A contribution to the theory of taxation

28 Nov
  1. Per capire come viene utilizzata in modo assolutamente non professionale la pressione fiscale da tutti i governi, incluso quello cosiddetto di tecnici, è interessante leggere quanto pubblicato da Frank Ramsey su The Economic Journal del Marzo 1927. Come si può vedere tutta la politica del governo Monti è in contrasto con l’interesse dei cittadini italiani e tesa solo a massimizzare il gettito delle tasse. Per questo tende ad incrementare la quota cosiddetta anelastica ovvero relativa a beni di prima necessità, rendendo poco significativa quella dei beni voluttuari in quanto non producono gettito. Quindi è un governo di destra orientato ad incrementare il reddito dei ricchi e diminuire quello dei poveri o dei moderatamente benestanti. Questo scava un profondo solco tra la maggioranza dei cittadini e la gerarchia ecclesiastica che appoggia questo massacro attraverso suoi rappresentanti e l’incondizionato appoggio del giornale dei vescovi (Avvenire). Inoltre scava un profondo solco tra le persone che si ispirano alla sinistra e che non sono certo rappresentate da partiti che appoggiano questo massacro sociale di cui vediamo solo l’inizio. Pe ri prossimi anni continuerà l’operazione di devastazione del sistema produttivo con creazione di nuovi poveri e riduzione di diritti della maggioranza degli italiani.

L’artico è molto tecnico, ma se non si conosce l’analisi matematica chiunque può rendersi conto dei risultati che sono riportati insieme alle ipotesi di lavoro.

La famosa legge di Ramsey sulla tassazione dei beni anelastici (ovvero indispensabili per sopravvivere includendo in questi la riduzione del diritto alla salute) riguarda solo la valutazione di come si possa massimizzare il gettito delle tasse, non è certo una giustificazione all’applicazione di questo mezzo antisociale di operare di un governo. Se uno stato con oltre il 50% di pressione fiscale sul PIL non è in grado di assicurare i servizi indispensabili alla cittadinanza non è uno stato di diritto, ma solo un sordido leviatano.

Qui di seguito riporto la traduzione dell’articolo, ogni contributo a migliorarla è benvenuto.

Un contributo alla teoria della tassazione

Il problema che mi propongo di affrontare è questo: un dato introito deve essere raccolto da tasse proporzionali su alcuni o su tutti gli usi di un reddito, potendo le tasse sui diversi usi essere con diverse aliquote; come dovrebbero tali aliquote essere regolate in modo che il decremento di utilità possa essere minimizzato? Propongo di trascurare complessivamente questioni di distribuzione e considerazioni derivanti dalle differenze di utilità marginale del denaro su persone diverse; e mi occuperò solo di un sistema perfettamente competitivo senza scambi con l’estero. Inoltre supporrò che, secondo la terminologia del professor Pigou, i prodotti netti privati ​​e pubblici sono sempre costanti o sono state resi così per interventi dello Stato non inclusi nella tassazione che stiamo considerando. Escludo così il caso discusso nei Principi di Marshall, in cui è consigliabile un bonus  per l’aumento di redditività della produzione. Tuttavia troveremo che la soluzione più ovvia che non ci dovrebbe essere alcuna differenza è del tutto errata.

L’effetto di ‘tassazione è quello di trasferire redditi in primo luogo dagli individui allo Stato e quindi, in parte, di nuovo a persone che vivono di rendita e pensionati. Questi trasferimenti modificheranno leggermente l’organizzazione della domanda in modo dipendente dalla incidenza delle tasse e dalla modalità della loro spesa. Trascuro queste alterazioni 1; e suppongo anche che “un reddito determinato” significa un reddito in denaro,  essendo il “denaro” regolato in modo che la sua utilità marginale sia costante. Questo problema mi è stato suggerito dal professor Pigou, al quale sono anche debitore di aiuto e di incoraggiamento nella sua soluzione.

