) . xa ” significa ” ( ∃ x ) . xa ⋅ T ( x ) ” ed è la somma logica delle tautologie T ( x ) per tutti i valori di x tranne a.

E siamo in grado di giustificare completamente l’uso di x = y come funzione proposizionale. Vale a dire, grazie alle nostre definizioni, possiamo estendere le proposizioni circa ” ( x ) . φ x ” al caso in cui φ x non è una vera e propria funzione proposizionale, ma parzialmente composta dalla pseudo funzioni x = y ecc.

Per esempio prendiamo la proposizione

( x ) . φ x : ( x ) : φ x ⊃ ψ x : ⊃ : ( x ) . ψ x .

Questo segue immediatamente da

( x ) . φ x : ( x ) . ψ x : ≣ : ( x ) : φ x ⋅ ψ x

che si riduce per definizione di ( x ) a

(∃ x) . φ x . V . (∃ x) . ψ x : ≣ : (∃ x) . φ x V ψ x              (1)

E questa è una conseguenza immediata delle nostre definizioni, perciò quando φ x contiene le identità ( ∃ x ) . φ x  è la somma logica di

Σ ( ∃ x ) . p ( x ) , dove p ( x ) prende come valori le condizioni di verità di φ x trovate nel modo ordinario e ( 1) segue dal fatto che l’insieme di condizioni di verità di φ x . V. ψ x è la classe somma di quelle di φ x e quelle di ψ x , in modo che entrambi i termini dell’equivalenza siano gli stessi 9.

9 Il Documento O07 – O7 – O2 contiene molte altre pagine, con ulteriori note su identità . Esse in modo evidente non sono una continuazione del testo precedente, e sembrano piuttosto disorganizzate. Per questo motivo non sono riprodotte qui. (nota della prof.ssa Galavotti)

 E questo è il testo originale:

IDENTITY

We are accustomed to regard identity as a relation between objects, a real relation, I mean, not a “relation in extension”.

And “x = y” is regarded as a propositional function.

This view is clearly wrong because the values of “x = y” are not propositions; for consider such a value “a = b”, what fact does it assert? If “a”, “b” are names for the same thing it says that this thing is itself, which is to say nothing; if they are names of different things it says that these two things are the same, which is nonsense. It might be thought that in the first case it was a tautology in the second a contradiction; but this is not so, for of what elementary propositions could it be a truth function?

Again consider the cases in which we use identity such as “(x) : fx . ⊃ . x = a”. This says that only a satisfies Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00      , not that only such things satisfy it as have a certain relation to a.

In Principia Mathematica identity is defined; two objects are said to be identical when they have all their properties in common. It is clear that this definition is wrong, because it makes it self-contradictory to assert that two objects have all their properties in common; it is not a question whether this is ever in fact the case, but only whether it is logically possible. This it clearly is, and there are even good grounds for supposing that with regard to propositional functions it is often true.

For suppose all rational animals are featherless bipeds and conversely. (I take this merely as an example of a true empirical generalisation). Then since, as we have seen, all functions of functions are extensional  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    is  rational animal and  “  Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59    is a featherless biped” have all their properties in common. But It cannot be inferred that they are identical that is actually the same propositional function, because “this is a rational animal” and “this is a featherless biped” are clearly different propositions and logically speaking it is a mere accident that they are always true or false together.

This shows that the “proof” in Principia Mathematica that two different things cannot have all their properties in common must contain a mistake. This proof consists in saying that if a and b are different, a must have a property which b does not have, namely that of being identical with a. The mistake is of course in supposing that “to be identical with a” is a property.

For as I remarked above “x = a” is not a propositional function.

This destructive criticism of identity is due to Wittgenstein, and at once leads to the question “what then does the sign ‘=’ , which we all use mean? Unless some other explanation can be given we shall have to suppose it to be a relation”. This Wittgenstein answers by his remarkable discovery that the sign of identity is not an essential constituent of logical notation. He replaces it by the new convention that different signs are to have different meanings. As he says “Identity of the object I express by identity of the sign and not by means of a sign of identity.

