PROPOSITIONAL FUNCTIONS AND PROPOSITIONS ARE BOTH SYMBOLS

30 Set

Come si suonano gli elettoriPropongo la traduzione di un appunto di Frank Ramsey riguardante la logica proposizionale pubblicato in lingua originale dalla prof.ssa Maria Carla Galavotti in Notes on philosophy, probability and mathematics ed. Bibliopolis. Al termine riporto il testo in inglese.

Occorre osservare come venga modificato il concetto di aggettivo e di particolare rispetto alla logica tradizionale (cfr. Lewis Carroll).

FUNZIONI PROPOSIZIONALI E PROPOSIZIONI SONO ENTRAMBE SIMBOLI

Funzioni propositive e proposizioni sono entrambi i simboli.

Russell si è messo in un pasticcio trattando funzioni come simboli, ma le proposizioni non come simboli, (lui li chiama “oggetti” ) p.41 ma non p. 48 (1).

1 Cfr. B. Russell e A.N. Whitehead, Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press. Vol. I, Prima edizione 1910.

La parola “funzione ” è davvero fuorviante. Non dobbiamo collegare le funzioni proposizionali e quelle matematiche; per loro l’unica cosa comune è una certa incompletezza che ci porta a simboleggiarle con l’aggiunta di un simbolo illustrativo del tipo che le completerebbe.

Le argomentazioni di Johnson che funzioni propositive e matematiche sono dello stesso tipo sono del tutto superficiali. Egli assimila una formulazione epistemica a una proposizione ad esempio ” φ a è dubbia ” a ” 4 = 2 + 2 ” senza provare a fornire un’analisi soddisfacente di entrambe.

L’ idea fondamentale alla base del concetto di una funzione proposizionale è quella di un’espressione, convenientemente rappresentata da un simbolo di funzione, poiché deve essere completata per fornire una proposizione ed è utile indicare come.

Potremmo dire che la caratteristica essenziale di una funzione è l’incompletezza, non l’ambiguità come dice Russell, che deriva solo da come deve essere completata.

Dal momento che i nomi di particolari devono essere completati per formare una proposizione, la questione si pone perché non li scriviamo anche come simboli di funzione. Vedremo che questo particolare trattamento dei particolari ha una reale giustificazione; questo, tuttavia, non deriva da una differenza reale tra particolari e universali, ma da una limitazione del linguaggio umano .

Un’Espressione (non una proposizione o una operazione ) serve come segno comune di un insieme di proposizioni, di cui vogliamo considerare una qualche funzione di verità, come, ad esempio, che tutte sono vere. L’insieme è l’insieme di proposizioni ottenute completando l’espressione in modo che abbia significato; ma poiché vi è più di un modo possibile di completarle, possiamo ottenere più di un solo insieme.

Così “saggio” ci dà l’insieme delle proposizioni della forma “x è saggio” , e anche il più ampio insieme di tutte le proposizioni, indipendentemente dalla sua forma, che contiene la parola ” saggio “, tra cui ad esempio ” Se Platone dice il vero, Socrate è saggio “. Noi non usiamo “saggio”, ma ” x è saggio ” per indicare il modo in cui completiamo l’espressione al fine di ottenere il set più ristretto di proposizioni, che noi spesso abbiamo occasione di usare ad esempio nel dire ” Alcuni uomini sono saggi “.

Distinguiamo questo insieme più ristretto, come valori di

Schermata 2013-09-30 alle 10.07.04

dal più ampio insieme di valori di

Schermata 2013-09-30 alle 10.09.28

e una distinzione simile è ovviamente necessaria per ogni espressione aggettivale.

Ma se l’espressione è il nome di un particolare noi non facciamo alcuna distinzione del genere; l’unico insieme di proposizioni determinate da “Socrate” è l’insieme di quelle in cui Socrate compare in qualsiasi modo, come i valori di

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(Questo è per dire che questo è l’unico di tali insiemi che noi possiamo considerare). Così che non vi è alcuna necessità di utilizzare al posto di Socrate una espressione di funzione come

Schermata 2013-09-30 alle 10.15.24

poiché l’insieme di valori di

Schermata 2013-09-30 alle 10.16.22

sarebbe lo stesso insieme di quello di

Schermata 2013-09-30 alle 10.17.09

o semplicemente

Schermata 2013-09-30 alle 10.17.57.