Nella prima parte tratto la funzione di utilità assolutamente generale e stabilisco un risultato che è valido per un introito sufficientemente piccolo, e prende una forma particolarmente semplice se possiamo trattare l’introito  come un infinitesimo. Dimostro, infatti, che nel raccogliere un introito infinitesimale da tasse proporzionali su determinati prodotti, le tasse sarebbero tali tale da diminuire nella stessa proporzione la produzione di ogni merce tassata.

Nella seconda parte assumo che la funzione di utilità sia quadratica, il che significa grosso modo che le curve di domanda e offerta siano linee rette, ma non esclude la più generale possibilità dell’incremento collaterale della fornitura di prodotti o incremento collaterale per la domanda di prodotti. Con questa ipotesi si può dimostrare che la regola data sopra per un introito infinitesimale è valida per ogni introito che può essere raccolto.

Nella terza parte considero alcuni casi importanti di questi teoremi generale, e nella quarta parte indico alcune applicazioni pratiche.

1 Il profilo di un trattamento più generale è riportato in appendice.

Parte I

  1. Suppongo che ci siano in totale n prodotti su cui sono spesi i redditi e indico le quantità di questi che vengono prodotti nell’unità di tempo con x1, x2, ……. xn. Alcuni di questi prodotti possono essere identici, tranne che per il luogo o le modalità della loro produzione o di consumo: ad esempio, possiamo considerare lo zucchero utilizzato nel tè come prodotto diverso dallo zucchero utilizzato nel caffè, e il mais coltivato in Norfolk, come diverso da quello coltivato nel Suffolk . Al fine di evitare la duplicazione dei calcoli supponiamo che questi prodotti sono tutti o consumati o risparmiati: ad esempio includiamo il carbone per uso domestico, ma non il carbone industriale se non nella misura in cui l’aumento dell’accumulo di carbone industriale sia una forma di risparmio, in modo che questo tasso di crescita possa formare una delle nostre quantità x. Le quantità x1, x2 …… possono essere misurate in qualsiasi conveniente unità di misura.
  2. Indichiamo con u = F (x1, …… xn) l’utilità netta di produrre e consumare (o risparmiare) queste quantità di prodotti. Questo è di solito considerato come la differenza di due funzioni, una delle quali rappresenta le utilità di consumare, l’altro la disutilità di produrre. Ma con riguardo a questo corrisponde a fare una non necessaria assunzione di indipendenza tra consumo e produzione; di assumere, per esempio, che l’utilità di un bagno caldo è la stessa se si lavora o meno in una miniera di carbone. Questa ipotesi non è richiesta.
  3. Se non c’è un equilibrio stabile di tassazione esisteranno dei valori x che rendono u massimo

Chiamiamo questi valori

o complessivamente il punto P. Quindi al punto P avremo


è una forma definita negativa.

Supponiamo ora che le tasse siano riscosse sui differenti prodotti ai tassi unitari  λ1, λ2, ….  λn in denaro la cui utilità marginale sia unitaria.  Quindi il nuovo equilibrio sarà determinato da

1Ovvero se u = u1-u2 (utilità del consumatore – disutilità del produttore):


prezzo richiesto per il prodotto r – il prezzo di fornitura = tasse

In conseguenza di queste equazioni possiamo considerare le  λ come funzioni di x che si annullano in P, e soddisfano identicamente  

Così gli introiti

Possiamo sempre supporre che R sia positivo, ma non c’è una ragione a priori per cui qualche λ sia negativa; questo, naturalmente, rappresenterà un bonus.

4. Il nostro primo problema è questo: dato R, come deve essere scelto λ affinché la x data dall’equazione (1) renda u un massimo.

Ovvero, u deve essere un massimo a condizione che


Noi dobbiamo avere

soggetto alla condizione

E così otteniamo

5. Queste equazioni determinano valori di x che sono critici per u, e rimane da discutere la possibilità di una pluralità di soluzioni e di determinare le condizioni alle quali forniscono un vero massimo.