Difference of objects by difference of their signs” 3

3 See Tractatus Logico-philosophicus, ct., 5.53

Thus what is expressed in Principia Mathematica by

“(∃ x, y) . f (x,y)”

he expresses by

“(∃ x,y) . f(x,y) .V. (∃ x) . f(x,x)”

x”, “y” not being able to take the same value simultaneously while Wittgenstein means by

(∃ x,y) : f(x,y)

what would be expressed in Principia Mathematica by

(∃ x,y) : xyf(x,y).

So Wittgenstein can deny the identity of indiscernibles by writing

(∃ x,y) : (φ) . φ x ≣ φ y.

Note. Here we may answer a sophistical objection to our view of identity. “What use”, it may be urged “is there in distinguishing things which have all their properties in common?

Indeed how is this possible, since to name them by different names implies that they have different properties, namely to be named by these different names”. Setting aside the case of functions, for which we have seen that to have a certain name is not to have a property, and confining ourselves to individuals we answer that this argument shows indeed that I can never give two individuals which have all their properties in common, but it does not show that I cannot imagine or believe such a thing to occur. I actually know that there are two people on earth with the same number of hairs in their head, but I cannot say which two they are; in the same way I can suppose there are two indistinguishable things without knowing which they are. This supposition which represents a possibility entirely neglected in ordinary logic is given by Wittgenstein’s proposition above

(∃ x,y) : (φ) . φ x ≣ φ y.

Another objection which might be raised is that it is certainly possible to confuse two different things, that is to think them the same. So “a = b” must be a proposition because it is possible to believe it. To this there are various cases

(1) It is possible to have the feeling of belief directed towards a nonsense.

(2) If either “a” or “b” is a description “a = b” is a proposition.

(3) If I confuse two given things (i.e. not merely described) this will perhaps consist in having the same name for both of them, or in making judgments about one appropriate to the other, but it cannot consist in thinking one is the other, for this would involve distinguishing them and forming a proposition in which they occur separately, under different names “a” and “b”.

There is, however, still a certain ambiguity about Wittgenstein’s new convention. Are we to say that x cannot take the same value as y if there is any y in the same proposition, or is this rule to be limited in some way? Take, for instance,

“(x) . fx : V: (∃ y) . φ y”.

Here there is no definite sense in merely saying that “x”, “y” must not take the same value.

We can either say (1) “y” can take any value other than that of “x”, but “x” can take any value whatever. Then the proposition becomes “Of everything it is true either that it satisfies Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00 or that there is some other thing satisfying Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41 or in the language of Principia Mathematica

“(x) : fx . V . (∃ y) . yx ⋄ φ y

or we can say (2) “x” can take any value other than that of “y”, but “y” can take any value whatever. Then the proposition becomes “Either something satisfies Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41 or everything but one satisfies Schermata 2013-10-04 alle 22.51.00.

Or in the language of Principia Mathematica

(∃ y) :. φ y . V : (x) : xy . ⊃ . fx

Or we can adopt the only sensible course of allowing “x”, “y” to take all possible values in which case the proposition means what it would in Principia Mathematica.

It is clear that we must be able to treat “(x) . fx” as a unit having a fixed meaning independent of what else occurs in the proposition.

So also in “fa . V . (x) . ~ fx”   “x” can take the value “a”.

On the other hand the essence of the convention is that in “(x) : (∃ y) . φ (x,y)”  “y” cannot take the value of “x”. That is the above proposition means “For any x there is a different y such that φ (x,y)”. So that in “(∃ y) . φ (x,y)”  “ycannot take the value of “x”.