Abbiamo trovato qui la differenza essenziale tra sostantivo e aggettivo, cioè che nel caso dell’aggettivo formalmente distinguiamo un particolare insieme di proposizioni in cui compare come quelli in cui esso è predicato del soggetto, ma nel caso del sostantivo ogni proposizione in cui essa compare è considerata come predicativo di un aggettivo di esso.

Così in “Socrate è saggio “, ” Platone è saggio ” “saggio” è predicato di soggetti , ma in ” Né Platone né Socrate è saggio ” questo non è il caso, e quest’ultima proposizione non come le altre ci giustificherebbero se dicessimo “Qualcuno è saggio .” Ma ” Platone è saggio “, ” Platone è bello “, ” Platone non è né saggio né bello ” tutti gli aggettivi predicativi di Platone e consentono di affermare ” Platone ha qualche caratteristica “. O come Johnson dice “noi possiamo costruire correttamente un aggettivo composto di  ‘semplici’ aggettivi come possiamo costruire una proposizione composta di ‘semplici’ proposizioni, ma la natura di qualsiasi termine con funzioni di sostantivo è tale che è impossibile costruire un autentico sostantivo composto ” ( Logic Parte II pag. 61) 5 .

5 Cfr. W.E. Johnson, Logic, parte II, cit.

Ma questa differenza tra sostantivi e aggettivi (ovvero parole) non riflette alcuna reale distinzione tra particolari e universali. Perciò se tra gli aggettivi noi abbiamo distinto i nomi di qualità semplici, che non possiamo fare perché non abbiamo tali nomi, e tra le proposizioni in cui ” Socrate ” compare quelle che attribuiscono a lui una semplice qualità ovvero come essere ” elementare ” nel senso di Wittgenstein, allora dovremmo avere un insieme più ristretto di proposizioni che contengono “Socrate”, che potremmo chiamare valori di

Schermata 2013-09-30 alle 10.19.15

E dovremmo distinguere

Schermata 2013-09-30 alle 10.21.58=     ” Socrate ha tutte le caratteristiche” ,  così come noi distinguiamo ” ( x ) . x è rosso = ” tutte le cose sono rosse ” da

Schermata 2013-09-30 alle 10.25.09   = ” essere rosso ha tutte le caratteristiche ” , e sarebbe questo utile per simboleggiare Socrate con la funzione

Schermata 2013-09-30 alle 10.26.23.

Ciò porta all’importante conclusione filosofica che non vi è alcuna reale divisione di oggetti in particolari e universali, ma solo una distinzione di espressioni in sostantivali e aggettivali a seconda delle distinzioni che noi facciamo in relazione a loro.

Questo non vuol dire che non ci sono differenze formali tra gli oggetti, ma solo che non ci sarebbe questa grande dicotomia in particolari e universali .

Questo è il punto di Johnson che una combinazione di aggettivi da’ un vero aggettivo, ma una combinazione di sostantivi non da’ alcun autentico sostantivo. Ma il modo corretto di affermare è che, mentre si distinguono combinazioni di sostantivi dai sostantivi stessi, noi facciamo tale distinzione per gli aggettivi, perché

Schermata 2013-09-30 alle 11.02.30

E’ chiaro che in realtà non ci sono particolari e universali, ma solo oggetti di forme diverse.

Le funzioni di tipo superiore vengono come espressioni per oggetti formali introdotte da una definizione ad esempio ” Predicativo di ”

Schermata 2013-09-30 alle 10.28.56

è una definizione di f non una asserzione come Johnson sembra pensare

utile quando generalizzato, altrimenti superflua.

Questo è il testo originale:

PROPOSITIONAL FUNCTIONS AND PROPOSITIONS ARE BOTH SYMBOLS

Propositional functions and propositions are both symbols.

Russell got into a mess by treating functions as symbols, but propositions not as symbols; (he calls them “objects”) p. 41 but not p. 48 1.

1 See B. Russell and A.N. Whitehead, Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press. Vol. I, First Edition 1910

The word “function” is very misleading. We must not connect propositional and mathematical functions; to them the only thing common is a certain incompleteness which leads us to symbolise them by adding an illustrative symbol of the kind that would complete them.

Johnson’s arguments that propositional and mathematical functions are of the same kind are entirely superficial. He assimilates an epistemic statement about a proposition e.g. “φ a is dubious” to “4 = 2 + 2” making no attempt to give a satisfactory analysis of either.

The fundamental idea underlying the notion of a propositional function is that of an expression, conveniently represented by a functional symbol, since it needs to be completed to give a proposition and it is useful to indicate how.