Noi possiamo mostrare che se R è piccolo abbastanza avrà una unica soluzione x1, x2 …  xn che tende a

per R ⇨ 0, e questa soluzione renderà u un vero massimo.

Quindi, siccome

è definito negativo in P,

è positiva in P e pertanto nell’intorno di P. Da qui possiamo esprimere x in funzione di λ. L’equazione (3) diviene

Per il denominatore

è una forma definita negativa  in d2u che non può azzerarsi nell’intorno di P (e pertanto anche θ > 0). Lo Jacobiano di questa ultima equazione in relazione a λ tende a 1 per R tendente  0, e questo avrà un’unica soluzione λ1, . . . λn che tende a 0,0 . . . 0 per R tendente a 0. Quindi l’equazione (3) ha un’unica soluzione tendente a P per R  ⇨ 0.

Dobbiamo ora considerare le condizioni di massimo che si ottengono molto semplicemente con i moltiplicatori di Lagrange.

Se poniamo u + KR

otteniamo

o

se θ ha lo stesso significato che ha nell’equazione (3)

o

Quindi

(calcolato nell’ipotesi che le variabili x siano indipendenti 1) e in un’area sufficientemente piccola nell’intorno di  P avremo θ < di ogni assegnata costante positiva e così

sarà definita negativa con d2u. Questo determina il risultato voluto.2

  1. Vedi e.g., de la Vallé Poussin, Cours d’Analyse, 4th ed, t.1, p.149
  2. Evidentemente avremo un massimo in ogni punto in cui d2R è negativo e θ < 1; ovvero se d2R è ovunque negativo la (3) darà un massimo per tutti i valori di θ fino a θ = 1, che fornisce un massimo per R. Questo copre il caso trattato nella seconda parte ed i casi che si approssimano a questo

6. Supponiamo ora che R e λ possano essere considerate come infinitesimi, quindi ponendo

le equazioni (3) ci danno, usando la (2)

e la relativa soluzione è evidentemente data da

Ovvero la produzione di ogni prodotto verrebbe ridotta nella stessa proporzione.

7. E’ interessante estendere questi risultati al caso di un determinato introito da raccogliere tassando solamente alcuni prodotti. Se le utilità sono la somma di due funzioni, una dei prodotti tassati e l’altra di quelli non tassati, è ovvio che le nostre conclusioni sarebbero le stesse di prima. Ma nel caso generale il problema non si presenta così semplice.

Chiamiamo le quantità dei prodotti da tassare x1, ….. xn e quelle da non tassare y1… yn.

Se 

quindi λr è la tassa unitaria su xr,

E se

(λ e μ funzioni di x e di y)

allora, come prima

e dobbiamo massimizzare u a condizione

Abbiamo

Risolvendo queste ultime equazioni (dμi=0) in dy otteniamo

dove

(la possibilità di soluzione è garantita dal discriminante di d2u diverso da zero)

Da cui

Invece dell’equazione (3) abbiamo

Possiamo dimostrare che questa determina un massimo di u con le stesse limitazioni che fornisce la (3).

8. E se λ è infinitesimo

Ma

Così

Così l’equazione (3’) è soddisfatta da

Ovvero, come dianzi, le tasse ridurrebbero nelle stesse proporzioni la produzione di ogni prodotto tassato.

9. Oltre questo punto è difficile procedere senza fare alcune nuove assunzioni. Quella che propongo è forse restrittiva senza necessità, ma raggiunge lo scopo per tutte le relazioni di primo ordine fra prodotti nel rispetto dell’incremento collaterale della fornitura di prodotti o incremento collaterale per la domanda di prodotti, ed ha il grande merito di rendere il problema completamente risolvibile.