A little thought will show that the convention should be precisely formulated thus “Two different constants must not have the same meaning. An apparent variable cannot have the value of any letter occurring in its scope, unless the letter is a variable apparent in that scope”. This can be explained by examples. Thus in “(∃ y) . φ (x,y)” the scope of “y” is “φ (x,y)” and in it “x” occurs, and though “x” may be really an apparent variable, it is not so in this scope, so “y” cannot take the value of “x”.

But in “(x) : (∃ y) . φ (x,y)” we generalise

“F(x)” { = (∃ y) . φ (x,y)} for all values without exception because though “y” occurs in the scope, F(x), it is already “apparent” in that scope and so does not make an exception.

There is however still another ambiguity which arises in connection with definitions. We have seen that “(x) . f(x,a)” means “for all x other than a, f(x,a)”. Now suppose we put

F(x) = f(x,a)           Df.

then our proposition becomes

“(x). F(x)” which, since no “a” occurs in it, appears to mean “for all x, F(x)” or “for all x, f(x,a)”, And this clearly must be taken to be its meaning, for it would be impossibly inconvenient to make the range of x in “(x) . F(x)” depend on whether a, b, or other constants occur in the meaning of Schermata 2013-10-10 alle 12.07.50 To adopt this convention would be contrary to the spirit of a symbolic calculus in which we should not have to think of what our symbols mean. And then, too, it would mean that if F(x) were (y) . φ (x,y) since the whole range of constants occur in its meaning (as values of y) there would be no range left for “x” at all. So we must take our convention, as stated above, as that the range of “x” depends only on the letters occurring in its scope, not on the constants occurring in the meaning of the scope.

But then we have to face the difficulty mentioned before, that if

F(x) =f(x,a)             Df.

“(x) . F(x)”, “(x) .f(x,a)” are not the same proposition, but

(x) . F(x): ≣ (x) . f(x,a) ⋅ f(a,a).

Similarly (∃ x) . F(x) : ≣ (∃ x) . f(x,a) . V . f(a,a).

This means a thorough revision of procedure with definitions but I do not however regard this as impossibly inconvenient, and proceed to consider whether as Wittgenstein asserts, all propositions could be expressed by this convention.

Excluding nonsenses like “(∃ x) . x = a“, the only possible doubt is in connection with such propositions as would be written in Principia Mathematica

(∃ x) : xa ⋅ fx.

This We can write

fa . ⊃ . (∃ x) . fx  .: fa . ⊃ : (∃ x,y) : fxfy

or more simply we can say that the problem is to exclude a from the range of “x” which we can do by making “a” occur in its scope.

Thus put F(x,a) = fx                        Df.

Then the proposition is

(∃ x) . F(x,a).

Or more conveniently we introduce symbols for tautological and contradictory functions

T(x)=(φ):φ x.V.~φx                  Df.

C(x) = ~ T(x)                            Df.

Then the proposition is

(∃ x) :fx ⋅ T(a)

a being excluded from the range of x by occurring in its scope.

Next I propose to consider the relations between propositions expressed in Wittgenstein’s convention which I will call propositions (W) and those expressed in the ordinary convention which I will call propositions (P), and show how to translate from one convention into the other.

This is not at all difficult in the case of translating from (W) to (P). We simply have to put that the excluded values of the variables have been excluded. This we do by repeatedly applying the rules.

(I) (∃ x) . f(x,y,a…)                                                                (W)

=(∃x):x y ⋅ x ≠ a ⋅ x ≠ …⋅ f(x,y,a…)                                    (P)

(II) (x) . f(x,y,a…)                                                                  (W)

=(x):. x  ≠ y ⋅ xa ⋅ x ≠ … . ⊃. f(x,y,a…)                              (P).

But the reverse translation is complicated by the occurrence in propositions (P) of the sign “=”. For propositions in which this sign does not occur we have the simple rules.