We might say the essential characteristic of a function is incompleteness, not as Russell says ambiguity, which only comes in as to how it is to be completed.

Since the names of individuals must be completed to form a proposition, the question arises why we do not write them also as functional symbols. We shall see that this peculiar treatment of individuals has a real justification; this, however,  does not arise from a real difference between individuals and universals, but from a limitation of human language.

An Expression (not a proposition or an operation) serves as a common mark of a set of propositions, of which we wish to consider some truth – function, as, for example, that all of them are true. The set is the set of propositions obtained by significantly completing the expression; but since more than one way of completing it may be possible, we may get more than one such set.

Thus “wise” gives us the set of propositions of the form “x is wise”, and also the wider set of all propositions, of whatever form, which contain the word “wise”, including e.g. “if Plato tells the truth, Socrates is wise”. We use not “wise” but “x is wise” to indicate the way in which we complete the expression in order to obtain the narrower set of propositions,  which we often have occasion to use e.g. in saying “Some men are wise”.

We distinguish this narrower set as values of

Schermata 2013-09-30 alle 10.33.25

from the wider set of values of

Schermata 2013-09-30 alle 10.34.16

and a similar distinction is obviously required for every adjectival expression.

But if the expression is the name of an individual we make no such distinction; the only set of propositions determined by “Socrates” is the set of those in which Socrates occurs in any way whatever, the values of

Schermata 2013-09-30 alle 10.35.08

(That is to say that is the only such set which we ever consider). So that there is no need to use instead of Socrates a functional expression like

Schermata 2013-09-30 alle 10.36.07

since the set of values of

Schermata 2013-09-30 alle 10.37.37

would be the same set as those of

Schermata 2013-09-30 alle 10.38.31

or simply

Schermata 2013-09-30 alle 10.39.23

We have here found the essential difference between substantive and adjective, namely that in the case of the adjective we formally distinguish a particular set of the propositions in which it occurs as ones in which it is predicated of a subject, but in the case of the substantive any proposition in which It occurs is regarded as predicating an adjective of it.

Thus in “Socrates is wise”, “Plato is wise” “wise” is predicated of subjects, but in “Neither Plato nor Socrates is wise” this is not the case, and this last proposition would not like the others justify us in saying  “Someone is wise”. But “Plato is wise”, “Plato is beautiful”, “Plato is neither wise nor beautiful” all predicate adjectives of Plato and justify “Plato has some characteristic”, or as Mr. Johnson puts it “we may properly construct a compound adjective out of `simple` adjectives just as we may construct a compound proposition out of `simple` propositions, yet the nature of any term functioning as substantive is such that it is impossible to construct a genuine compound substantive” (Logic Part ll p. 61) 5.

5 See W.E. Johnson, Logic, Part II. cit.

But this difference between substantives and adjectives (i.e. words) does not reflect any real distinction between individuals and universals. For if among adjectives we distinguished the names of simple qualities, which we cannot do because we have no such names, and among propositions in which “Socrates” occurs those which ascribe to him a simple quality i.e. such as are “elementary” in Wittgenstein’s sense; then we should have a narrower set of propositions containing “Socrates”, which we could call values of

Schermata 2013-09-30 alle 10.40.58.

And we should have to distinguish

“(q). Socrates is q” = “Socrates has all qualities” from

Schermata 2013-09-30 alle 10.41.55

we distinguish “(x) . x is red = “all things are red” from

Schermata 2013-09-30 alle 10.42.48

would he useful to symbolise Socrates by the function

Schermata 2013-09-30 alle 10.40.58.

This leads to the important philosophical conclusion that there is no real division of objects into particulars and universals, but only a division of expressions into substantival and adjectival depending on the distinctions we make in connection with them.

This is not to say that there are no formal differences between objects, but only that there is not this great dichotomy into individuals and universals.

This is Johnson’s point that a combination of adjectivs gives a genuine adjective, but a combination of substantives no genuine substantive. But the proper way to state it is that while we distinguish combinations of substantives from substantives themselves, we make no such distinction for adjectives because

Schermata 2013-09-30 alle 10.44.11

It is clear that in reality there are not individuals and universals but just objects of different forms.

Functions of higher type come as expressions for formal entities introduced by definition e.g. “predicable of”

Schermata 2013-09-30 alle 10.45.02

is a definition of f not a statement as Johnson seems to think

useful when generalised, otherwise superfluous.

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