Assumeremo che l’utilità sia una funzione quadratica non omogenea di x , o che λ sia lineare. Questa assunzione semplifica il problema esattamente nello stesso modo come l’abbiamo prima semplificato supponendo le tasse come infinitesimali. Noi faremo di questa nuova assunzione l’occasione per mostrare un metodo per interpretare le nostre formule graficamente in modo da rendere il loro significato e le mutue relazioni notevolmente più chiari.

Non è necessario, naturalmente, né sarebbe ragionevole supporre la funzione di utilità quadratica per tutti i valori delle variabili; noi dobbiamo solo supporlo per una certo insieme di valori intorno al punto P, in modo tale che si tratta di non imporre tasse abbastanza grandi da spostare il punto di produzione (valori di x) al di fuori di questo intervallo. Se fossimo interessati a prodotti indipendenti, questa ipotesi significherebbe che le tasse erano piccole abbastanza per noi per trattare le curve di domanda e offerta come linee rette.

PARTE II 

10. Sia

e consideriamo le variabili x come coordinate cartesiane rettangolari di punti in uno spazio a n dimensioni

Il punto

è dato da

ed in questo punto

è una forma definita negativa

quindi è una forma definita negativa, e il luogo u=costante è un iper-ellissoide con il punto P al centro

Da

anche il luogo R = costante è un iper-ellissoide con il punto Q come centro le cui coordinate sono

(L’equazione di Q è quella di P con i termini di primo grado raddoppiati e i relativi termini costanti inalterati).

Inoltre gli iper-ellissoidi u=costante, R= costante sono simili e similmente collocati.

La figura mostra queste relazioni per il caso di due soli prodotti.

11. Se stiamo raccogliendo un introito ρ noi dobbiamo ridurre la produzione a qualche punto nell’iper-ellissoide R = ρ. 1

1 Noi possiamo ridurre la produzione a qualsiasi punto vogliamo perché il rapporto trai x e λ è uno a uno.

Per fare questo in modo da rendere u un massimo dobbiamo scegliere un punto su questo iper-ellissoide che tocca un ellissoide della famiglia u = costante. Ci saranno due punti di questo tipo che giacciono sulla linea PQ, uno tra Q e P che rende u un massimo, l’altro tra O e Q che rende u minimo. Il punto di contatto di due simili e similmente situate iper-ellissoidi deve giacere sulla linea congiungente i loro centri. Poiché il massimo di u è dato da un punto sul segmento OP abbiamo come prima che

Le tasse saranno tali da ridurre la produzione di tutte le merci nella stessa proporzione.

E questo risultato è ora valido non solo per un introiti infinitesimi ma per ogni introito che è possibile raccogliere. Il massimo introito si otterrà diminuendo la produzione di ogni prodotto alla metà del suo valore precedente (alla tassazione), cioè, al punto Q.

12. Se in accordo a questa regola imponiamo che riducono la produzione da

a

Otteniamo dalla (8)

ma in P

Quindi

Ovvero le tasse sarebbero nelle stesse proporzioni di λ1: λ2:     λn:: a1:a2     :an indipendenti dagli introiti raccolti.

Anche

(ottenuto ponendo

13. Poiché k è positivo risulta dalla (10) che il segno di λr è lo stesso di quella di ar, a meno che le ar siano tutte positive qualche λr sarà negativa, e il modo più opportuno di aumentare un introito sarà di fornire dei bonus su alcuni prodotti e tasse su altri.

Il tipico di caso in cui ciò può verificarsi è quello dello zucchero e di frutta particolarmente acida, ad esempio le prugne. Una tassa sullo zucchero potrebbe ridurre il consumo di prugne più che in proporzione alla riduzione del consumo totale di zucchero e quindi necessita di essere compensata da benefici sulle prugne.

14. Consideriamo ora il problema più generale: un dato introito deve essere raccolto mediante tasse fissate μ1 …. μm su m prodotti e da tasse da scegliere a discrezione sui rimanenti. Come possono queste essere scelte in modo da ottenere il massimo dell’utilità?

