LIST OF CONTRADICTIONS (1) – ELENCO DELLE CONTRADDIZIONI (1)

5 Ago

messaggio_d_erroreRiporto di seguito la traduzione di un appunto di Frank Plumpton Ramsey pubblicato dalla prof.ssa Maria Carla Galavotti in “Notes on philosophy, probability and mathematics” ed. Bibliopolis. Al termine  il testo originale in inglese.

1 Queste note si riferiscono a «Fondamenti della matematica», in FM p. 20, anche in F e PP.

a. (1) La classe di tutte le classi non membro di sé stesso

(1)’ analogamente per le relazioni

(2) Il più grande cardinale

(3) Il più grande ordinale

b. (4) Sto mentendo

(5) Eterologico (che non descrive sé stesso: es. lungo non descrive sé stesso perché la parola non è lunga, ma corta; consegue il paradosso di Grelling-Nelson: cfr Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Grelling–Nelson_paradox)

(6) Il minimo intero non nominabile in venti sillabe

(7) Il minimo ordinale indefinibile

(8) paradosso di Richard (cfr http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Richard)

(1) e (5) sono connessi con la dimostrazione di Cantor che 2a > a; (8) con la sua prova che il continuum non è numerabile.

(1), (4), (5) sono proprio abbastanza.

Delle contraddizioni di a, (2), (3) non è necessario che ce ne occupiamo qui in quanto implicano i concetti di numero cardinale e ordinale che non ho ancora affrontato. Ma se l’analisi di Russell del concetto di numero è giusto non ho nulla contro la sua soluzione delle contraddizioni.

La contraddizione (1) è quella fondamentale di questo gruppo;

e Russell l’ha risolta correttamente osservando che φ (φ x ^) non può avere senso; o che in questo tipo di proposizione le due φ non possono avere lo stesso significato o che hanno lo stesso significato come direbbe Wittgenstein. L’annullamento di questa contraddizione richiede, quindi, che si distinguano le funzioni per i loro possibili argomenti, e dire che dove può ricorrere con significato una di un altro tipo non può ricorrere.

E’ notevole che Russell non sia riuscito a notare la differenza essenziale tra le contraddizioni (a) e (b). Le prime sono contraddizioni nella logica stessa, in esse ricorrono solo simboli logici e si presentano mentre si sta realmente facendo logica simbolica.

La loro presenza ha dimostrato che c’era qualcosa di sbagliato nella logica. Ma le contraddizioni (b) non sono puramente logiche; queste tutte contengono qualche elemento epistemologico, come la menzogna, il significato o il denominare.

(Con epistemico intendo collegato con la relazione tra segno e oggetto significato, che comprende la relazione di chi pensa o il pensiero del suo oggetto). Di qui la comparsa di queste contraddizioni, mentre può essere dovuto a qualche errore di logica in sé, può anche essere dovuto semplicemente a qualche contraddizione latente nelle nostre idee di significato e di pensiero o nel modo in cui usiamo queste parole. E questo è il punto di vista che metterò in evidenza; e cioè che le contraddizioni (b), sebbene rilevanti per l’epistemologia, non sono rilevanti per la logica simbolica e non devono essere prese in considerazione nella costruzione delle regole della logica simbolica, di cui la “Teoria dei Tipi” fa parte.

Il risultato è che le ulteriori tipiche distinzioni fatte da Russell tra le funzioni che assumono gli stessi argomenti non hanno contraddizioni che lo rendono necessario, come le contraddizioni (b) che si pensava essere così contenendo un elemento epistemico, il quale, e non l’elemento puramente logico , è la fonte della contraddizione.

Ma la distinzione in predicativo, di primo ordine, e così via delle funzioni con la stessa gamma di argomenti è basata da Russell non solo sulla necessità di evitare queste contraddizioni, ma anche sul suo principio circolo vizioso di cui sembrava un corollario immediato. Possiamo vedere che questo è un caso in cui questo principio è fuorviante, ma i punti coinvolti non possono essere resi chiari, senza una esposizione della natura fondamentale delle proposizioni.

E questo è il testo originale:

LIST OF CONTRADICTIONS 1

1 These notes are related to «The Foundations of Mathematics», in FM p. 20, also in F and PP.

a. (1) The class of all classes not members of themselves

(1)’ Similar thing for relations

(2) The greatest cardinal

(3) The greatest ordinal

b. (4) I am lying

(5) Heterologisch

(6) Least integer not nameable in twenty syllables

(7) Least indefinable ordinal

(8) Richard’s Paradox

(1) and (5) are connected with Cantor’s proof that 2a > a; (8) with his proof that the continuum is not denumerable.

(1), (4), (5) are really enough.

Of the contradictions a, (2), (3) need not concern us here because they involve the ideas of cardinal and ordinal number with which I have not yet dealt. But if Russell’s analysis of the ideas of number is right I have no quarrel with his solution of the contradictions.

The contradiction (1) is the fundamental one of this group;

and Russell has solved it correctly by observing that φ (φ x^) must be nonsense; or that in such a proposition the two φ’s cannot have the same meaning or even mean in the same way as Wittgenstein would put it. The avoidance of this contradiction necessitates, therefore, that we distinguish functions by their possible arguments, and say that where a function of one type can occur-significantly one of any other cannot.

It is remarkable that Russell failed to remark the essential difference between the contradictions (a) and (b). The former are contradictions in logic itself, in them occur only logical symbols and they arise while you are actually doing symbolic logic.

Their occurrence showed that there was something wrong with logic. But the contradictions (b) are not purely logical; they all contain some epistemological element, such as lying, meaning, or

naming. (By epistemic I mean connected with the relation of sign to thing signified, which includes the relation of a thinker or thought to its object). Hence the occurrence of these contradictions, while it may be due to some fault in logic itself, may also be due merely to some contradiction latent in our ideas of meaning and thought or in the way we use those words. And this is the view which I shall put forward; namely, that the contradictions (b) while relevant to epistemology, are not relevant to symbolic logic and need not be taken into account in constructing the rules of symbolic logic, of which the “Theory of Types” is part.

The result is that the further typical distinctions made by Russell between functions taking the same arguments have no contradictions that render them necessary, as the contradictions (b) which were thought to do so contain an epistemic element, which, and not the purely logical element, is the source of the contradiction.

But the distinction into predicative, first-order, and so on of functions taking the same range of arguments was based by Russell not only on the necessity for avoiding these contradictions but also on his vicious-circle principle of which it seemed an immediate corollary. We shall see that this is a case where this principle is misleading; but the points involved cannot be made clear, without an exposition of the fundamental nature of propositions.

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Una Risposta to “LIST OF CONTRADICTIONS (1) – ELENCO DELLE CONTRADDIZIONI (1)”

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