(III) (∃ x) . f(x,y,a…)                                                              (P)

= (∃ x) . f(x,y,a…) : V : f(y,y,a…) : V : f(a,y,a…) : V : ….        (W)

(IV) (x) . f(x,y,a…)                                                                 (P)

= (x) . f(x,y,a…) : f(y,y,a…) :  f(a,y,a…)                                 (W).

It may be as well to give examples of what is meant by the repeated application of these rules.

Let us translate

(x) :. (∃ y) : (z) . f(x,y,z)                                                 (W) into (P).

First put

F(x,y) : = : (z) . f(x,y,z)                                                         (W)

=(z): z  ≠ y . ⊃. f(x,y,z)                                             (P)

by rule (II)

((Added in margin near F(x,y): no need to say (W), or (P) as no apparent variable ∴  same for both)).

(W)      (∃ y) . F(x,y) : = : (∃ y) : yx . F(x,y)                       (P)

by rule (I)

=:. (∃ y):. y ≠  x : (z) : zxzy . ⊃ . f(x,y,z)                    (P)

the proposition becomes

(x) :. (∃ y) :. yx : (z) : zxzy . ⊃ . f(x,y,z)               (P)

(The generalisation (x) is the same in both conventions for its scope is a function of x only).

But now how are we to translate from (P) to (W) when “=” occurs? As in (P) “x = y” is treated like any other propositional function we treat it in the translation like any other such function, and translate by the above rules (III), (IV). Thus we obtain a proposition (W) containing “=” which must be eliminated. We do this by the definitions

x = x . = . T(x)             Df(W)

x = y . = . C(x,y)          Df (W)

C(x,y) is the contradictory relation (say perhaps =

C(x) ⋅ C(y) or C(x) . V . C(y))

T(x,y) is the tautological relation.

As an example let us translate our previous example in the opposite direction, that is take

(x):.(∃ y) : yx : (z) : zxzy . ⊃. f(x,y,z)                 (P).

Consider

G(x,y) = :. (z) : z ≠  xz  ≠ y . ⊃ . f(x,y,z)                        (P)

= :. (z) : z x z y . ⊃ . f(x,y,z)

:. xxxy . ⊃ . f(x,y,x)

:. yxyy . ⊃ . f(x,y,y)                                          (W) by (IV)

((added in margin: No this reduction must be left to the cue here it makes no difference but take (x) : xa . ⊃ . (∃ y) : y = a ⋅ y = x it is that x = x can be put T (x) but not x = y C(x,y).))

= (z) : T(x,z) ⋅ T(z,y) . ⊃ . f(x,y,z)

:. T(x,y) :. T(x,y)                                                             (W)

= (z) : f(x,y,z)                                                                 (W).

(P) (∃ y) : yx ⋅ G(x,y)

= :. (∃ y) : yx ⋅ G(x,y) : V : xx ⋅ G(x,x)                    (W) by (III)

= :. (∃ y) : T(y,x) ⋅ G(x,y) : V : C(x) ⋅ G(x,x)                   (W)

= :. (∃ y) . G(x,y)                                                            (W).

∴ The proposition becomes

(x) :. (∃ y) : G(x,y)                                                          (W)

or (x) :. (∃ y) : (z) f(x,y,z)                                                (W).

We can also apply this method of translation to such propositions as (∃ x) . x = a       (P)

which have in themselves no meaning because they have no truth-arguments. By this translation they turn into significant propositions (W) (including tautology and contradiction) which we can use as definitions of the meaning of the propositions (P).

Thus (∃ x) . x = a                                                            (P)

:=:(∃x).x=a.V.a=a                                                           (W)

= : (∃ x) . T(x,a) . V . T(a)                                               (W)

= T(a)                                                                             (W).

So the proposition is a tautology.

So by introducing the (W) convention and the rules for translating into it we have found a satisfactory meaning for these propositional forms which in themselves are meaningless; and this is a great advantage because it means that any proposition constructed in (P) notation using x = y as a propositional function will have a sense, whereas otherwise it might be merely one of these meaningless forms in a disguised form.