Noi abbiamo λ1 = μ1 …. λm = μm, m iperpiani (n-1 pieghe di intersezione) le cui intersezioni sono un piano n-m pieghe di intersezione che chiameremo S. S taglia l’iper-ellissoide u= costante, R= costante in iper -ellissoidi che sono simili e similmente localizzati ed i cui centri sono i punti P’, e Q’ in cui S si incontra con le m pieghe di intersezione da P a Q coniugate con S in u = c o R= c. Come prima il massimo richiesto è dato dal punto di contatto di due di questi iper-ellissoidi in S, che devono giacere sulla linea P’Q’.

Ora l’iperpiano

è coniugato in u=c al diametro

Quindi S è coniugato con la piega di intersezione m

e le coordinate di P’ soddisfano questa equazione, perché giacciono su questa piega di intersezione m.

Similmente la coordinate di Q’ soddisfano

E così il punto di produzione ricercato giacendo sulla linea P’Q’ soddisfa

Ovvero l’intero sistema di tassazione deve essere tale da ridurre nella stessa proporzione la produzione di prodotti tassati a discrezione.

PARTE III 

15. Propongo ora di esporre come i nostri risultati si modificano in casi particolari. Per prima cosa supponiamo che tutti i prodotti siano indipendenti e siano disponibili le loro equazioni di offerta e domanda, ovvero abbiamo per il prodotto r il prezzo di domanda

pr= Φr (xr)

e il prezzo di offerta qr=fr(xr)

quindi λr= pr – qr = Φr(xr) – fr(xr)

e l’equazione (3) diventa, dato

Possiamo esprimere queste equazioni in termini di elasticità nel seguente modo.

Supponiamo che le tasse ad valorem (calcolate sul prezzo ottenuto dal produttore) sul prodotto r sia μr, allora

λrrqrrfr(xr)

e Φr(xr)=fr(xr) + λr= (1+μr)fr(xr)

ora

è il reciproco dell’elasticità di offerta del prodotto calcolato positivo nel caso di diminuzione delle vendite,

è il reciproco dell’elasticità della domanda, calcolato positivo nei casi normali.

Quindi se indichiamo con ρr e εr le elasticità di domanda e offerta

o

(valido a condizione che l’introito sia abbastanza piccolo, vedi § 5).

Per una tassa infinitesimale θ è infinitesimo e

ovvero le tasse ad valorem su ogni prodotto sarebbero proporzionali alla somma dei reciproci delle relative elasticità di offerta e di domanda.

16. E’ facile ossevare

(1) La stessa regola (12) si applica se gli introiti sono raccolti su solo certi prodotti, che hanno programmi di offerta e di domanda indipendenti tra loro e fra tutti gli altri prodotti, anche quando gli altri prodotti non siano indipendenti tra loro.

(2) La regola non giustifica nessun bonus; per un equilibrio stabile, sebbene il rapporto

possa essere negativo

deve essere positivo

(3) Se un prodotto è assolutamente anelastico, sia per l’offerta o per la domanda, l’intera raccolta deve essere fatta escludendolo. Questo è ovvio indipendentemente, per tassare così un prodotto non si diminuisce l’utilità assolutamente. Se vi sono diversi prodotti di questo tipo l’intera raccolta deve avvenire al di fuori di questi, non importa in quali proporzioni.

17. Prendiamo poi il caso in cui tutti i prodotti abbiano una differente programmazione di domanda ma hanno una completa sostuibilità di offerta; ovvero il prezzo di domanda in unità appropriate

prr (xr)

Il prezzo di offerta qr=f(x1+    +xn).

Poniamo z= x1+     xn.