I shall now leave the (W) convention and consider what account can be given of identity without going outside the (P) convention, which will henceforward be used unless something is said to the contrary; but with this modification that we make the (W) convention with regard to constants (and real variables), so that different constant letters “a”, “b” always have different meanings, and whenever “=” occurs one at least of its terms is an apparent variable.

I shall begin with the case of one identity only “x = y”, “x” at least being an apparent variable, so that we have only to discuss the forms

(x) .f(x = y1 x, (φ1 x…)

(∃ x) . f(x = y, φ1 x, φ2 x…)

(If y is also an apparent variable we suppose x to have the inner scope; otherwise take (y) or (∃ y) instead of (x), (∃ x).)

We define the first of these to be

~ : (∃ x) . ~f(x = y, φ1 x…)

so that we need only to consider the second.

(∃ x) . f(x = y, (φ1 x, φ2 x…)

Here Schermata 2013-10-10 alle 19.26.21 is symbolically a truth-function. I say “symbolically” because one of its arguments (x = y) is not a proposition; and l mean that if a proposition were substituted for x = y we should have a truth-function.

The only way to tackle this situation is to use Wittgenstein’s account of a truth-function, which is that it expresses agreement and disagreement with the truth-possibilities of its arguments. It can therefore be expressed in a standard form as a disjunction of its truth-grounds or those truth-possibilities which make it true.

i.e. f(p,q) : V : (p⋅q) : V : (~pq) : V : (pq) : V : (~p ⋅~q)

some of the terms on the right only being taken.

We can express

f(x = y, φ1 x, φ2 x…) in some form like

x=y ⋅ φ1 x ⋅~ φ2 x : V : x = y ⋅φ1 x ⋅ φ2 x : V : ~x = y ⋅ φ1 x ⋅ φ2 x :V:…

or collecting terms

f(x = y, φ1 x , φ2 x,..) = :. x = y ⋅ψ x : V : xy ⋅ χ x

(here ψ x= φ1 ⋅ ~ φ2 x . V. ~ φ1 x  ⋅ φ2 x).

Evidently either ψ x or χ x may be tautologous, in which case we should ordinarily leave them out. But in our treatment it is essential to leave them in or add them if they are absent.

Thus (∃ x) . x = y, (∃ x) . x ≠ y must be explained to mean (∃ x) . x = y ⋅ T(x)

(∃ x) . x ≠ y ⋅ T(x) respectively.

So we define

(∃ x). f(x = y, φ1 x…)to mean

(∃ x) : x = y ⋅ ψ x . V . xy . χ x

which in turn we define to mean

(∃ x) . x = y ⋅ ψ x : V : (∃ x) : x ≠  y ⋅ χ x

Which have still to be defined.

We can easily define

(∃x) : x = y  ⋅ ψ x : = : ψ y                Df.

But with (∃ x) : xy ⋅ χ x  we can do nothing more, and we have to take it as a primitive idea.

Let us now consider the case in which several identities say x = y, x = z, w = v,   occur in the proposition. In each of these identities at least one term must be an apparent variable. For any part of the proposition not containing an apparent variable in which identities occur we take the last apparent variable in front of it which is a term of one of the identities

e.g. in (y) : (∃ x) : (z) . fz ⋅ x ≠ y ⋅ φ (y, z) ⋅ f(x)

we take x.

Call this apparent variable x

and we have to discuss the meaning of

(∃ x) . f(x = y, x = z, φ1 x…)

(or (x) ⋅ f( ) Which can be reduced to the above)

where f(p,q ,… ) is a truth-function.

Here identities not containing x such as y = z are taken as part of the φ1 x etc. and dealt with afterwards when we go to the outer apparent variables y and z.

We reduce f to standard form as before, obtaining such an expression as

(∃ x) :. x = y ⋅ x = z ⋅ ψ1 x :  V :  x = y ⋅ ~x = z ⋅ ψ2 x : V : ~x = yx = z ⋅ ψ3 x . V . ~x = y ⋅ ~x = z ⋅ ψ4 x.

This we define to mean

(∃ x) : x = y ⋅  x = z  ψ1 x : V : (∃ x) : x = y ⋅ ~x = z ψ2 x : V etc.

Then we define

(∃ x) : x = yx = z ⋅ ψ1 x :. = :. y = z ⋅ ψ1 y ⋅ ψ1 z               Df.

(∃ x) : x = yxz ⋅ ψ1 x :. = :. yz ⋅ ψ1 y                          Df.

so           (∃ x) : xyx = z ⋅ ψ1 x :. = :. yz  ⋅ ψ1 z.

But (∃ x) : xyx ≠ z ⋅ψ1 x has to be taken as indefinable.

So we see that we have to introduce a set of primitive ideas

of the form

(∃ x) : xy ⋅φ x

(∃ x) : xyxz ⋅ φ x

….

They represent the ideas of generalising Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41 not as in (∃ x) . φ x for all values of x but “for all values except y”, “for all values except y, z” etc.

We might say that we have to take as primitive the idea of “except” or rather of “only” (“not only” in this case). Of course these ideas can be defined in (W) notation as

(∃ x) : φ x ⋅ T(y)

(∃ x) : φ x ⋅ T(y,z).

But it is doubtful whether there is any real advantage in adopting Wittgenstein’s convention since it will involve a complicated treatment of definition which might compensate the advantage of dispensing with these primitive ideas.

It will of course be objected that it is unnecessary to have all these primitive ideas since it would be far simpler to define identity as it is defined in Principia Mathematica)). But though this would be simpler it would be wrong, because it would not give us a logical symbolism adequate for the expression of such ordinary forms as “only a satisfies Schermata 2013-10-09 alle 21.05.41” . We should only be able to symbolise “only things which have all the properties of satisfy   Schermata 2013-08-22 alle 18.42.59     which is not the same.

It would also be simpler to take the one primitive idea “x = y “, instead of all those required in our system; but again it would be wrong, or rather it would just shirk the difficulties. The problem is to explain and justify the use of x = y as a propositional function, which it is not. It is no solution to treat it as one without discussion; and to do so leads at once to such propositions as

(∃ x) . x = a

(∃ x) . xa

which have no obvious interpretation (as truth functions of elementary propositions).

In our system these exceptional cases are included by adding tautological functions.

Thus “( ∃ x) .  x ≠ a ” means “( ∃ x) . xa ⋅ T(x)” and is the logical sum of the tautologies T(x) for all values of x except a.

And we can justify completely the use of x = y as a propositional function. That is to say, thanks to our definitions, we can extend any propositions about “(x) . φ x” to the case when φ x is not a real propositional function but partly composed of the pseudo functions x = y etc.

For example take the proposition

(x) . φ x : (x) : φ x ⊃ ψ x : ⊃ : (x) . ψ x.

This follows at once from

(x) . φ x : (x) . ψ x : ≣ : (x) : φ x ⋅ ψ x

which reduces by definition of (x) to

(∃ x) . φ x . V . (∃ x) . ψ x : ≣ : (∃ x) . φ V  ψ x                 (1)

And this is an immediate consequence of our definitions, for when φ x contains identities (∃ x) . φ x is the logical sum of Σ (∃ x) . p(x) where p(x) takes as values the truth-conditions of φ x found in the ordinary way and (1) follows from the fact that the set of truth conditions of φ x .V. ψ x is the sum class of those of φ x and those of ψ x, so that both sides of the equivalence are the same 9.

9 Document O07-O7-O2 contains some more pages, with further notes on identity. They are clearly not a continuation of the previous text, and seem rather disorganized. For this reason they are not reproduced.

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