Noi possiamo immaginare il caso di un paese in cui tutti i prodotti sono realizzati con un vantaggio economico costante con l’applicazione di un solo tipo di lavoro, l’incremento nel prezzo di offerta derivi esclusivamente dall’incremento della disutilità marginale del lavoro, ed i prodotti soddisfano necessità tra loro indipendenti. Quindi z rappresenta la quantità di lavoro.

L’equazione (3) fornisce

O se μrappresentala tassaad valorem e ρrl’elasticità di domanda del prodotto r  ed ε l’elasticità dell’offerta di prodotti in generale, noi otteniamo, con un processo simile a quello del § 15,

Se le tasse sono infinitesimali

In questo caso si vede che se l’apporto di lavoro è fisso (assolutamente anelastico, ε ⇨ 0) le tasse dovrebbero essere allo stesso tasso ad valorem per tutti i prodotti.

18. manca

19. Se solo alcuni prodotti devono essere tassati è più facile operando dal risultato ottenuto al § 8 per un introito infinitesimo, che la produzione di prodotti tassati diminuirebbe nello stesso rapporto

Supponiamo che x1, . . . .xm sono tassati, xm+1 . . . x non tassati

Posto dx1=- kx1, . . . , dxm= -kxm.

Sia z’= x1+x2+. . . xm

z’’= xm+1+. . .  + xn.

λ1= Φ1(x+dx1)-zf(z+dz)

= Φ1’(x1)dx1-f’(z)dz

ora dz= dz’+dz’’= -kz’+dz’’,

anche

Come prima vediamo che fra due merci dovrebbe essere tassata di più quella che ha la minore elasticità della domanda, ma che se, l’offerta di lavoro è assolutamente anelastica tutte le merci devono essere tassate allo stesso modo.

PARTE IV

20. Veniamo ora alle applicazioni della nostra teoria, queste non possono essere fatte in modo del tutto esatto senza quei dati che, in ogni caso, non possiedo. Il risultato più semplice è quello che abbiamo dimostrato nel caso generale di un introito infinitesimo (§ 8); ciò significa che questo è approssimativamente vero per piccole entrate, e che l’approssimazione approssima l’esattezza  per un introito che si avvicina allo zero. È quindi dal punto di vista logico simile al teorema che il periodo di oscillazione di un pendolo è indipendente dall’ampiezza. Abbiamo inoltre esteso il risultato ad ogni introito che non abbia il punto di produzione al di fuori dell’area in cui l’utilità possa essere assunta come quadratica, vale a dire, l’offerta e domanda regolate linearmente.

I tipi di casi in cui la nostra teoria può essere utile sono i seguenti

21. (a) Se un prodotto è realizzato con differenti metodi o in diverse zone fra le quali non vi sia mobilità di risorse, si mostra che è vantaggioso discriminare tra questi e tassare di più l’origine di offerta che sia la meno elastica. Questo sarà necessario se vogliamo mantenere invariato il rapporto di produzione tra le due origini (risultato analogo a quello del § 19 con offerta e domanda scambiati).

(b) Se diversi prodotti che risultano indipendenti per domanda richiedono le stesse risorse per la loro produzione, dovrebbero essere più tassate quelle con domanda meno elastica (§ 19).

(c) Nel tassare i prodotti concorrenti per domanda, come vino, birra e alcolici, o complementari come tè e zucchero, la regola da osservare è che le tasse devono essere tali da lasciare inalterate le proporzioni in cui vengono consumati (§14). Non so se le attuali tasse soddisfino questo criterio.

(d) Nel caso delle tasse automobilistiche dobbiamo tenere separata molta parte della tassazione come quota per il danneggiamento delle strade. Questa parte dovrebbe essere per quanto possibile uguale al reale danno. Il resto è tassa effettiva e deve essere distribuita secondo la nostra teoria; vale a dire, esso deve essere posta in parte sul carburante e in parte sulle automobili, in modo da conservare inalterata la proporzione tra il loro consumo, e deve essere distribuita tra Ford e Morris, in modo da ridurre il loro fatturato nello stesso rapporto. L’attuale sistema fallisce in entrambi questi aspetti.

22. (e) Un’altra possibile applicazione della nostra teoria è relativa al problema se esentare i risparmi dalle tasse sul reddito 1 Noi possiamo considerare solo due usi dei redditi risparmio o spesa, e supponendo questi indipendenti possiamo usare il risultato (13) del § 17. Dobbiamo supporre le tasse siano applicate per un vero breve periodo di tempo 2 e che non si crei un’aspettativa di simile tassazione in futuro; altrimenti avremmo bisogno di una teoria matematica considerevolmente più complessa di qualsiasi teoria esposta in questo articolo.

Con questi presupposti, poiché il valore dei risparmi nel breve periodo non è in grado di alterare l’utilità marginale del capitale, l’elasticità della domanda per il risparmio sarebbe infinita, e abbiamo

μ1 (tassa sulla spesa) =

μ2 (tassa sul risparmio)

e noi vediamo che la tassa sul reddito deve essere parzialmente e non totalmente eliminata sui risparmi. In caso di eliminazione, tuttavia, deve essere rafforzata enormemente tenendo conto dell’aspettativa di tassazione futura.

1  Non si tiene conto della gradualità in questo.

2 In senso stretto consideriamo il limite per questo tempo tendente a zero

23.  Va sottolineato in conclusione che i risultati su tasse “infinitesimali” possono solo essere validi approssimativamente per le tasse di piccole dimensioni, quanto piccole dipende  da dati che non sono disponibili. E’ perfettamente possibile che una tassa del 500% sul whisky potrebbe per il presente scopo essere considerata esigua. I fattori incogniti sono le curvature delle curve di offerta e di domanda, se queste sono pari a zero i nostri risultati saranno veri per qualsiasi introito, ma maggiori sono le curvature più ristretta è la zona da considerare delle “piccole” imposte

D’altra parte, i risultati più complicati contenute nell’equazione (3), (3 ‘), (11), (13) possono ben essere validi in condizioni ancora più ampie. Ma queste sono, nel caso generale, troppo complicate da descrivere in assenza di dati concreti da confrontare tra loro.

Appendice 

Possiamo anche dire qualcosa sul problema più generale in cui lo Stato intende raccogliere un introito per due scopi: in primo luogo, come prima, un introito fisso in denaro, R1, che viene trasferito a persone che vivono di rendita o altrimenti senza effetti sull’organizzazione della domanda e in secondo luogo, un introito aggiuntivo, R2, sufficiente per l’acquisto di quantitativi fissi a1, a2, ……an di ogni prodotto .

Indichiamo con pr, qr, come prima, i prezzi della domanda e dell’offerta della merce r, e la tassa su di esso con λr. Quindi se xr è la quantità del prodotto r consumato dal settore pubblico (o dallo Stato fuori da R1), xr + ar è la quantità prodotta e abbiamo

così che u deve essere il massimo subordinatamente a

da cui

ovvero

che sostituisce l’equazione (3).

Anche se queste equazioni non danno risultati così semplici come quelli ottenuti per un introito infinitesimo o una funzione di utilità quadratica, nei casi considerati nel § 15 e § 17 riportano di nuovo alle equazioni (11) e (13).

Infatti, prendendo il caso del § 15, in cui le merci sono indipendenti sia per domanda sia per offerta, e, come prima, indicando con μr l’aliquota dell’imposta ad valorem sulla merce r e ρr, εr le elasticità della domanda e dell’offerta per gli importi xr, xr + ar rispettivamente consumati e prodotti dal settore pubblico, abbiamo

o

Da cui

che è di nuovo l’equazione (11) E possiamo derivare analogamente l’equazione (13) dall’assunzione di indipendenza per la domanda ed equivalenza per l’offerta.

F. P. RAMSEY

Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: